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第三章 导数及其应用1对于导数的定义，必须明白定义中包含的基本内容和自变量的增量x0的方式，导数是函数的增量y与自变量的增量x的比的极限，即.函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率2曲线的切线方程利用导数求曲线过点P的切线方程时应注意：(1)判断P点是否在曲线上；(2)如果曲线yf(x)在P(x0，f(x0)处的切线平行于y轴(此时导数不存在)，可得方程为xx0；P点坐标适合切线方程，P点处的切线斜率为f(x0)3利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键4判断函数的单调性(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)注意在某一区间内f(x)0(或f(x)0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件5利用导数研究函数的极值要注意(1)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧邻近区域而言的(2)连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小(3)可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导数异号6求函数的最大值与最小值(1)函数的最大值与最小值：在闭区间a，b上连续的函数f(x)，在a，b上必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值，例如：f(x)x3，x(1,1)(2)求函数最值的步骤一般地，求函数yf(x)在a，b上最大值与最小值的步骤如下：求函数yf(x)在(a，b)内的极值及端点处的函数值f(a)，f(b)；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值7应用导数解决实际问题，关键在于建立恰当的数学模型(函数关系)，如果函数在区间内只有一个极值点x0，则f(x0)是函数的最值.题型一应用导数解决与切线相关的问题根据导数的几何意义，导数就是相应切线的斜率，从而就可以应用导数解决一些与切线相关的问题例1已知函数f(x)xalnx(aR)(1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值解函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.(1)当a2时，f(x)x2lnx，f(x)1(x0), f(1)1，f(1)1, yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1), 即xy20.(2)由f(x)1，x0知：当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；当a0时，由f(x)0，解得xa; x(0，a)时，f(x)0f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aalna，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aalna，无极大值跟踪演练1点P(2,0)是函数f(x)x3ax与g(x)bx2c的图象的一个公共点，且两条曲线在点P处有相同的切线，求a，b，c的值解因为点P(2,0)是函数f(x)x3ax与g(x)bx2c的图象的一个公共点，所以232a04bc0由得a4.所以f(x)x34x.又因为两条曲线在点P处有相同的切线，所以f(2)g(2)，而由f(x)3x24得到f(2)8，由g(x)2bx得到g(2)4b，所以84b，即b2，代入得到c8.综上所述，a4，b2，c8.题型二应用导数求函数的单调区间在区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在区间(a，b)内单调递增；在区间(a，b)内，如果f(x)0时，x1x2.函数f(x)的单调递增区间为，(a，)，单调递减区间为.当ax2，函数f(x)的单调递增区间为(，a)，单调递减区间为.当a0时，f(x)3x20，函数f(x)的单调区间为(，)，即f(x)在R上是递增的综上，a0时，函数f(x)的单调递增区间为，(a，)，单调递减区间为.a1时，x2lnxx3.(1)解f(x)x，因为x2是一个极值点，所以20，则a4.此时f(x)x，因为f(x)的定义域是(0，)，所以当x(0,2)时，f(x)0；当x(2，)，f(x)0，所以当a4时，x2是一个极小值点，则a4.(2)解因为f(x)x，x(0，)，所以当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，)当a0时，f(x)x，所以函数f(x)的单调递增区间(，)；递减区间为(0，)(3)证明设g(x)x3x2lnx，则g(x)2x2x，因为当x1时，g(x)0，所以g(x)在x(1，)上为增函数，所以g(x)g(1)0，所以当x1时，x2lnxx3.跟踪演练3已知函数f(x)x3ax2b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3xy0平行(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间0，t(0t3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)c在区间1,3上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围解(1)因为f(x)3x22ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为：f(1)32a，即32a3，a3.又函数过(1,0)点，即2b0，b2.所以a3，b2，f(x)x33x22.(2)由f(x)x33x22得，f(x)3x26x.由f(x)0得，x0或x2.当0t2时，在区间(0，t)上f(x)0，f(x)在0，t上是减函数，所以f(x)maxf(0)2，f(x)minf(t)t33t22.当2t3时，当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2，t)tf(x)0f(x)22t33t22f(x)minf(2)2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个又f(t)f(0)t33t2t2(t3)0.所以f(x)maxf(0)2.综上可知，在区间0，t(0t3)上f(x)max2，f(x)min(3)令g(x)f(x)cx33x22c，g(x)3x26x3x(x2)在x1,2)上，g(x)0.g(x)0在1,3上恰有两个相异的实根，则解得2c0.即c的取值范围为(2,0题型四导数与函数、不等式的综合应用利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点考题利用导数作为工具，考查求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的取值范围等问题，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强例4设函数f(x)x32ax23a2xb(0a1)(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若当xa1，a2时，恒有|f(x)|a，试确定a的取值范围；(3)当a时，关于x的方程f(x)0在区间1,3上恒有两个相异的实根，求实数b的取值范围解(1)f(x)x24ax3a2(xa)(x3a)令f(x)0，得xa或x3a.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(，a)a(a,3a)3a(3a，)f(x)00f(x)极小值极大值f(x)在(，a)和(3a，)上是减函数，在(a,3a)上是增函数当xa时，f(x)取得极小值，f(x)极小值f(a)ba3；当x3a时，f(x)取得极大值，f(x)极大值f(3a)b.(2)f(x)x24ax3a2，其对称轴为x2a.因为0a1，所以2aa1.所以f(x)在区间a1，a2上是减函数当xa1时，f(x)取得最大值，f(a1)2a1；当xa2时，f(x)取得最小值，f(a2)4a4.于是有即a1.又因为0a1，所以a1.(3)当a时，f(x)x3x2xb.f(x)x2x，由f(x)0，即x2x0，解得x1，x22，可知f(x)在上是减函数，在上是增函数，在(2，)上是减函数f(x)0在1,3上恒有两个相异实根，即f(x)在(1,2)，(2,3)上各有一个实根，于是有即解得0b.跟踪演练4证明：当x2,1时，x34x.证明令f(x)x34x，x2,1，则f(x)x24.因为x2,1，所以f(x)0，即函数f(x)在区间2,1上单调递减故函数f(x)在区间2,1上的最大值为f(2)，最小值为f(1).所以，当x2,1时，f(x)，即x34x成立1.函数中求参数的取值范围问题，可以有两种类型：一是已知函数单调性(或极值)，求参数范围；二是已知函数最值(或恒成立)等性质，求参数范围这两种类型从实质上讲，可以统一为：已知函数值的变化规律，探求其参数变化范围2在解决问题的过程中要处理好等号的问题：(1)注意定义域；(2)函数在某区间上递增(或递减)的充要条件是：f(x)0(或f(x)0)，且f(x)不恒为零；(3)与函数最值有关问题要注意最值能否取得的情况，一般我们可以研究临界值取舍即可9
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