第1章 矢量分析

14第一章 矢量分析第1章 矢量分析1.1 标量场与矢量场一、场的概念如果某物理量在空间每一时刻和每一位置都有一个确定的值，则称在此空间中确定了该物理量的场。二、标量场与矢量场标量场：若所研究的物理量是一个标量，则称该物理量的场为标量场，例如：温度场、密度场、电位场。矢量场：若所研究的物理量是一个矢量，则称该物理量的场为矢量场，例如：力场、速度场、电场。三、静态场和时变场静态场：若物理量不随时间变化，则称该物理量所确定的场为静态场。时变场：若物理量随时间变化，则称该物理量所确定的场称为动态场或时变场。标量场在空间的变化规律由其梯度来描述，矢量场在空间的变化规律由矢量场的散度和旋度来描述。1.2 矢量场的通量 散度一、矢量线 矢量场的通量1、矢量线(1)矢量场的表示在矢量场中，各点的场量是随空间位置变化的矢量。矢量场可以用一个矢量函数来表示。在直角坐标系中表示为：(2)矢量线在矢量场中，为了形象直观地描述矢量在空间的分布状况，引入了矢量线的概念。矢量线：是一条空间曲线，在它上面每一点的场矢量都与其相切，并且用箭头来表示矢量线的正方向。例如，静电场中的电力线、磁场中的磁力线等。(3)矢量线方程在直角坐标系下为：2、矢量场的通量通过面积元的通量：通过有限面积的通量：通过闭合曲面的通量：二、矢量场的散度1、散度的定义在矢量场中的任意一点处作一个包围该点的任意闭合曲面，所限定的体积为。矢量场在点处的散度记作，其定义为：2、散度在坐标系下的表示定义哈密顿算符：(1)在直角坐标系中的表示(2)在圆柱坐标系中的表示(3)在球坐标系中的表示3、散度的性质(1) 散度是通量源的密度；表示该点有发出通量线的正通量源；表示该点有接收通量线的负通量源；表示该点无通量源。(2)矢量场的散度是一个标量场。4、散度运算的基本公式(1)(2)(3)(4)(5)三、散度定理散度定理是矢量场的体积分与面积分之间的一个变换关系。【例题1】求矢量场的矢量线方程。【解】矢量线应满足的微分方程为从而有 所以和是积分常数。 【例题2】原点处点电荷q产生的电位移矢量，试求电位移矢量的散度。 【解】【例题3】球面S上任意点的位置矢量为，求 【解】根据散度定理知 而的散度为 所以1.3 矢量场的环量 旋度一、矢量场的环量与环量面密度1、矢量场的环量矢量场沿场中的一条闭合路径的曲线积分称为矢量场沿闭合路径的环量。物理意义：若某一矢量场的环量不等于零，则场中有产生该矢量场的旋涡源。2、环量面密度在矢量场中，一个给定点处沿不同方向，其环量面密度的值是不同的。二、矢量场旋度1、旋度的定义方向：环量面密度取最大值的面元正法线方向。大小：等于该环量面密度最大值。即2、旋度在坐标系下的表示(1)在直角坐标系中的表示(2)在圆柱坐标系中的表示(3)在球坐标系中的表示3、旋度的性质(1)矢量场的旋度是一个矢量。(2)矢量场在某点处的旋度表示该点的旋涡源密度。(3)矢量场在某点处沿方向的环量面密度，等于旋度在该方向上的投影。4、旋度运算的基本公式(1)(2)(3)(4)(5)三、斯托克斯定理斯托克斯定理是矢量场的曲面积分与曲线积分之间的一个转换关系。四、旋度与散度的区别(1)矢量场的旋度是矢量函数，矢量场的散度是标量函数。(2)旋度描述场量与旋涡源的关系，散度描述场量与通量源的关系。(3)如果矢量场的旋度为零，则称为无旋场(或保守场)；如果矢量场散度为零，则称为无源场。(4)旋度描述场分量在与其垂直的方向上的变化规律；散度描述场分量沿着各自方向上的变化规律。【例题1】求矢量场在点M(1，0，1)处的旋度以方向的环量面密度。【解】矢量场的旋度在点M(1，0，1)处的旋度 方向的单位矢量 在点M(1，0，1)处沿方向的环量面密度 【例题2】在坐标原点处放置一点电荷q，在自由空间产生的电场强度为 求自由空间任意点(r0)电场强度的旋度。【解】1.4标量场的梯度标量场：用一个标量函数来表示，在直角坐标系中表示为：一、等值面1、等值面标量场中量值相等的点构成的面，称为标量场的等值面。例如，在温度场中，由温度相同的点构成等温面；在电位场中，由电位相同的点构成等位面。2、等值面方程常数取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族，等值面族充满整个场空间，且不同的等值面互不相交。二、方向导数为研究标场量在空间任一点的邻域内沿各个方向的变化规律，引入了标量场的方向导数和梯度的概念。1、方向导数的定义考虑标量场中两个等值面，标量函数沿给定方向的变化率：称为标量函数在P沿方向的方向导数。2、方向导数在直角坐标系中的表示其中，是的方向余弦：3、方向导数的性质(1)方向导数是标量场在点P处沿方向对距离的变化率。(2)标量场中，在给定点P处沿不同方向的方向导数不相同。二、梯度1、梯度的定义标量场的梯度：是一个矢量，其方向为标量场变化率最大的方向、大小则等于其最大变化率，即2、梯度在坐标系下的表示记为(1)在直角坐标系中的表示(2)在圆柱坐标系中的表示(3)在球坐标系中的表示3、梯度的性质(1)标量场的梯度是一个矢量场。(2)标量场在给定点处沿某方向的方向导数等于梯度在该方向上的投影。(3)标量场中某点处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向增加的方向。4、梯度运算的基本公式(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【例题1】求证。【证明】在球坐标系下：所以【例题2】求无界空间中的点电荷所产生的电位的梯度。【解】无界空间中的点电荷所产生的电位为：所以【例题3】求数量场通过点M(1, 0, 1)的等值面方程。【解】点M的坐标是，则该点的数量场值为，其等值面方程为所以【例题4】求数量场在点M(1, 1, 2)处沿方向的方向导数。 【解】方向的方向余弦为 而数量场在方向的方向导数为 在点M处沿方向的方向导数 【例题5】设标量函数是动点M(x, y, z)的矢量的模，即， 证明： 。【证明】因为而同理 所以【例题6】求在M(1，0，1)处沿方向的方向导数。【解】点M处的坐标为所以在M点处的梯度为 在M点沿l方向的方向导数为 而所以1.5 亥姆霍兹定理一、两个零恒等式1、零恒等式定理：标量场的梯度的旋度为零。逆定理：若矢量场是一个无旋场，则该矢量场可表示为一个标量场的梯度。称为矢量场的标量位。2、零恒等式定理：矢量场的旋度的散度为零。逆定理：若一个矢量场是无散场，则该矢量场可表示为另一个矢量场的旋度。称为矢量场的矢量位。二、拉普拉斯运算1、标量拉普拉斯运算(1)在直角坐标系中的表示(2)在圆柱坐标系中的表示(3)在球坐标系中的表示2、矢量拉普拉斯运算直角坐标系下三、亥姆霍兹定理 表述一：在空间有限区域内的矢量场，由其散度、旋度和边界条件唯一确定。表述二：在曲面所围空间内有定义的有界、连续矢量函数，可表示为一个标量函数的梯度和一个无源矢量的旋度之和，即其中，称为的标量位，称为的矢量位。