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第1课时函数的表示法(教师独具内容)课程标准：1.了解函数的三种表示方法及各自的优缺点.2.通过实例了解分段函数的概念.3.掌握求函数解析式的常见方法教学重点：1.函数的三种表示方法.2.根据条件求函数的解析式教学难点：用解析法和图象法表示分段函数.【知识导学】知识点一函数的表示法(1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系(2)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系(3)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系知识点二描点法作函数图象的三个步骤(1)列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，再计算出与这些自变量x相对应的函数值f(x)，并用表格的形式表示出来(2)描点：把第(1)步表格中的点(x，f(x)一一在平面直角坐标系中描出来(3)连线：用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大(或由大到小)的顺序连接起来知识点三分段函数的概念如果函数yf(x)，xA，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，那么称这样的函数为分段函数【新知拓展】1函数三种表示法的几点说明(1)解析法：变量间的对应关系明确，且要注意函数的定义域(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系比如我们生活中经常遇到的列车时刻表、银行的利率表等其优点是不需要计算就可以直接看出与自变量相对应的函数值这种表示法常常被应用到实际生产和生活中去(3)图象法：函数图象的形状不一定是一条或几条无限长的平滑曲线，也可能是一些点、一些线段、一段曲线等，但不是任何一个图形都是函数图象2分段函数的特点(1)分段函数是一个函数，并非几个函数(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集(3)分段函数的值域是各段值域的并集(4)分段函数的图象要分段来画1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)任何一个函数都可以用列表法表示()(2)任何一个函数都可以用解析法表示()(3)分段函数是几个函数，而不是一个函数()(4)函数的图象可以是一条水平直线()(5)函数y1|x|的图象如图()答案(1)(2)(3)(4)(5)2做一做(1)已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于()A1 B2 C3 D不存在(2)函数yf(x)的图象如图，则f(x)的定义域是()ARB(，1)(1，)C(，0)(0，)D(1,0)(3)已知反比例函数f(x)满足f(3)6，f(x)的解析式为_(4)已知函数f(x)则f(3)_.(5)已知f(x)若f(x0)4，则x0_.答案(1)C(2)C(3)f(x)(4)1(5)2或1题型一 函数的表示法例1某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y(单位：元)之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来解(1)列表法： (2)图象法：如图所示(3)解析法：y3000x，x1,2,3，10金版点睛理解函数的表示法的三个关注点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出则fg(1)的值为_；当gf(x)2时，x_.答案11解析由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)3，fg(1)f(3)1；由于g(2)2，f(x)2，x1.题型二 函数图象的作法及应用例2作出下列函数的图象并求出其值域(1)y，x2，)；(2)yx22x，x2,2；(3)y(4)y|x1|x3|.解(1)列表：画图象，当x2，)时，图象是反比例函数y的一部分(图)，观察图象可知其值域为(0,1 (2)列表：画图象，图象是抛物线yx22x在2x2之间的部分(图)由图可得函数的值域是1,8(3)函数y的图象如图所示，观察图象，得函数的值域为(1，)(4)将原函数式中的绝对值符号去掉，化为分段函数为y的图象如图所示观察图象，得函数的值域为4，)金版点睛作函数图象的方法(1)若函数是一次函数、二次函数、反比例函数等，则可根据函数图象特征描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍(2)若函数是复合函数，则要按：列表；描点；连线三个基本步骤作出函数的图象.(3)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象.(4)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，可先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.作出下列函数图象，并求其值域：(1)y1x(xZ，且|x|2)；(2)y2x24x3(0x0)，fg(x)4x220x25，(axb)24x220x25，即a2x22abxb24x220x25，从而a24,2ab20，b225，解得a2，b5，故g(x)2x5(xR)(2)解法一(配凑法)：f(1)x2(1)21(11)，f(x)x21(x1)解法二(换元法)：令1t(t1)，则x(t1)2(t1)，f(t)(t1)22(t1)t21(t1)f(x)x21(x1)(3)将f(x)2f(x)x22x中的x用x替换，得f(x)2f(x)x22x.于是得到关于f(x)，f(x)的方程组解得f(x)x22x.(4)由已知条件得f(0)1，又f(xy)f(x)y(2x1)，设yx，则f(xx)f(x)(x)(2x1)，f(x)2x2x1.题型四 根据图象求分段函数的解析式例4根据如图所示的函数f(x)的图象，写出函数的解析式解当3x1时，设f(x)axb(a0)，将点(3,1)，(1，2)代入，可得f(x)x；当1x1时，同理，可设f(x)cxd(c0)，将点(1，2)，(1,1)代入，可得f(x)x；当1x2时，f(x)1.所以f(x)金版点睛由图象求函数的解析式，需充分挖掘图象中提供的点的坐标，合理利用待定系数法求解.对于分段函数，需观察各段图象的端点是空心点还是实心点，正确写出各段解析式对应的自变量的范围.已知函数yf(x)的图象是由图中的两条射线和抛物线的一部分组成的，求此函数的解析式解设左侧的射线对应的解析式为ykxb(x1)点(1,1)，(0,2)在射线上，解得左侧射线对应的函数的解析式为yx2(x1)同理，当x3时，函数的解析式为yx2(x3)设抛物线的一部分对应的二次函数的解析式为ya(x2)22(1x3，a0)点(1,1)在抛物线上，a21，即a1.当1x3时，函数的解析式为yx24x2(1x3)综上，函数的解析式为y题型五 分段函数求值例5(1)设f(x)则f(5)的值是()A24 B21 C18 D16(2)设函数f(x)则ff(3)()A. B3 C. D.(3)已知函数f(x)若f(x)3，则x_.解析(1)f(5)ff(10)，f(10)ff(15)f(18)21，f(5)f(21)24.(2)f(3)1，由1x23，得x24，解得x2或x2(舍去)综上可得，所求x的值为4或2.答案(1)A(2)D(3)4或2金版点睛1求分段函数函数值的方法(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止2已知函数值求字母取值的步骤(1)先对字母的取值范围分类讨论(2)然后代入到不同的解析式中(3)通过解方程求出字母的值(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内3若题目是含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理(1)已知函数f(x)若ff(0)a，则实数a_；(2)已知f(x)求fff(3)答案(1)(2)见解析解析(1)依题意知f(0)3022，则ff(0)f(2)222aa，求得a.(2)30，fff(3)f()1，即fff(3)1.1已知函数yf(x)的对应关系如下表，函数yg(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则fg(2)的值为()A3 B2 C1 D0答案B解析由函数g(x)的图象知，g(2)1，则fg(2)f(1)2.2下列图形是函数yx|x|的图象的是()答案D解析f(x)分别画出yx2(取x0部分)及yx2(取x0部分)即可3对a，bR，记maxa，b函数f(x)max|x1|，|x2|(xR)的最小值是()A0 B. C. D3答案C解析分别作出y|x1|和y|x2|的图象，则实线部分为f(x)的图象，由图象可得，其最小值为.故选C.4如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(4,2)，则fff(2)_，f(x)的值域是_答案20,4解析f(2)0，ff(2)f(0)4，fff(2)f(4)2.由图象可知，f(x)的值域是0,45已知f(x)xb，f(ax1)3x2，求a，b的值解由f(x)xb，得f(ax1)ax1b.ax1b3x2，a3，b12，即a3，b1.- 12 -
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