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第67讲坐标系考纲要求考情分析命题趋势1.理解坐标系的作用2了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况3能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化4能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.2017全国卷，222016全国卷，232016北京卷，11极坐标与直角坐标在高考中主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程.分值：510分1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换2极坐标系(1)极坐标系的概念极坐标系：如图所示，在平面内取一个_定点_O，点O叫做极点，自极点O引一条_射线_Ox，Ox叫做极轴；再选定一个_长度单位_、一个_角度单位_(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系极坐标：一般地，没有特殊说明时，我们认为0，可取任意实数点与极坐标的关系：一般地，极坐标(，)与(，2k)(kZ)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，)(R)，与直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有_无数_种表示如果规定0,00，所以a1.a1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上所以a1.1求双曲线C：x21经过：变换后所得曲线C的焦点坐标解析 设曲线C上任意一点P(x，y)，将代入x21得1，化简得1，即1为曲线C的方程，可见仍是双曲线，则所求焦点坐标为F1(5,0)，F2(5,0)2已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为2，22cos2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程解析 (1)由2知24，所以x2y24；因为22cos2，所以222.所以x2y22x2y20.(2)将两圆直角坐标方程相减，得过两圆交点的直线方程为xy1.化为极坐标方程为cos sin 1，即sin.3在极坐标系中，求直线sin2被圆4截得的弦长解析 由sin2，得(cos sin )2可化为xy20.圆4可化为x2y216，由圆中的弦长公式得224.故所求弦长为4.4(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos 4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|OP|16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值解析 (1)设P的极坐标为(，)(0)，M的极坐标为(1，)(10)由题设知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16得C2的极坐标方程4cos (0)因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点B的极坐标为(B，)(B0)，由题设知|OA|2，B4cos ，于是OAB的面积S|OA|BsinAOB4cos 22.当时，S取得最大值2.所以OAB面积的最大值为2.易错点忽略变量的取值范围错因分析：忽略变量的取值范围，导致错误【例1】 求极坐标方程所对应的直角坐标方程解析 由(sin 0)，得(cos 1)，cos 2(cos 1)，(*)x2，化简得y24x4，当cos 1时，(*)式不成立；当cos 1时，由(*)式知1，xcos 1.综上可知，y24x4(x1)即为所求【跟踪训练1】 已知直线l的参数方程为(t为参数，00得|sin |，0，.(2)由(*)知，2sin ，代入中，整理得P1P2的中点的轨迹方程为.课时达标第67讲解密考纲高考中，主要涉及曲线的极坐标方程、曲线的参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化，两种不同方式的方程的互化是考查的热点，常以解答题的形式出现1求椭圆y21经过伸缩变换后的曲线方程解析 由得到代入y21，得y21，即x2y21.因此椭圆y21经伸缩变换后得到的曲线方程是x2y21.2在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为cosa，且点A在直线l上(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；(2)圆C的参数方程为(为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系解析 (1)由点A在直线l上，得cosa，则a，故直线l的方程可化为sin cos 2，得直线l的直角坐标方程为xy20.(2)圆C的普通方程为(x1)2y21，圆心C到直线l的距离d1，所以直线l与圆C相交3(2018海南模拟)已知曲线C1的极坐标方程为6cos ，曲线C2的极坐标方程为(R)，曲线C1，C2相交于A，B两点(1)把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；(2)求弦AB的长度解析 (1)曲线C2的直角坐标方程为yx，曲线C1：6cos ，即26cos ，所以x2y26x，即(x3)2y29.(2)圆心(3,0)到直线的距离d，圆C1的半径r3，|AB|23.弦AB的长度为3.4在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为2，直线l的极坐标方程为.(1)写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；(2)设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l的距离的最小值解析 (1)根据 2x2y2，xcos ，ysin ，可得C1的直角坐标方程为x22y22，直线l的直角坐标方程为xy4.(2)设Q(cos ，sin )，则点Q到直线l的距离为d，当且仅当2k，即2k(kZ)时取等号点Q到直线l的距离的最小值为.5(2016全国卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x6)2y225.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，求l的斜率解析 (1)由xcos ，ysin ，可得圆C的极坐标方程为212cos 110.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(R)设A，B所对应的极径分别为1，2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得212cos 110.于是1212cos ，1211.|AB|12|.由|AB|，得cos2，tan .所以l的斜率为或.6(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：(cos sin )0，M为l3与C的交点，求M的极径解析 (1)消去参数t得l1的普通方程l1：yk(x2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y(x2)设P(x，y)，由题设得消去k得x2y24(y0)所以C的普通方程为x2y24(y0)(2)C的极坐标方程为2(cos 2sin 2)4(02，)联立得cos sin 2(cos sin )故tan ，从而cos 2，sin 2.代入2(cos 2sin 2)4得25，所以交点M的极径为.9
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