2020届高考数学大二轮复习 层级二 专题二 三角函数及解三角形 第2讲 三角恒等变换与解三角形教学案

第2讲三角恒等变换与解三角形考情考向高考导航1三角恒等变换是高考必考内容，可以单独命题，也可以与三角函数图象和性质综合，有时与解三角形综合难度一般不大，单独命题多以选择题、填空题的形式出现，有时与其他知识综合，以解答题的形式出现2解三角形主要考查正、余弦定理、面积的综合问题，有时也涉及三角恒等变换，难度中等单独考查以选择题、填空题为主，综合考查以解答题为主真题体验1(2019全国卷)已知，2sin 2cos 21，则sin ()A. B.C. D.解析：B，由2sin 2cos 21得：4sin cos 2cos2 ，2sin cos ，2sin ，5sin2 1，sin2 ，sin .2(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin Absin B4csin C，cos A，则()A6 B5C4 D3解析：Aasin Absin B4csin C，a2b24c2，cos A，即，46.3(2019天津卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bc2a,3csin B4asin C.(1)求cos B的值；(2)求sin的值解：(1)在ABC中，由正弦定理，得bsin Ccsin B，又由3csin B4asin C，得3bsin C4asin C，即3b4a.又因为bc2a，得到ba，ca，由余弦定理可得cos B.(2)由(1)可得sin B，从而sin 2B2sin Bcos B，cos 2Bcos2Bsin2B，故sinsin 2Bcoscos 2Bsin.主干整合1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin cos cos sin .(2)cos()cos cos sin sin .(3)tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos .(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan 2.3辅助角公式asin xbcos xsin(x)，其中tan .4正弦定理及其变形在ABC中，2R(R为ABC的外接圆半径)变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，sin A，sin B，sin C，abcsin Asin Bsin C.5余弦定理及其变形在ABC中，a2b2c22bccos A；变形：b2c2a22bccos A，cos A.6三角形面积公式SABCabsin Cbcsin Aacsin B.热点一三角恒等变换与求值数学运算素养数学运算三角函数式化简求值中的核心素养三角运算是重要的“数学运算”，在正确分析条件和所求的基础上明确运算的方法，灵活地选用三角公式，完成三角运算.例1(1)(2019江苏卷)已知，则sin的值是_解析方法1：由，解得tan 2或.sin(sin 2cos 2)(2sin cos 2cos21)(sin cos cos2)，将tan 2和分别代入得sin.方法2：，sin coscos sin.又sinsinsincos cossin ，由，解得sin cos，cos sin.sinsinsin coscos sin.答案(2)(2018浙江卷)已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.()求sin()的值；()若角满足sin()，求cos 的值解析()由角的终边过点P得sin ，所以sin()sin .()由角的终边过点P得cos ，由sin()得cos().由()得cos cos()cos sin()sin ，所以cos 或cos .答案()()或(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解(1)(2019维坊三模)已知sin ，sin()，均为锐角，则等于()A.B.C. D.解析：C因为，均为锐角，所以.又sin()，所以cos().又sin ，所以cos ，所以sin sin()sin cos()cos sin().所以.(2)(2020广西三市联考)设为锐角，若cos，则sin的值为_解析：因为为锐角且cos0，所以，所以sin.所以sinsinsin 2cos cos 2sin sincos.答案：热点二正、余弦定理的应用用正、余弦定理求解边、角、面积例21(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.(1)求A；(2)若ab2c，求sin C.解析(1)由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cos A.因为0A180，所以A60.(2)由(1)知B120C，由题设及正弦定理得sin Asin(120C)2sin C，即cos Csin C2sin C，可得cos(C60).因为0C120，所以sin(C60)，故sin Csin(C6060)sin(C60)cos 60cos(C60)sin 60.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口 用正、余弦定理解决实际问题例22(2019重庆二诊)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.解析由题意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得.解得BC300m.在RtBCD中，CDBCtan 30300100(m)答案100解三角形实际问题三步骤(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解(1)(2019威海三模)如图，在ABC中，点D在AC上，ABBD，BC3，BD5，sinABC，则CD的长为()A.B4C2 D5解析：B利用余弦定理求解因为sinABCsincosDBC，在DBC中，由余弦定理可得CD2BD2BC22BDBCcosDBC252725316，所以CD4，故选B.(2)如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45，与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北(045)的C处，且cos .已知A，C两处的距离为10海里，则该货船的船速为_海里/小时解析：因为cos ，045，所以sin ，cos(45)，在ABC中，BC280010022010340，所以BC2，该货船的船速为4海里/小时答案：4热点三与解三角形的交汇创新例3(2020烟台模拟)已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin B，.(1)求证：0B；(2)若，求|.审题指导(1)三角恒等变换，利用重要不等式转化关于cos B的不等式(2)由数量积求ac，再由模长公式结合余弦定理求模解析(1)证明：因为，所以sin Asin Csin2B，由正弦定理可得b2ac，因此b2a2c22accos B2ac2accos B，所以cos B，又0B，所以0B.(2)由(1)知0B，又sin B，所以cos B .所以cacos Bac，解得ac2，因此b22.由余弦定理得b2a2c22accos B，所以a2c2b22accos B2225.从而|2a2c22528，故|2.以向量的运算为载体考查三角函数、三角变换、解三角形及不等式这类综合问题的解法思路是：通过向量的运算把向量问题转化为三角函数问题或解三角形问题，再利用三角变换或正(余)弦定理综合解决(2020山师附中模拟)已知m，n，设函数f(x)mn.(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，求f(B)的取值范围解析：(1)f(x)mnsin，令2k2k，则4kx4k，kZ，所以函数f(x)单调递增区间为，kZ.(2)由b2ac可知cos B(当且仅当ac时取等号)，所以0B，1f(B)，综上f(B)的取值范围为.限时50分钟满分76分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1(2020河北省六校联考)已知(0，)，且tan 2，则cos 2cos ()A.B.C. D.解析：B(0，)，tan 2，在第一象限，cos ，cos 2cos 2cos21cos 221，选B.2(2020日照模拟)已知sin 2，则cos2()A. B.C. D.解析：Csin 2cos2cos21，cos2.3(组合型选择题)下列式子的运算结果为的是( )tan 25tan 35tan 25tan 35；2(sin 35cos 25cos 35cos 65)；.A BC D解析：C对于，tan 25tan 35tan 25tan 35tan(2535)(1tan 25tan 35)tan 25tan 35tan 25tan 35tan 25tan 35；对于，2(sin 35cos 25cos 35cos 65)2(sin 35cos 25cos 35sin 25)2sin 60；对于，tan 60；对于，tan.综上，式子的运算结果为的是.故选C.4(2019沈阳质检)已知ABC的内角分别为A，B，C，AC，BC2，B60，则BC边的高为()A. B.C. D.解析：B由余弦定理AC2AB2BC22ABBCcos B，得7AB244ABcos 60，即AB22AB30，得AB3，则BC边上的高为ABsin 60，故选B.5(2020广西南宁、玉林、贵港等市摸底)在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c，C，sin B2sin A，则ABC的周长是()A3 B2C3 D4解析：C在ABC中，sin B2sin A，由正弦定理得b2a，由余弦定理得c2a2b22abcos Ca24a22a23a2，又c，a1，b2.ABC的周长是abc123.故选C.6.(2019保定二模)已知在河岸A处看到河对岸两个帐篷C，D分别在北偏东45和北偏东30方向，若向东走30米到达B处后再次观察帐篷C，D，此时C，D分别在北偏西15和北偏西60方向，则帐篷C，D之间的距离为()A10米 B10米C5米 D5米解析：C由题意可得DAB60，CAB45，CBA75，DBA30，在ABD中，DAB60，DBA30，AB30，所以ADB90，sinDABsin 60，解得BD15.在ABC中，CAB45，CBA75，所以ACB60，解得BC10.在BCD中，CBDCBADBA45，则由余弦定理得cosCBDcos 45，即，得CD5.故选C.二、填空题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)7(2020陕西省质量检测)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知1，且b5，5，则ABC的面积是_解析：在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知1，所以1，化简可得：b2a2bcc2，可得cos A，0A，A.又b5，5，bccos A5，bc10.Sbcsin A10.答案：8(2019浙江卷)在ABC中，ABC90，AB4，BC3，点D在线段AC上若BDC45，则BD_，cosABD_.解析：解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征在ABD中，有：，而AB4，ADB，AC5，sinBAC，cosBAC，所以BD.cosABDcos(BDCBAC)coscosBACsinsinBAC.答案：，三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)9(2019江苏卷)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若a3c，b，cos B，求c的值；(2)若，求sin的值解：(1)因为a3c，b，cos B，由余弦定理，得cos B，得，即c2.所以c.(2)因为，由正弦定理，得，所以cos B2sin B.从而cos2 B(2sin B)2，即cos2 B4(1cos2 B)，故cos2 B.因为sin B0，所以cos B2sin B0，从而cos B.因此sincos B.10(2020辽宁三市调研)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足(ac)c.(1)求角B的大小；(2)若|，求ABC面积的最大值解：(1)由题意得(ac)cos Bbcos C.根据正弦定理得(sin Asin C)cos Bsin Bcos C，所以sin Acos Bsin(CB)，即sin Acos Bsin A.因为A(0，)，所以sin A0，所以cos B，又B(0，)，所以B.(2)因为|，所以|，即b，根据余弦定理及基本不等式得6a2c2ac2acac(2)ac(当且仅当ac时取等号)，即ac3(2)，故ABC的面积Sacsin B，即ABC面积的最大值为.11.(2020广东六校联考)某学校的平面示意图为如图五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为生活区，四边形区域BCDE为教学区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为学校的主要道路(不考虑宽度)BCDCDE，BAE，DE3BC3CD km.(1)求道路BE的长度(2)求生活区ABE面积的最大值解析：(1)如图，连接BD，在BCD中，由余弦定理得：BD2BC2CD22BCCDcosBCD，所以BD，因为BCCD，所以CDBCBD，又CDE，所以BDE.在RtBDE中，BE.(2)设ABE，因为BAE，所以AEB.在ABE中，由正弦定理，得，所以ABsin，AEsin .所以SABE|AB|AE|sin，因为0，所以当2，即时，SABE取得最大值为，即生活区ABE面积的最大值为.高考解答题审题与规范(二) 三角函数与解三角形类考题重在“变换”思维流程变角已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用变式在解决解三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等.真题案例审题指导审题方法(12分)(2019全国卷)ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知asinbsin A(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围.(1)利用正弦定理将已知条件统一成角的关系，再用诱导公式、二倍角公式变形化简，解出角的正弦值，从而得角B.(2)结合(1)及已知，把三角形面积表示成a的函数，再利用正弦定理将a表示为角C的三角函数，注意到锐角三角形及角B的大小，确定角C的范围，进而得解.条件是解题的主要材料，充分利用条件间的内在联系是解题的必经之路审视条件要充分挖掘每一个条件的内涵和隐含信息，发掘条件的内在联系.规范解答评分细则解析(1)由题设及正弦定理得sin Asinsin Bsin A1分因为sin A0，所以sinsin B2分由ABC180，可得sincos，故cos2sincos.3分因为cos0，故sin，因此B60.5分(2)由题设及(1)知ABC的面积SABCa.6分由正弦定理得a.8分由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90.由(1)知AC120，所以30C90，10分故a2，11分从而SABC.因此，ABC面积的取值范围是.12分第(1)问踩点得分正确利用正弦定理得1分sin A0正确化简得1分利用ABC180，恒等变形得1分cos0得sin得1分；进而求出B得1分第(2)问踩点得分表示出SABC得1分利用正弦定理并能表示出a得2分利用锐角和B60，得出C的范围得2分由C的范围得出a的范围得1分求出SABC的范围得1分.- 18 -