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第2课时函数的最大(小)值(教师独具内容)课程标准：1.理解函数最大(小)值的含义并会用符号语言表达函数的最大(小)值.2.会求简单函数的最大(小)值.3.会运用函数的图象理解和研究函数的最值教学重点：1.函数最大(小)值的含义及其几何意义.2.求一些简单函数的最值教学难点：求较复杂函数的最值.【知识导学】知识点一函数的最大值(1)定义：一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：xI，都有f(x)M；x0I，使得f(x0)M.那么，称M是函数yf(x)的最大值(2)几何意义：函数yf(x)的最大值是图象最高点的纵坐标知识点二函数的最小值(1)定义：一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：xI，都有f(x)M；x0I，使得f(x0)M.那么，称M是函数yf(x)的最小值(2)几何意义：函数yf(x)的最小值是图象最低点的纵坐标【新知拓展】(1)并不是每一个函数都有最值，如函数y，既没有最大值，也没有最小值(2)有些函数只有最大(小)值，没有最小(大)值，如函数yx2(yx2)(3)特别地，对于常函数f(x)C，它的最大值和最小值都是C.1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)任何函数都有最大值或最小值()(2)函数的最小值一定比最大值小()(3)若函数yf(x)有最大值，则这个最大值唯一()(4)若函数yf(x)的最大值是M，则使f(x0)M的x0是唯一的()(5)对于函数yf(x)，如果它的函数值都不小于3，那么该函数的最小值是3.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)函数f(x)x2在0,1上的最大值是_(2)函数y在2,6上的最大值与最小值之和等于_(3)函数y2x22，xN*的最小值是_答案(1)1(2)(3)4题型一 利用图象求函数最值例1(1)已知函数f(x)求f(x)的最大值、最小值；(2)画出函数f(x)的图象，并写出函数的单调区间，函数的最小值解(1)作出函数f(x)的图象(如图)由图象可知，当x1时，f(x)取最大值为f(1)1；当x0时，f(x)取最小值f(0)0，故f(x)的最大值为1，最小值为0.(2)f(x)的图象如图所示，f(x)的单调递增区间是(，0)和0，)，函数的最小值为f(0)1.金版点睛图象法求最值的一般步骤求函数y|x1|x2|的最大值和最小值解y|x1|x2|作出函数的图象，如图所示由图可知，y3,3所以函数的最大值为3，最小值为3.题型二 利用单调性求函数最值例2求函数f(x)x在x1,3上的最大值与最小值解设1x1x23，则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2).又因为x1x2，所以x1x20.当1x1x22时，10，所以f(x)在1,2上单调递减当2x10，所以f(x1)f(x2)0.所以f(x)在(2,3上单调递增所以f(x)的最小值为f(2)24.又因为f(1)5，f(3)3f(1)，所以f(x)的最大值为5.金版点睛利用单调性求函数最值(1)利用函数的单调性求函数最值是常用方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法(2)注意对问题中求最值的区间与函数的单调区间之间的关系进行辨析；注意对问题中求最值的区间的端点值的取舍求函数y在区间1,2上的最大值和最小值解令f(x)，x1，x21,2，且x1x2，则f(x1)f(x2)，因为1x1x22，所以2x1x24，即63(x1x2)12，又1x1x20，故f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数y在区间1,2上单调递减，所以ymaxf(1)，yminf(2)4.题型三 求二次函数的最值例3(1)已知函数f(x)x22x3，若x0,2，求函数f(x)的最值；(2)已知函数f(x)x22x3，若xt，t2，求函数f(x)的最值；(3)已知函数f(x)x22ax2，x1,1，求函数f(x)的最小值；(4)已知函数f(x)x23，求函数f(x)的最值解(1)函数f(x)x22x3图象的开口向上，对称轴x1，f(x)在0,1上单调递减，在1,2上单调递增，且f(0)f(2)f(x)maxf(0)f(2)3，f(x)minf(1)4.(2)由(1)知对称轴x1，当1t2即t1时，f(x)maxf(t)t22t3，f(x)minf(t2)t22t3.当1t2，即1t0时，f(x)maxf(t)t22t3，f(x)minf(1)4.当t1，即0t1时，f(x)maxf(t2)t22t3，f(x)minf(1)4.当11时，f(x)maxf(t2)t22t3，f(x)minf(t)t22t3.设函数最大值为g(t)，最小值为(t)，则有g(t)(t)(3)f(x)x22ax2(xa)22a2的图象开口向上，且对称轴为直线xa.当a1时，函数图象如图所示，函数f(x)在区间1,1上单调递减，最小值为f(1)32a；当1a1时，函数图象如图所示，函数f(x)在区间1,1上先单调递减后单调递增，最小值为f(a)2a2；当a1时，函数图象如图所示，函数f(x)在区间1,1上单调递增，最小值为f(1)32a.(4)设t(t0)，则x23t22t3.yt22t3(t0)在0,1上单调递减，在1，)上单调递增，当t1，即x1时，f(x)min4，无最大值金版点睛二次函数最值的求法(1)探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出yf(x)的草图，然后根据图象判断函数的单调性对于“定对称轴变区间”“变对称轴定区间”的情况，特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得(2)二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系：对称轴在定义域的右侧；对称轴在定义域的左侧；对称轴在定义域区间内(3)对某些函数，可通过换元，转化为二次函数，如函数f(x)x23.(1)已知函数f(x)x42x23，求函数f(x)的最值；(2)求二次函数f(x)x22ax2在2,4上的最小值；(3)求函数f(x)x22x2在区间t，t1上的最小值g(t)解(1)设x2t(t0)，则x42x23t22t3.令yt22t3(t0)在0,1上单调递减，在1，)上单调递增当t1，即x1时，f(x)min4，无最大值(2)函数图象的对称轴是xa，当a4时，f(x)在2,4上单调递减，f(x)minf(4)188a.当2a4时，f(x)minf(a)2a2.f(x)min(3)f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，对称轴为x1.当t11，即t1时，函数图象如图所示，函数f(x)在区间t，t1上单调递增，最小值为g(t)f(t)t22t2.综上可得，g(t)题型四 应用题中的最值问题例4某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)其中x是仪器的月产量(单位：台)(1)将利润表示为关于月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益总成本利润)解(1)月产量为x台，则总成本为(20000100x)元，从而f(x)(2)当0x400时，f(x)(x300)225000，当x300时，f(x)max25000；当x400时，f(x)60000100x是减函数，f(x)600001004002000025000.当x300时，f(x)max25000.即每月生产300台仪器时公司所获利润最大，最大利润为25000元金版点睛解实际应用题的四个步骤(1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系(2)建模：建立数学模型，列出函数关系式(3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围)(4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案某水厂蓄水池有水450吨，水厂每小时向蓄水池注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t小时内供水量为80 吨，现在开始向池中注水并同时向居民供水，多少小时后蓄水池中水量最少？解设t小时后，池中水量为y吨，则y45080t804(10)250，当10，即t5时，ymin50，所以，5小时后蓄水池中水量最少，只有50吨1函数f(x)在2，)上的图象如图所示，则此函数的最大、最小值分别为()A3,0 B3,1C3，无最小值 D3，2答案C解析观察图象可以知道，图象的最高点坐标是(0,3)，从而其最大值是3；另外从图象看，无最低点，即该函数不存在最小值故选C.2已知函数f(x)x22，其中x0,2，这个函数的最大值和最小值分别为()A2和1 B2和2C2和1 D1和2答案B解析f(x)x22在区间0,2上单调递增，ymaxf(2)2，yminf(0)2.3长为4，宽为3的矩形，当长增加x，且宽减少时，面积S最大，此时x的值为()A. B1 C. D2答案B解析S(4x)x2x12(x1)2，又即0x6，当x1时，S取最大值.故选B.4函数f(x)(x3,5)是_函数(填“增”或“减”)，它的最大值是_，最小值是_答案减62解析易知函数是减函数，从而f(x)的最大值是f(3)6，最小值是f(5)2.5已知二次函数yx24x5，分别求下列条件下函数的最小值：(1)x1,0；(2)xa，a1解(1)二次函数yx24x5图象的对称轴为x2且开口向上，二次函数在x1,0上单调递减ymin024055.(2)当a2时，函数在xa，a1上单调递增，ymina24a5；当a12，即a1时，函数在a，a1上单调递减，ymin(a1)24(a1)5a22a2；当a2a1，即1a2时，ymin224251.故函数的最小值为- 9 -
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