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第一节排列与组合考纲传真1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.3.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.4.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题1分类加法计数原理完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，在第n类办法中有mn种方法那么，完成这件事共有Nm1m2mn种方法(也称加法原理)2分步乘法计数原理完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，做第n步有mn种方法那么，完成这件事共有Nm1m2mn种方法3排列、组合的定义排列的定义从n个不同元素中取出m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列组合的定义合成一组4.排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数公式An(n1)(n2)(nm1)C性质An！，0！1CC，CCC基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事()(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的()(4)kCnC.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)图书馆的一个书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取1本书，不同的取法有()A12B16C64 D120B书架上共有35816本不同的书，从中任取一本共有16种不同的取法，故选B3(教材改编)用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为()A8 B24C48 D120C末位只能从2,4中选一个，其余的三个数字任意排列，故这样的偶数共有AC432248个故选C.4某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A85 B56C49 D28C法一(直接法)：甲、乙两人均入选，有CC种方法，甲、乙两人只有1人入选，有CC种方法，由分类加法计数原理，共有CCCC49种选法法二(间接法)：从9人中选3人有C种方法，其中甲、乙均不入选有C种方法，满足条件的选排方法有CC843549种5将6名教师分到三所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有_种不同的分法360将6名教师分组，分3步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C种取法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C种取法；第3步，余下的3名教师作为一组，有C种取法根据分步乘法计数原理，共有CCC60(种)取法将这三组教师分配到三所中学，有A6(种)分法，故共有606360(种)不同法两个计数原理的综合应用【例1】(1)从甲地到乙地每天有直达汽车4班，从甲到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地每天有3个班车，则从甲地到乙地不同的乘车方法有()A12种 B19种C32种 D60种(2)如图，用6种不同的颜色分别给图中A，B，C，D四块区域涂色，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有()A400种 B460种C480种 D496种(1)B(2)C(1)分两类：一类是直接从甲到乙，有n14种方法；另一类是从甲经丙再到乙，可分为两步，有n25315种方法由分类加法计数原理可得：从甲到乙的不同乘车方法nn1n241519.故选B(2)完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色当使用4种颜色时：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D有3种，完成此事共有6543360种方法；当使用3种颜色时，A，D使用同一种颜色，从A，D开始，有6种方法，B有5种，C有4种，完成此事共有654120种方法由分类加法计数原理可知：不同的涂法有360120480(种)规律方法与两个计数原理有关问题的解题策略(1)在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步，但在分步时可能又会用到分类加法计数原理(2)对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地画出示意图或列出表格，化抽象为直观 (1)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为_五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有_种(2)用0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成_个无重复数字的四位偶数(用数字作答)(1)4554(2)420(1)五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性(2)当末位数字是0时，如图(1)所示，共有A个不同的四位偶数；图(1)当末位数字是2或4或6时，如图(2)所示，共有AAC个不同的四位偶数；即共有AAAC1205543420个无重复数字的四位偶数图(2)排列问题【例2】3名女生和5名男生排成一排(1)若女生全排在一起，有多少种排法？(2)若女生都不相邻，有多少种排法？(3)若女生不站两端，有多少种排法？(4)其中甲必须排在乙左边(可不邻)，有多少种排法？(5)其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？解(1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同5名男生合在一起有6个元素，排成一排有A种排法，而其中每一种排法中，3名女生之间又有A种排法，因此共有AA4 320种不同排法(2)(插空法)先排5名男生，有A种排法，这5名男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A种排法，因此共有AA14 400种不同排法(3)法一(位置分析法)：因为两端不排女生，只能从5名男生中选2人排，有A种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A种排法，因此共有AA14 400种不同排法法二(元素分析法)：从中间6个位置选3个安排女生，有A种排法，其余位置无限制，有A种排法，因此共有AA14 400种不同排法. (4)8名学生的所有排列共A种，其中甲在乙左边与乙在甲左边的各占，因此符合要求的排法种数为A20 160.(5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置法一(特殊元素法)：甲在最右边时，其他的可全排，有A种不同排法；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有A种而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有A种，其余人全排列，共有AAA种不同排法由分类加法计数原理知，共有AAAA30 960种不同排法法二(特殊位置法)：先排最左边，除去甲外，有A种排法，余下7个位置全排，有A种排法，但应剔除乙在最右边时的排法AA种，因此共有AAAA30 960种排法法三(间接法)：8名学生全排列，共A种，其中，不符合条件的有甲在最左边时，有A种排法，乙在最右边时，有A种排法，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A种排法因此共有A2AA30 960种排法规律方法求解排列应用问题的六种常用方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反、等价转化的方法 (1)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A144 B120C72 D24(2)旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为()A24 B18C16 D10(1)D(2)D(1)先把3把椅子隔开摆好，它们之间和两端共有4个位置，再把3人带椅子插放在4个位置，共有A24(种)方法故选D(2)分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有A种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则有CA种可选的路线所以小李可选的旅游路线数为ACA10.故选D组合问题【例3】某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生当选；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选解(1)只有一名女生当选等价于有一名女生和四名男生当选故共有CC350种(2)两队长当选，共有CC165种(3)至少有一名队长当选含有两类：只有一名队长当选，有两名队长当选故共有CCCC825种(或采用排除法：CC825(种)(4)至多有两名女生当选含有三类：有两名女生当选，只有一名女生当选，没有女生当选故选法共有CCCCC966种律方规法组合问题的常见类型与处理方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解 (1)某单位拟安排6位员工在今年6月9日至11日值班，每天安排2人，每人值班1天若6位员工中的甲不值9日，乙不值11日，则不同的安排方法共有()A30种 B36种C42种 D48种(2)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A232 B252C472 D484(1)C(2)C(1)若甲在11日值班，则在除乙外的4人中任选1人在11日值班，有C种选法，9日、10日有CC种安排方法，共有CCC24(种)安排方法；若甲在10日值班，乙在9日值班，余下的4人有CCC种安排方法，共有12种安排方法；若甲、乙都在10日值班，则共有CC6(种)安排方法所以总共有2412642(种)安排方法(2)分两类：第一类，含有1张红色卡片，不同的取法共有CC264(种)；第二类，不含有红色卡片，不同的取法共有C3C22012208(种)由分类加法计数原理知，不同的取法有264208472(种)排列、组合的综合应用【例4】(1)将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲小组至少2人，乙、丙组至少1人，则不同的分配方案种数为()A80 B120C140 D50(2)如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1a2，且a2a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为()A240 B204C729 D920(1)A(2)A(1)先将5名同学分成3组，有两种分配方案，一是三组人数分别为2,2,1，分组方法有15(种)，然后将有2人的两组分给甲、乙或甲、丙，分配方法是15(AA)60(种)；二是三组人数分别为3,1,1，分组方法有10(种)，然后将1人的两组分给乙、丙两组，分配方法是10A20(种)故共有602080(种)(2)如果这个三位数含0，则0必在末位，共有这样的凸数C个；如果这个三位数不含0，则这样的凸数共有CAC个即共有2CCA240个规律方法1.排列组合综合题思路，先选后排，先组合后排列当有多个限制条件时，应以其中一个限制条件为标准分类，限制条件多时，多考虑用间接法，但需确定一个总数2(1)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法(2)对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法” (1)(2019长春质检)要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A，B，C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班的分法种数为()A6 B12C24 D36(2)(2017浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有_种不同的选法(用数字作答)(1)B(2)660(1)甲和另一个人一起分到A班有CA6种分法，甲一个人分到A班的方法有：CA6种分法，共有12种分法故选B(2)法一：只有1名女生时，先选1名女生，有C种方法；再选3名男生，有C种方法；然后排队长、副队长位置，有A种方法由分步乘法计数原理，知共有CCA480(种)选法有2名女生时，再选2名男生，有C种方法；然后排队长、副队长位置，有A种方法由分步乘法计数原理，知共有CA180(种)选法所以依据分类加法计数原理知共有480180660(种)不同的选法法二：不考虑限制条件，共有AC种不同的选法，而没有女生的选法有AC种，故至少有1名女生的选法有ACAC840180660(种)1.(2017全国卷)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A12种 B18种C24种 D36种D由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为CCA36(种)，或列式为CCC3236(种)故选D2(2016全国卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A24 B18C12 D9B从E到G需要分两步完成：先从E到F，再从F到G.从F到G的最短路径，只要考虑纵向路径即可，一旦纵向路径确定，横向路径即可确定，故从F到G的最短路径共有3条如图，从E到F的最短路径有两类：先从E到A，再从A到F，或先从E到B，再从B到F.因为从A到F或从B到F都与从F到G的路径形状相同，所以从A到F，从B到F最短路径的条数都是3，所以从E到F的最短路径有336(条)所以小明到老年公寓的最短路径条数为6318.3.(2018全国卷)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_种(用数字填写答案)16法一：可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有CC12(种)；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有CC4(种)根据分类加法计数原理知，至少有1位女生入选的不同的选法有16种法二：从6人中任选3人，不同的选法有C20(种)，从6人中任选3人都是男生，不同的选法有C4(种)，所以至少有1位女生入选的不同的选法有20416(种)- 9 -
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