资源描述
3.1.1函数的概念(教师独具内容)课程标准：1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型.2.在此基础上学习用集合与对应的符号语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，能求一些简单函数的定义域教学重点：1.理解函数的定义，会求一些简单函数的定义域和值域.2.明确函数的两个要素，了解同一个函数的定义，会判定两个给定的函数是否是同一个函数教学难点：1.对应关系f的正确理解，函数符号yf(x)的理解.2.抽象函数的定义域.3.一些简单函数值域的求法.【知识导学】知识点一函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x)，xA.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域显然，值域是集合B的子集注意：(1)两个非空实数集间的对应能否构成函数，主要看是否满足三性：任意性、存在性、唯一性这是因为函数概念中明确要求对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应这三性只要有一个不满足便不能构成函数(2)集合A是函数的定义域，因为给定A中每一个x值都有唯一的y值与之对应；集合B不一定是函数的值域，因为B中的元素可以在A中没有与之对应的x，也就是说，B中的某些元素可以不是函数值，即f(x)|xAB.(3)在函数定义中，我们用符号yf(x)表示函数，其中f(x)表示“x对应的函数值”，而不是“f乘x”知识点二函数的两要素从函数的定义可以看出，函数有三个要素：定义域、对应关系、值域，由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应关系即要检验给定的两个变量(变量均为数值)之间是否具有函数关系，只要检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量x在其定义域中的每一个值是否都有唯一的函数值y和它对应知识点三区间的概念(1)设a，b是两个实数，而且ab.我们规定：满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为a，b；满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)；满足不等式axb或aa，xb，xb的实数x的集合，用区间分别表示为a，)，(a，)，(，b，(，b)(2)区间的几何表示在用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点(3)含“”的区间的几何表示注意：(1)无穷大“”只是一个符号，而不是一个数，因而它不具备数的一些性质和运算法则(2)以“”或“”为区间一端时，这一端必须用小括号知识点四同一个函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数【新知拓展】(1)函数符号“yf(x)”是数学中抽象符号之一，“yf(x)”仅为y是x的函数的数学表示，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图表或图象(2)函数的概念中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，这是因为函数定义中明确要求是对于非空实数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一确定(唯一性)的数y和它对应，这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应()(2)函数的定义域和值域一定是无限集合()(3)定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了()(4)若函数的定义域中只有一个元素，则值域中也只有一个元素()(5)对于定义在集合A到集合B上的函数yf(x)，x1，x2A，若x1x2，则f(x1)f(x2)()答案(1)(2)(3)(4)(5)2做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)下列给出的对应关系f，不能确定从集合A到集合B的函数关系的是_A1,4，B1,1，2,2，对应关系：开平方；A0,1,2，B1,2，对应关系：A0,2，B0,1，对应关系：(2)下列函数中，与函数yx是同一个函数的是_y；y；y()2；st.答案(1)(2)题型一求函数的定义域例1求下列函数的定义域：(1)y2x3；(2)f(x)；(3)y；(4)y；(5)y(12x)0.解(1)函数y2x3的定义域为x|xR(2)要使函数式有意义，即分式有意义，则x10，x1.故函数的定义域为x|x1(3)要使函数式有意义，则即所以x1，从而函数的定义域为x|x1(4)因为当x210，即x1时，有意义，所以函数的定义域是x|x1(5)12x0，即x，函数的定义域为x.例2已知函数f(x)的定义域是1,4，求函数f(2x1)的定义域解已知函数f(x)的定义域是1,4，即1x4.故对于f(2x1)应有12x14.22x3，1x，函数f(2x1)的定义域是.例3如图所示，用长为1 m的铁丝做一个下部为矩形、上部为半圆形的框架(铁丝恰好用完)，若半圆的半径为x(单位：m)，求此框架围成的面积y(单位：m2)与x的函数关系式解由题意可得，AB2x，的长为x，于是AD，y2x，即yx2x.由得0x，此函数的定义域为.故所求的函数关系式为yx2x.金版点睛求函数定义域的基本要求(1)整式：若yf(x)为整式，则函数的定义域是实数集R.(2)分式：若yf(x)为分式，则函数的定义域为使分母不为0的实数集(3)偶次根式：若yf(x)为偶次根式，则函数的定义域为被开方数非负的实数集(特别注意0的0次幂没有意义)(4)几部分组成：若yf(x)是由几部分数学式子的和、差、积、商组成的形式，定义域是使各部分都有意义的集合的交集(5)对于抽象函数的定义域：若f(x)的定义域为a，b，则fg(x)中，g(x)a，b，从中解得x的解集即fg(x)的定义域若fg(x)的定义域为m，n，则由xm，n可确定g(x)的范围，设ug(x)，则fg(x)f(u)，又f(u)与f(x)是同一个函数，所以g(x)的范围即f(x)的定义域已知f(x)的定义域，求fh(x)的定义域，先由f(x)中x的取值范围，求出(x)的取值范围，即f(x)中的x的取值范围，即h(x)的取值范围，再根据h(x)的取值范围便可以求出fh(x)中x的取值范围(6)实际问题：若yf(x)是由实际问题确定的，其定义域要受实际问题的约束如：例3中，任何一条线段的长均大于零(1)若函数f(x1)的定义域为，则函数f(x1)的定义域为_；(2)求下列函数的定义域：y；y；(3)求函数y的定义域；将长为a m的铁丝折成矩形(铁丝恰好用完)，求矩形的面积y(单位：m2)关于一边长x(单位：m)的解析式，并写出此函数的定义域答案(1)(2)见解析(3)见解析解析(1)由题意知，x2，则x13，即f(x)的定义域为，x13，解得x4.f(x1)的定义域为.(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足即函数的定义域为x|x1，且x1要使函数有意义，需满足|x|x0，即|x|x，x0.函数的定义域为x|x0时，f(a1)的值解(1)f(2).(2)易知f(x)的定义域A0，)，a0，a11，则a1A，f(a1).题型四 求函数的值域例6求下列函数的值域：(1)yx1，x1,2,3,4,5；(2)yx22x3，x0,3)；(3)y；(4)y2x.解(1)(观察法)因为x1,2,3,4,5，分别代入求值，可得函数的值域为2,3,4,5,6(2)(配方法)yx22x3(x1)22，由x0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为2,6)(3)(分离常数法)y2，显然0，所以y2.故函数的值域为(，2)(2，)(4)(换元法)设t，则xt21，且t0，所以y2(t21)t22，由t0，再结合函数的图象(如右图)，可得函数的值域为.金版点睛求函数值域的原则及常用方法(1)原则：先确定相应的定义域；再根据函数的具体形式及运算法则确定其值域(2)常用方法观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域对于f(x)axb(其中a，b，c，d为常数，且ac0)型的函数常用换元法分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域求下列函数的值域：(1)y；(2)yx24x6，x1,5)；(3)yx.解(1)y1，且0，函数y的值域为y|y1(2)配方，得y(x2)22.x1,5)，结合函数的图象可知，函数的值域为y|2y11(3)(换元法)设t，则xt21，且t0，所以yt2t12，由t0，再结合函数的图象可得函数的值域为1，).题型五 相同函数的判断例7下列各组函数表示同一函数的是()Af(x)x，g(x)()2Bf(x)x21，g(t)t21Cf(x)1，g(x)Df(x)x，g(x)|x|解析A项中，由于f(x)x的定义域为R，g(x)()2的定义域为x|x0，它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数B项中，函数的定义域、值域和对应关系都相同，所以它们是同一函数C项中，由于f(x)1的定义域为R，g(x)的定义域为x|x0，它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数D项中，两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不是同一函数答案B金版点睛判断两个函数为同一函数的条件(1)判断两个函数是相同函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是相同函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相同函数(2)函数是两个实数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的另外，在化简解析式时，必须是等价变形下列函数中哪个与函数yx相同？(1)y()2；(2)y；(3)y；(4)y.解(1)y()2x(x0)，y0，定义域不同且值域不同，所以不相同(2)yx(xR)，yR，对应关系相同，定义域和值域都相同，所以相同(3)y|x|y0；值域不同，且当x2Cx|x2 Dx|x2答案C解析要使函数式有意义，则2x0，即x2.所以函数的定义域为x|x23已知函数f(x)的定义域为(1,0)，则函数f(2x1)的定义域为()A(1,1) B.C(1,0) D.答案B解析原函数的定义域为(1,0)，12x10，解得1x.函数f(2x1)的定义域为.4已知函数f(x)x22ax5的定义域和值域都是1，a，则a_.答案2解析因为f(x)(xa)25a2，所以f(x)在1，a上是减函数，又f(x)的定义域和值域均为1，a，所以即解得a2.5已知函数f(x)x2x1.(1)求f(2)，f，f(a1)；(2)若f(x)5，求x.解(1)f(2)22215，f1，f(a1)(a1)2(a1)1a23a1.(2)f(x)x2x15，x2x60，解得x2或x3.- 12 -
展开阅读全文