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第2章 推理与证明学习目标1.了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理.2.了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理.3.了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法，并能利用分析法和综合法证明简单的问题.4.了解反证法的思想，并能灵活应用知识点一合情推理1归纳推理(1)定义：从个别事实中推演出_的结论的推理称为归纳推理归纳推理的思维过程大致是：_.(2)特点：由_到整体、由_到一般的推理2类比推理(1)定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理类比推理的思维过程为：_.(2)特点：类比推理是由_到_的推理3合情推理合情推理是根据_、_、_，以及个人的_和直觉等推测某些结果的推理过程_和_都是数学活动中常用的合情推理知识点二演绎推理1演绎推理由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法叫演绎推理简言之，演绎推理是由_到_的推理2“三段论”是演绎推理的一般模式(1)大前提已知的_；(2)小前提所研究的_；(3)结论根据一般原理，对_做出的判断知识点三直接证明1综合法(1)定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法(2)推证过程：(3)思维过程：由因导果2分析法(1)定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止，这种证明方法常称为分析法(2)推证过程：(3)思维过程：执果索因知识点四间接证明用反证法来证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)类型一归纳思想例1已知数列an满足a11，(n1,2，3，)(1)求a2，a3，a4，a5，并猜想通项公式an；(2)根据(1)中的猜想，有下面的数阵：S1a1，S2a2a3，S3a4a5a6，S4a7a8a9a10，S5a11a12a13a14a15.试求S1，S1S3，S1S3S5，并猜想S1S3S5S2n1的值反思与感悟归纳猜想是理性思维的重要体现，是获得发现的源泉具有共同特征的归纳推理，首先要观察式子的共同结构特点，其次是式子中出现的数字、字母之间的关系，这样便于观察运算规律和结构上的共同点跟踪训练1设an是集合2t2s|0st，且s，tZ中所有的数从小到大排列的数列，且a13，a25，a36，a49，a510，a612，.将数列an中的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如图所示的三角形数表：(1)写出这个三角形数表中的第4行、第5行各数；(2)求出a100.类型二类比思想例2定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫等和数列，这个常数叫该数列的公和已知数列an为等和数列，且a12，公和为5.那么a18的值为_，这个数列前n项和Sn的计算公式为_反思与感悟事物的各个性质之间不是孤立的，而是相互联系相互制约的，等和数列与等差数列之间有着很多类似的性质，利用类比推理可得出等和数列的性质跟踪训练2已知面积为S的凸四边形中，四条边长分别记为a1，a2，a3，a4，点P为四边形内任意一点，且点P到四条边的距离分别记为h1，h2，h3，h4，若k，则h12h23h34h4.类比以上性质，体积为V的三棱锥的每个面的面积分别记为S1，S2，S3，S4，此三棱锥内任一点Q到每个面的距离分别为H1，H2，H3，H4，若K，则H12H23H34H4_.类型三正难则反思想例3已知ABC中，C是直角，求证：B一定是锐角反思与感悟反证法是假设原命题不成立，经过正确的推理，最后推出矛盾，这里得出的矛盾可以是与某个已知条件矛盾，可以是与某个事实、定理、公理相矛盾，也可以是自身相矛盾反证法的使用范围：唯一性问题，“至少”“至多”问题，问题本身是否定语气提出的问题跟踪训练3证明：无论x，y取任何非零实数，等式总不成立类型四综合法与分析法例4已知x，y0，xy1，求证：log2(x2y21)log2xlog2ylog2172.反思与感悟证明问题时，往往利用分析法寻找解题思路，用综合法书写证明过程跟踪训练4求证：2cos().1有一个奇数列1,3,5,7,9，现在进行如下分组：第一组含一个数1；第二组含两个数3,5；第三组含三个数7,9,11；第四组含四个数13,15,17,19；，则每组内各数之和f(n)(nN*)与组的编号数n的关系式为_2已知ABC中，ADBC于D，三边是a，b，c，则有accos Bbcos C；类比上述推理结论，写出下列条件下的结论：四面体PABC中，ABC，PAB，PBC，PCA的面积分别是S，S1，S2，S3，二面角PABC，PBCA，PACB的度数分别是，则S_.3将下列给出的反证法证明过程填写完整已知a0，证明关于x的方程axb有且仅有一个根证明由于a0，因此方程axb至少有一个根x.假设方程不止一个根，不妨设x1，x2是_，即ax1b，ax2b，所以a(x1x2)0，因为x1x2，所以x1x20，所以a0，这与_矛盾，故假设错误所以当a0时，关于x的方程axb有且仅有一个根4若tan()2tan ，求证：3sin sin(2)直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用间接证明的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法答案精析问题导学知识点一1(1)一般性实验、观察概括、推广猜测一般性结论(2)部分个别2(1)观察、比较联想、类推猜测新的结论(2)特殊特殊3已有的事实正确的结论实验和实践的结果经验归纳推理类比推理知识点二1一般特殊2(1)一般原理(2)特殊情况(3)特殊情况题型探究例1解(1)因为a11，由知an1an，故a22，a33，a44，a55.可归纳猜想出ann(nN*)(2)根据(1)中的猜想，数阵为：S11，S2235，S345615，S47891034，S5111213141565，故S1114，S1S31151624，S1S3S5115658134.可猜想S1S3S5S2n1n4.跟踪训练1解(1)第1行：32120；第2行：52220,62221；第3行：92320,102321,122322；由此归纳猜想：第4行：242017,242118,242220,242324；第5行，252033,252134,252236,252340,252448.故第4行各数依次为17,18,20,24；第5行各数依次为33,34,36,40,48.(2)每行中数的个数与行数相同，即第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，由100(nN*)，得n13.故前13行共有1231391(个)数因此，a100应当是第14行中第9个数，所以a1002142816 38425616 640.例23Sn解析an是等和数列，a12，公和为5，a23，则a32，a43，知a2n3，a2n12(nN*)a183，数列an形如：2,3,2,3,2,3，.Sn跟踪训练2解析根据三棱锥的体积公式，得S1H1S2H2S3H3S4H4V，即KH12KH23KH34KH43V，H12H23H34H4.例3证明假设B不是锐角，则B90，因此CB9090180，这与三角形的内角和等于180矛盾所以假设不成立从而B一定是锐角跟踪训练3证明设存在非零实数x1，y1，使等式成立，则有y1(x1y1)x1(x1y1)x1y1，xyx1y10，即(x1)2y0.又x1，y10，(x1)2y0，从而得出矛盾，故原命题成立例4解方法一(分析法)x，y0，欲证log2(x2y21)log2xlog2ylog2172，需证log2log2.由于对数的底数为21，为了证明上式成立，需证.由于x，y0，于是为了证明上式成立，只需证明4x2y2417xy，即证4x2y217xy40.即证(4xy1)(xy4)0，即证xy或xy4.又x，y0，xy1，xy()2.式成立，这就证明了log2(x2y21)log2xlog2ylog2172成立方法二(综合法)由条件知log2(x2y21)log2xlog2ylog2.设u，txy.由xy1，得xy()2，t(0，uxyt，t(0，u(t)10，t(0，ut在t(0，上是减函数，u4.log2ulog2，log2log2172，即log2(x2y21)log2xlog2ylog2172.跟踪训练4证明sin(2)2cos()sin sin()2cos()sin sin()cos cos()sin 2cos()sin sin()cos cos()sin sin()sin ，两边同除以sin 得2cos().达标检测1f(n)n3解析由于113,35823，79112733,131517196443，猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)n3.2S1cos S2cos S3cos 3两不等根a04证明由tan()2tan ，得，即sin()cos 2sin cos()要证3sin sin(2)，即证3sin()sin()，即证3sin()cos cos()sin sin()cos cos()sin ，即证sin()cos 2sin cos ()，故3sin sin(2)10
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