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第三节函数的奇偶性与周期性考纲传真1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、正周期的含义， 会判断、应用简单函数的周期性1函数的奇偶性 偶函数奇函数定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数图象特征关于y轴对称关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期常用结论1函数奇偶性的三个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x0处有定义，那么一定有f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性2周期性的几个常用结论对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则(1) 若f(xa)f(x)，则T2a；(2)若f(xa)，则T2a；(3)若f(xa)f(xb)，则Tab.基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yx2，x(0，)是偶函数()(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(3)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称()(4)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)下列函数中为偶函数的是()Ayx2sin x Byx2cos xCy|ln x| Dy2xBA为奇函数，C，D为非奇非偶函数，B为偶函数，故选B.3已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是()A B.C. DB依题意b0，且2a(a1)，b0且a，则ab.4(教材改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x(1x)，则当x0时，f(x)的解析式为()Af(x)x(1x) Bf(x)x(1x)Cf(x)x(1x) Df(x)x(x1)B当x0时，x0，又x0时，f(x)x(1x)，故f(x)x(1x)又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，f(x)x(1x)，即f(x)x(1x)，故选B.5已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，则f(8)的值为_0f(x)为定义在R上的奇函数，f(0)0，又f(x4)f(x)，T4.f(8)f(0)0.函数的奇偶性及其应用【例1】(1)若f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，则a_.(2)判断下列函数的奇偶性：f(x)；f(x)；f(x)(1)由f(x)f(x)得ln(e3x1)axln(e3x1)ax，整理得ln2ax0.e3x，ln e3x2ax0，2ax3x，即(2a3)x0对任意x恒成立，故2a30，所以a.(2)解由得x23，解得x，即函数f(x)的定义域为，从而f(x)0.因此f(x)f(x)且f(x)f(x)，函数f(x)既是奇函数又是偶函数由得定义域为(1,0)(0,1)，关于原点对称x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)成立，函数f(x)为奇函数规律方法判断函数的奇偶性的两种方法(1)定义法：(2)图象法： (1)已知yf(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()yf(|x|)；yf(x)；yxf(x)；yf(x)x.A BC D(2)(2019湖北重点中学联考)已知函数f(x)(exex)ln 1，若f(a)1，则f(a)()A1 B1C3 D3(3)若函数f(x)x5ax3bsin x2在3,3上的最大值为M，最小值为m，则Mm_.(1)D(2)D(3)4(1)由奇函数的定义，f(x)f(x)验证，f(|x|)f(|x|)，故为偶函数；f(x)f(x)f(x)，为奇函数；xf(x)xf(x)xf(x)，为偶函数；f(x)(x)f(x)x，为奇函数综上可知正确，故选D.(2)令g(x)f(x)1(exex)ln ，则g(x)(exex)ln (exex)ln g(x)，所以g(x)为奇函数，所以f(a)g(a)1g(a)1f(a)23，故选D.(3)令g(x)x5ax3bsin x，x3,3，则g(x)为奇函数，f(x)g(x)2，Mf(x)maxg(x)max2，mf(x)ming(x)min2，Mm4.函数周期性、对称性的应用【例2】(1)(2018全国卷)已知f(x)是定义在(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x)若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)()A50 B0C2 D50(2)(2018江苏高考)函数f(x)满足f(x4)f(x)(xR)，且在区间(2,2上，f(x)则f(f(15)的值为_(1)C(2)(1)由f(1x)f(1x)可知f(x)f(2x)，又f(x)f(x)，且f(x)f(2x)，故f(2x)f(x)，f(4x)f(x)，即函数yf(x)是周期为4的周期函数又由题意可知f(0)0，f(1)2，所以f(2)f(0)0，f(3)f(1)f(1)2，f(4)f(0)0，f(1)f(2)f(3)f(4)20200.又501242，f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)120202.故选C.(2)由函数f(x)满足f(x4)f(x)(xR)，可知函数f(x)的最小正周期是4.因为在区间(2,2上，f(x)所以f(f(15)f(f(1)fcos .规律方法(1)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能.在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期. (2019泉州检测)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x1)为偶函数，且f(1)2，则f(4)f(5)_.2f(x1)为偶函数，f(x)是奇函数，f(x1)f(x1)，f(x)f(x)，f(0)0，f(x1)f(x1)f(x1)，f(x2)f(x)，f(x4)f(x22)f(x2)f(x)，f(x)是周期为4的周期函数，则f(4)f(0)0，f(5)f(1)2，f(4)f(5)022.函数性质的综合应用考法1单调性与奇偶性结合【例3】函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)为减函数，且f(1)1，若f(x2)1，则x的取值范围是()A(，3B(，1C3，) D1，)A函数f(x)是定义在R上的奇函数，且是0，)上的减函数，故函数f(x)在R上单调递减又f(1)1，所以f(1)1，因此f(x2)1f(x2)f(1)x21x3，所以x的取值范围是(，3，故选A.考法2周期性与奇偶性结合【例4】(1)(2019四川模拟)设奇函数f(x)的定义域为R，且f(x4)f(x)，当x4,6时f(x)2x1，则f(x)在区间2,0上的表达式为()Af(x)2x1 Bf(x)2x41Cf(x)2x41 Df(x)2x1(2)(2017山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2)若当x3,0时，f(x)6x，则f(919)_.(1)B(2)6(1)当x2,0时，x0,2，x44,6又当x4,6时，f(x)2x1，f(x4)2x41.又f(x4)f(x)，函数f(x)的周期为T4，f(x4)f(x)又函数f(x)是R上的奇函数，f(x)f(x)，f(x)2x41，当x2,0时，f(x)2x41.故选B.(2)f(x4)f(x2)，f(x2)4)f(x2)2)，即f(x6)f(x)，f(x)是周期为6的周期函数，f(919)f(15361)f(1)又f(x)是定义在R上的偶函数，f(1)f(1)6，即f(919)6.考法3奇偶性、周期性、单调性的综合【例5】(2019惠州调研)已知函数yf(x)的定义域为R，且满足下列三个条件：对任意的x1，x24,8，当x1x2时，都有0恒成立；f(x4)f(x)；yf(x4)是偶函数若af(7)，bf(11)，cf(2 018)，则a，b，c的大小关系正确的是()Aabc BbcaCacb DcbaB由知函数f(x)在区间4,8上为单调递增函数；由知f(x8)f(x4)f(x)，即函数f(x)的周期为8，所以cf(2 018)f(25282)f(2)，bf(11)f(3)；由可知函数f(x)的图象关于直线x4对称，所以bf(3)f(5)，cf(2)f(6)因为函数f(x)在区间4,8上为单调递增函数，所以f(5)f(6)f(7)，即bca，故选B.规律方法函数性质综合应用问题的常见类型及解题方法(1)函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.(3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解. (1)(2019山师大附中模拟)函数f(x)是R上的偶函数，且f(x1)f(x)，若f(x)在1,0上单调递减，则函数f(x)在3,5上是()A增函数B减函数C先增后减的函数D先减后增的函数(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，在区间0，)上为增函数，且f0，则不等式f(x)0的解集为_(1)D(2)(1)已知f(x1)f(x)，则函数周期T2，因为函数f(x)是R上的偶函数，在1,0上单调递减，所以函数f(x)在0,1上单调递增，即函数f(x)在3,5上是先减后增的函数故选D.(2)由已知f(x)在R上为偶函数，且f0，f(x)0等价于f(|x|)f，又f(x)在0，)上为增函数，|x|，即x或x.1(2017全国卷)函数f(x)在(，)单调递减，且为奇函数若f(1)1，则满足1f(x2)1的x的取值范围是()A2,2B1,1C0,4 D1,3Df(x)为奇函数，f(x)f(x)f(1)1，f(1)f(1)1.故由1f(x2)1，得f(1)f(x2)f(1)又f(x)在(，)单调递减，1x21，1x3.故选D.2(2014全国卷)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数CA：令h(x)f(x)g(x)，则h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x)，h(x)是奇函数，A错B：令h(x)|f(x)|g(x)，则h(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)h(x)，h(x)是偶函数，B错C：令h(x)f(x)|g(x)|，则h(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|h(x)，h(x)是奇函数，C正确D：令h(x)|f(x)g(x)|，则h(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|h(x)，h(x)是偶函数，D错3.(2017全国卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x(，0)时，f(x)2x3x2，则f(2)_.12法一：令x0，则x0.f(x)2x3x2.函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)f(x)f(x)2x3x2(x0)f(2)2232212.法二：f(2)f(2)2(2)3(2)212.4(2015全国卷)若函数f(x)xln(x)为偶函数，则a_.1f(x)为偶函数，f(x)f(x)0恒成立，xln(x)xln(x)0恒成立，xln a0恒成立，ln a0，即a1.5(2014全国卷)已知偶函数f(x)在0，)单调递减，f(2)0.若f(x1)0，则x的取值范围是_(1,3)f(x)是偶函数，图象关于y轴对称又f(2)0，且f(x)在0，)单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，由f(x1)0，得2x12，即1x3.- 9 -
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