2018版高中数学 第一章 常用逻辑用语疑难规律方法学案 新人教B版选修2-1

第一章 常用逻辑用语1怎样解逻辑用语问题1利用集合理清关系充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法本节使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好集合模型解释如下：(1)A是B的充分条件，即AB.(2)A是B的必要条件，即BA.(3)A是B的充要条件，即AB.(4)A是B的既不充分也不必要条件，即AB或A、B既有公共元素也有非公共元素或例1设集合S0，a，TxZ|x22，则“a1”是“ST”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)解析TxZ|x20)，若q是綈p的充分不必要条件，求r的取值范围分析“q是綈p的充分不必要条件”等价于“p是綈q的充分不必要条件”设p、q对应的集合分别为A、B，则可由ARB出发解题解设p、q对应的集合分别为A、B，将本题背景放到直角坐标系中，则点集A表示平面区域，点集RB表示到原点距离大于r的点的集合，也即是圆x2y2r2外的点的集合ARB表示区域A内的点到原点的最近距离大于r，直线3x4y120上的点到原点的最近距离大于等于r，原点O到直线3x4y120的距离d，r的取值范围为(0，点评若直接解的话，q是綈p的充分不必要条件即为x2y2r2 (r0)在p：所对应的区域的外部，也是可以解决的但以上解法将“q是綈p的充分不必要条件”等价转化为“p是綈q的充分不必要条件”，更好地体现了相应的数学思想方法.2辨析命题的否定与否命题否命题与命题的否定是逻辑关系中的两个相似知识点，但又有着本质的区别，应注意弄清它们的区别和正确表述，下面从以下两个方面来看一下它们的区别1否命题与命题的否定的概念设命题“若A，则B”为原命题，那么“若綈A，则綈B”为原命题的否命题，“若A，则綈B”为原命题的否定所以从概念上看“否命题”是对原命题的条件和结论同时否定后得到的新命题，而且否定的条件仍为条件，否定的结论仍为结论“命题的否定”是对原命题结论的全盘否定，即“命题的否定”与原命题的条件相同，结论相反例1写出下列命题的否命题及否定：(1)若|x|y|0，则x，y全为0；(2)函数yxb的值随x的增加而增加分析问题(1)直接依据格式写出相应的命题；问题(2)先改写成“若A，则B”的形式，然后再写出相应的命题解(1)原命题的条件为“|x|y|0”，结论为“x，y全为0”写原命题的否命题需同时否定条件和结论，所以原命题的否命题为“若|x|y|0，则x，y不全为0”写原命题的否定只需否定结论，所以原命题的否定为“若|x|y|0，则x，y不全为0”(2)原命题可以改写为“若x增加，则函数yxb的值也随之增加”否命题为“若x不增加，则函数yxb的值也不增加”；命题的否定为“若x增加，则函数yxb的值不增加”点评如果所给命题是“若A，则B”的形式，则可以依据否命题和命题的否定的定义，直接写出相应的命题如果不是“若A，则B”的形式，则需要先将其改写成“若A，则B”的形式，便于写出命题的否定形式及其否命题2否命题与命题的否定的真假从命题的真假上看，原命题与其否命题的真假没有必然的关系，原命题为真，其否命题可能为真，也可能为假；原命题为假，其否命题可能为真，也可能为假但是原命题与其否定的真假必相反，原命题为真，则其否定为假；原命题为假，则其否定为真这也可以作为检验写出的命题是否正确的标准例2写出下列命题的否命题与命题的否定，并判断原命题、否命题和命题的否定的真假：(1)若x24，则2x0且n0，则mn0.分析依据定义分别写出否命题与命题的否定根据不等式及方程的性质逐个判断其真假解(1)否命题：“若x24，则x2或x2”命题的否定：“若x20且n0，则mn0”由不等式的性质可以知道，原命题为真，否命题为假，命题的否定为假.3判断条件四策略1应用定义如果pq，那么称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件判断时的关键是分清条件与结论例1设集合Mx|x2，Px|x0)，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是_解析设p，q分别对应集合P，Q，则Px|2x10，Qx|1mx1m，由题意知，pq，但qp，故PQ，所以或解得m9.即m的取值范围是9，)答案9，)4等价转化由于互为逆否命题的两个命题同真同假，所以当由pq较困难时，可利用等价转化，先判断由綈q綈p，从而得到pq.例4已知p：xy2，q：x，y不都是1，则p是q的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)解析因为p：xy2，q：x1或y1，所以綈p：xy2，綈q：x1且y1.因为綈p綈q，但綈q綈p，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件答案充分不必要4例析逻辑用语中的常见误区误区1所有不等式、集合运算式都不是命题例1判断下列语句是不是命题，若是命题，判断其真假(1)x20；(2)x220；(3)ABAB；(4)A(AB)错解(1)(2)(3)(4)都不是命题剖析(1)中含有未知数x，且x不确定，所以x2的值也不确定，故无法判断x20是否成立，不能判断其真假，故(1)不是命题(2)x虽为未知数，但x20，所以x222，故可判断x220成立，故(2)为真命题(3)若AB，则ABABAB；若AB，则ABA(AB)B.由于A，B的关系未知，所以不能判断其真假，故(3)不是命题(4)A为AB的子集，故A(AB)成立，故(4)为真命题正解(2)(4)是命题，且都为真命题误区2原命题为真，其否命题必为假例2判断下列命题的否命题的真假：(1)若a0，则ab0；(2)若a2b2，则ab.错解(1)因为原命题为真命题，故其否命题是假命题；(2)因为原命题为假命题，故其否命题为真命题剖析否命题的真假与原命题的真假没有关系，否命题的真假不能根据原命题的真假来判断，应先写出原命题的否命题，再判断正解(1)否命题为：若a0，则ab0，是假命题；(2)否命题为：若a2b2，则ab，是假命题误区3搞不清谁是谁的条件例3使不等式x30成立的一个充分不必要条件是()Ax3 Bx4 Cx2 Dx1，2，3错解由不等式x30成立，得x3，显然x3x2，又x2x3，因此选C.剖析若p的一个充分不必要条件是q，则qp，pq.本题要求使不等式x30成立的一个充分不必要条件，又x4x30，而x30x4，所以使不等式x30成立的一个充分不必要条件为x4.正解B误区4考虑问题不周例4如果a，b，cR，那么“b24ac”是“方程ax2bxc0有两个不等实根”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件错解判别式b24ac0，即方程ax2bxc0有两个不等实根；若方程ax2bxc0有两个不等实根，则判别式b24ac0，即b24ac.综上可知“b24ac”是“方程ax2bxc0有两个不等实根”的充要条件，选C.剖析判别式b24ac只适用于一元二次方程的实数根存在情况的判断对于方程ax2bxc0，当a0时，原方程为一次方程bxc0(b0)，一次方程不存在判别式，所以当b24ac时不能推出方程ax2bxc0有两个不等实根；若方程ax2bxc0有两个不等实根，则它的判别式b24ac0，即b24ac.由上可知，“b24ac”是“方程ax2bxc0有两个不等实根”的必要不充分条件正解B误区5用“且”“或”联结命题时只联结条件或结论例5(1)已知p：方程(x11)(x2)0的根是x11；q：方程(x11)(x2)0的根是x2，试写出“pq”(2)p：四条边相等的四边形是正方形；q：四个角相等的四边形是正方形，试写出“pq”错解(1)pq：方程(x11)(x2)0的根是x11或x2.(2)pq：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形剖析(1)(2)两题中p，q都是假命题，所以“pq”，“pq”也都应是假命题而上述解答中写出的两命题却都是真命题错误原因是：(1)只联结了两个命题的结论；(2)只联结了两个命题的条件正解(1)pq：方程(x11)(x2)0的根是x11或方程(x11)(x2)0的根是x2.(2)pq：四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形误区6不能正确否定结论例6p：方程x25x60有两个相等的实数根，试写出“綈p”错解綈p：方程x25x60有两个不相等的实数根剖析命题p的结论为“有两个相等的实数根”，所以“綈p”应否定“有”，而不能否定“相等”正解綈p：方程x25x60没有两个相等的实数根误区7对含有一个量词的命题否定不完全例7已知命题p：存在一个实数x，使得x2x20，写出綈p.错解一綈p：存在一个实数x，使得x2x20.错解二綈p：对任意的实数x，都有x2x20.剖析该命题是存在性命题，其否定是全称命题，但错解一中得到的綈p仍是存在性命题，显然只对结论进行了否定，而没有对存在量词进行否定；错解二中只对存在量词进行了否定，而没有对结论进行否定正解綈p：对任意的实数x，都有x2x20.误区8忽略了隐含的量词例8写出下列命题的否定：(1)不相交的两条直线是平行直线；(2)奇函数的图象关于y轴对称错解(1)不相交的两条直线不是平行直线；(2)奇函数的图象不关于y轴对称剖析以上错误解答在于没有看出这两个命题都是全称命题对于一些量词不明显或不含有量词，但其实质只是在文字叙述上省略了某些量词的命题，要特别引起注意正解(1)存在不相交的两条直线不是平行直线；(2)存在一个奇函数的图象不关于y轴对称.5解“逻辑”问题的三意识1转化意识由于互为逆否的两个命题同真假，因此，当原命题的真假不易判断或证明原命题较困难时，可以转化为逆否命题来判断或证明例1证明：若a2b22a4b30，则ab1.分析本题直接证明原命题是真命题，显然不太容易，可考虑转化为证明它的逆否命题是真命题证明命题“若a2b22a4b30，则ab1”的逆否命题是“若ab1，则a2b22a4b30”由ab1得a2b22a4b3(ab)(ab)2(ab)2b3ab10.原命题的逆否命题是真命题，原命题也是真命题故若a2b22a4b30，则ab1.例2命题p：实数x满足x24ax3a20，其中a0，且q是p的必要不充分条件，求a的取值范围分析将充分、必要条件转化为集合之间的关系，进而转化为集合运算问题解设Ax|x24ax3a20(a0)x|3ax0x|x2x60x|x22x80x|2x3x|x2x|x4或x2因为q是p的必要不充分条件，所以pq，qp，由AB得或即a4或a1a2，即q真a2.由p或q为真命题，p且q为假命题，知命题p，q中必有一真一假若p真q假，则无解；若p假q真，则1a2.故满足题意的实数a的取值范围是(1，2)答案(1，2)点评若命题“p或q”“p且q”中含有参数，求解时，可以先等价转化命题p，q，直至求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“p或q”“p且q”的真假情况确定参数的取值范围3反例意识在“逻辑”中，经常要对一个命题的真假(尤其是假)作出判断，若直接从正面判断一个命题是假命题不易进行，这时可以通过举出恰当的反例来说明，这是一个简单有效的办法例4设A，B为两个集合，则下列四个命题中真命题的序号是_AB对任意xA，都有xB；ABAB；ABBA；AB存在x0A，使得x0B.分析画出表示AB的Venn图进行判断解析画出Venn图，如图1所示，则AB存在x0A，使得x0B，故是假命题，是真命题ABbA不成立的反例如图2所示同理可得BAAB不成立故是假命题综上知，真命题的序号是.答案9