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2.3映射学 习 目 标核 心 素 养1.了解映射、一一映射的概念(重点)2初步了解映射与函数间的联系与区别(易混点)3感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用(重点)1.通过学习映射的概念，培养数学抽象素养2通过学习有关映射的概念提升逻辑推理素养.阅读教材P32的有关内容，完成下列问题1映射的概念两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：AB.2像与原像的概念在映射f：AB中，A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像，记作f：xy.思考1：映射f：AB的原像集一定是A，像集一定是B吗？提示原像集一定是A，像集不一定是B.当B中存在元素没有原像时，像集不是B.3一一映射的概念阅读教材P33的有关内容，完成下列问题一一映射是一种特殊的映射，它满足：(1)A中每一个元素在B中都有唯一的像与之对应；(2)A中的不同元素的像也不同；(3)B中的每一个元素都有原像思考2：对于一一映射f：AB，若A中有n个元素，则B中一定也有n个元素吗？提示B中一定有n个元素4函数与映射的关系阅读教材P33的有关内容，完成下列问题设A，B是两个非空数集，f是A到B的一个映射，那么映射f：AB就叫作A到B的函数即函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射思考3：f：学生该学生的学籍号，是映射，但它是函数吗？提示不是函数，因为集合学生不是数集1设集合A1,2,3，Ba，b，c，则从集合A到B的一一映射的个数为()A4 B6C9 D12B共6个2设AZ，B0,1，从A到B的映射是“求被2除的余数”，则A中元素3的像是_1因为3(2)21，所以，3的像是1.3下列集合A到集合B的映射f不是函数的有_A1,0,1，B1,0,1，f：A中的数平方；A0,1，B1,0,1，f：A中的数开方；AN，BQ，f：A中的数取倒数当xA时，yx2B，是函数，当x1，y1，不是函数，当x0时，像不存在4设f：xax1为从集合A到B的映射，若f(2)3，则f(3)_.5由f(2)3，得2a13，解得a2，所以f(3)2315.映射、一一映射的判断【例1】已知集合Ax|0x3，By|0y1判断下列对应是否是集合A到集合B的映射，是否是一一映射，并说明理由(1)f：xyx；(2)f：xy(x2)2；(3)f：xy(x1)2.思路探究根据映射、一一映射的定义判断解(1)因为0x3，所以0x1，所以对集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的像，所以对应f：AB是集合A到集合B的映射对于集合B中的每一个元素y，由x3y及0y1，有03y3,0x3.即集合B中的每一个元素在集合A中都有原像，且这样的原像只有一个，所以对应f：AB是一一映射；(2)因为0x3，所以2x21，所以0(x2)24，所以集合A中的某些元素，如x0，在集合B中没有像，因此对应f：AB不是映射，更不是一一映射；(3)因为0x3，所以1x12,0(x1)21，所以集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的像，所以对应f：AB是映射对于集合A中的元素x0和x2，都对应于集合B中的同一个元素，所以不是一一映射1映射应满足存在性：集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素；唯一性：集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应2一一映射，在对应是映射的基础上，若B中没有剩余元素，且对应关系是“一对一”，则为一一映射1下列集合A到集合B的对应中是一一映射的为_(填序号)AN，BZ，f：xyx；AR，BR，f：xy；A4，1,1,4，B2，1,1,2，f：xy；A平面内边长不同的等边三角形，B平面内半径不同的圆，f：作等边三角形的内切圆是映射，不是一一映射，因为集合B中有些元素(正整数)没有原像是映射，是一一映射不同的正实数有不同的唯一的倒数且仍是正实数，任何一个正实数都存在倒数不是映射，因为集合A中的元素(如4)对应集合B中的两个元素(2和2)是一一映射求像与原像【例2】设f：AB是一个映射，其中AB(x，y)|x，yR，f：(x，y)(xy，xy)(1)求A中元素(1,2)的像；(2)求B中元素(1,2)的原像思路探究从f：(x，y)(xy，xy)入手，其中(x，y)是原像，(xy，xy)是像解(1)当x1，y2时，xy123，xy121.所以(1,2)的像是(3,1)(2)由得所以(1,2)的原像是.1(变条件)设AZ，Bx|x2n1，nZ，CR，且从A到B的映射是f：x2x1，从B到C的映射是g：y，则经过两次映射，A中元素1在C中的像为_f：12111，g：1.2(变结论)已知f：xy|x|1是从集合R到R的一个映射，若b不是该映射的像，则b的取值范围是_(，1)y|x|11，该映射的像集是1，)b的取值范围是(，1)在求像和原像时要分清原像和像，特别注意原像到像的对应关系.对A中元素求像，只需将原像代入对应关系即可.对B中元素求原像，可先设出它的原像，然后利用对应关系列出方程(组)求解.求映射个数探究问题1已知集合Aa，b，B1,2,3，试建立一个从A到B像集为1,2的映射提示：或2对于探究1中的集合A，B，可以建立多少个从A到B的映射？提示：像集分别为1，2，3的映射各1个；像集分别为1,2，1,3，2,3的映射各2个，所以，从A到B可以建立9个映射3对于探究1中的集合A，B，可以建立多少个从B到A的映射？提示：像集分别为a，b的映射各1个，像集为a，b的映射有6个，如下：所以，从B到A可以建立8个映射【例3】已知集合Aa，b，B1,2,3，映射f：AB，则满足f(a)f(b)的映射有多少个？思路探究建立映射就是给原像找像，一种找法对应一个映射，为了避免重与漏，可以按f(a)的可能取值分类寻找解因为f(a)f(b)，所以，当f(a)1时，f(b)1,2,3；当f(a)2时，f(b)2,3；当f(a)3时，f(b)3.所以，满足条件的映射共6个1确定映射，就是给每个原像找像，每种找法对应一个映射2对于求满足某些特定要求的映射个数时，可将映射具体化、形象化(如列表、画图等)2设Aa，b，c，B1,0,1，若从A到B的映射满足f(a)f(b)f(c)，求这样的映射f的个数解列表如下：f(b)f(c)f(a)1011100101101由上表可知，所求的映射有7个1映射的特征(1)任意性：A中任意元素x在B中都有元素y与之对应(2)唯一性：A中任意元素x在B中都有唯一元素y与之对应(3)方向性：f：AB与f：BA一般是不同的映射2一一映射和映射的区别与联系映射f：AB一一映射f：AB对应方式“多对一”或“一对一”一对一原像B中的一些元素可能没有原像B中的任何元素都有唯一的原像像A中的几个元素可能对应同一个像A中的任何元素都对应不同的像方向性B到A不一定是映射B到A是一一映射1思考辨析(1)对于映射f：AB，集合B中的每一个元素都有原像()(2)若AZ，BQ，则f：xy是由集合A到集合B的映射()(3)f：xyx1是由自然数集到自然数集的一一映射()解析(1)；(2)， 0A，但没有像；(3)，0N，但没有原像答案(1)(2)(3)2若映射f：xyx1，则1的像是_当x1时，y11.3若映射f：xyx23x2，则2的原像是_1或4当x23x22时，x1或4.所以，2的原像为1或4.4判断下列对应是否是从集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？(1)A平面内的圆，B平面内的矩形，对应关系f：“作圆的内接矩形”；(2)ABZ，对应关系f：xyx1；(3)ABN，对应关系f：xy(x2)2.解(1)不是映射，(2)与(3)是映射，也是函数，其中(2)是一一映射- 7 -
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