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第二单元 圆锥曲线与方程1椭圆的定义在解题中的妙用椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的几何性质有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明1求最值例1线段|AB|4，|PA|PB|6，M是AB的中点，当P点在同一平面内运动时，PM的长度的最小值是()A2 B. C. D5解析由于|PA|PB|64|AB|，故由椭圆定义知P点的轨迹是以M为原点，A、B为焦点的椭圆，且a3，c2，b.于是PM的长度的最小值是b.答案C2求动点坐标例2椭圆1上到两个焦点F1，F2距离之积最大的点的坐标是_解析设椭圆上的动点为P，由椭圆的定义可知|PF1|PF2|2a10，所以|PF1|PF2|2225，当且仅当|PF1|PF2|时取等号由解得|PF1|PF2|5a，此时点P恰好是椭圆短轴的两端点，即所求点的坐标为(3,0)答案(3,0)点评由椭圆的定义可得“|PF1|PF2|10”，即两个正数|PF1|，|PF2|的和为定值，结合均值不等式可求|PF1|，|PF2|积的最大值，结合图形可得所求点P的坐标3求焦点三角形面积例3如图所示，已知椭圆的方程为1，若点P在第二象限，且PF1F2120，求PF1F2的面积解由已知得a2，b，所以c1，|F1F2|2c2.在PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos 120，即|PF2|2|PF1|242|PF1|，由椭圆定义，得|PF1|PF2|4，即|PF2|4|PF1|.将代入，得|PF1|.所以SPF1F2|PF1|F1F2|sin 1202，即PF1F2的面积是.点评在PF1F2中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于|PF1|，|PF2|的方程组，消去|PF2|可求|PF1|.从以上问题，我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解2如何求椭圆的离心率1由椭圆的定义求离心率例1以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于4个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为_解析如图所示，设椭圆的方程为1 (ab0)，半焦距为c，由题意知F1AF290，AF2F160.|AF2|c，|AF1|2csin 60c.|AF1|AF2|2a(1)c.e1.答案1点评本题利用了圆及正六边形的几何性质，并结合椭圆的定义，化难为易，使问题简单解决2解方程(组)求离心率例2椭圆1 (ab0)的左焦点为F1(c,0)，A(a，0)、B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为，则椭圆的离心率e_.解析如图所示，直线AB的方程为1，即bxayab0.点F1(c,0)到直线AB的距离为，|ac|，即7a214ac7c2a2b2.又b2a2c2，整理，得5a214ac8c20.两边同除以a2并由e知，8e214e50，解得e或e(舍去)答案3利用数形结合求离心率例3在平面直角坐标系中，椭圆1(ab0)的焦距为2，圆O的半径为a，过点P作圆O的两条切线，且这两条切线互相垂直，则离心率e_.解析如图所示，切线PA、PB互相垂直，PAPB.又OAPA，OBPB，OAOB，则四边形OAPB是正方形，故OPOA，即a，e.答案4综合类例4设M为椭圆1上一点，F1、F2为椭圆的左、右焦点，如果MF1F275，MF2F115，求椭圆的离心率解由正弦定理得，e.点评此题可推广为若MF1F2，MF2F1，则椭圆的离心率e.3活用双曲线定义妙解题在解双曲线中的有关求离心率、最值等问题时，若能灵活应用双曲线的定义，能把大题化为小题，起到事半功倍的作用下面举例说明1求焦点三角形的周长例1过双曲线1左焦点F1的直线与左支交于A、B两点，且弦AB长为6，则ABF2(F2为右焦点)的周长是_解析由双曲线的定义知|AF2|AF1|8，|BF2|BF1|8，两式相加得|AF2|BF2|(|AF1|BF1|)|AF2|BF2|AB|16，从而有|AF2|BF2|16622，所以ABF2的周长为|AF2|BF2|AB|22628.答案28点评与焦点有关的三角形周长问题，常借助双曲线的定义解决，注意解决问题时的拼凑技巧2最值问题例2已知F是双曲线y21的右焦点，P是双曲线右支上一动点，定点M(4,2)，求|PM|PF|的最小值解设双曲线的左焦点为F，则F(2,0)，由双曲线的定义知：|PF|PF|2a2，所以|PF|PF|2，所以|PM|PF|PM|PF|2，要使|PM|PF|取得最小值，只需|PM|PF|取得最小值，由图可知，当P、F、M三点共线时，|PM|PF|最小，此时|MF|2，故|PM|PF|的最小值为22.点评本题利用双曲线的定义对F的位置进行转换，然后再根据共线易求得最小值另外同学们不妨思考一下：若将M坐标改为M(1,1)，其他条件不变，如何求解呢？若P是双曲线左支上一动点，如何求解呢？3求离心率范围例3已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，试求双曲线离心率的取值范围解因为|PF1|4|PF2|，点P在双曲线的右支上，所以设|PF2|m，则|PF1|4m，由双曲线的定义，得|PF1|PF2|4mm2a，所以ma.又|PF1|PF2|F1F2|，即4mm2c，所以mc，即ac，所以e.又e1，所以双曲线离心率的取值范围为1b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为N(x0，y0)，得0，即，又kAB1，y0x0.直线ON的方向向量为，a，.a23b2，椭圆方程为x23y23b2，又直线方程为yxc.联立得4x26cx3c23b20.x1x2c，x1x2c2.又设M(x，y)，则由，得代入椭圆方程整理得2(x3y)2(x3y)2(x1x23y1y2)3b2.又x3y3b2，x3y3b2，x1x23y1y24x1x23c(x1x2)3c2c2c23c20，221，故22为定值例2已知抛物线y22px (p0)上有两个动点A、B及一个定点M(x0，y0)，F是抛物线的焦点，且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列求证：线段AB的垂直平分线经过定点(x0p,0)证明设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义，知|AF|x1，|BF|x2，|MF|x0.因为|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，所以2|MF|AF|BF|，即x0.设AB的中点为(x0，t)，t.则kAB.所以线段AB的垂直平分线方程为yt(xx0)，即tx(x0p)py0.所以线段AB的垂直平分线过定点(x0p,0)2最值问题解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及基本不等式法等，求解最大或最小值例3已知F是双曲线1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为_解析设右焦点为F，由题意可知F坐标为(4,0)，根据双曲线的定义，|PF|PF|4，|PF|PA|4|PF|PA|，要使|PF|PA|最小，只需|PF|PA|最小即可，|PF|PA|最小需P、F、A三点共线，最小值即4|FA|4459.答案9点评“化曲为直”法求与距离有关的最值是平面几何中一种巧妙的方法，特别是涉及圆锥曲线上动点与定点和焦点距离之和的最值问题常用此法例4已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求的最小值解(1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有|x|1.化简得y22x2|x|.当x0时，y24x；当x0时，y0.所以，动点P的轨迹C的方程为y24x (x0)和y0 (x0)，则圆的方程可设为(xp)2(yp)28，由于O(0,0)在圆上，p2p28，解得p2，圆C的方程为(x2)2(y2)28.(2)椭圆1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10，由椭圆的定义知2a10，a5，椭圆右焦点为F(4,0)假设存在异于原点的点Q(m，n)使|QF|OF|，则有且m2n20，解得故圆C上存在满足条件的点Q.3直线存在型问题例3试问是否能找到一条斜率为k (k0)的直线l与椭圆y21交于两个不同的点M，N，且使M，N到点A(0，1)的距离相等，若存在，试求出k的取值范围；若不存在，请说明理由分析假设满足条件的直线l存在，由平面解析几何的相关知识求解解设直线l：ykxm为满足条件的直线，再设P为MN的中点，欲满足条件，只要APMN即可由得(13k2)x26mkx3m230.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则xP，yPkxPm，kAP.APMN， (k0)，故m.由36m2k24(13k2)(3m23)9(13k2)(1k2)0，得1k|F1F2|，亦即2a2c.而本题中|MF1|MF2|F1F2|，所以点M的轨迹不是椭圆，而是线段F1F2.正解因为点M到两定点F1，F2的距离之和为|F1F2|，所以点M的轨迹是线段F1F2.答案D3忽视标准方程的特征而致误例3设抛物线ymx2 (m0)的准线与直线y1的距离为3，求抛物线的标准方程错解抛物线ymx2 (m0)的准线方程为y.又与直线y1的距离为3的直线为y2或y4.故2或4.m8或m16.所以抛物线的标准方程为y8x2或y16x2.错因分析错解忽视了抛物线标准方程中的系数，应位于一次项前这个特征，故本题应先化为x2y的形式，再求解.正解由于ymx2 (m0)可化为x2y，其准线方程为y.由题意知2或4，解得m或m.则所求抛物线的标准方程为x28y或x216y.4涉及弦长问题时，忽视判别式0这一隐含条件而致误例4正方形ABCD的A，B两点在抛物线yx2上，另两点C，D在直线yx4上，求正方形的边长错解AB与直线yx4平行，设AB的直线方程为yxb，A(x1，x)，B(x2，x)，则由x2xb0，|AB|2(1k2)(x1x2)24x1x22(14b)AB与直线yx4间的距离为d，2(14b)，即b28b120，解得b2或b6，|AB|3或|AB|5.错因分析在考虑直线AB与抛物线相交时，必须有方程x2xb0的判别式0，以此来限制b的取舍.正解AB与直线yx4平行，设AB的直线方程为yxb，A(x1，x)，B(x2，x)，则由x2xb0，|AB|2(1k2)(x1x2)24x1x22(14b)AB与直线yx4间的距离为d，2(14b)，即b28b120，解得b2或b6，14b0，b.b2或b6都满足0，b2或b6.|AB|3或|AB|5.7圆锥曲线中的数学思想方法的应用1方程思想方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或解方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决本章中，方程思想的应用最为广泛例1已知直线yx2和椭圆1 (ab0)相交于A，B两点，且a2b，若|AB|2，求椭圆的方程解由消去y并整理得x24x82b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由根与系数的关系得x1x24，x1x282b2.|AB|2， 2，即2，解得b24，故a24b216.所求椭圆的方程为1.2函数思想很多与圆锥曲线有关的问题中的各个数量在运动变化时，都是相互联系、相互制约的，它们之间构成函数关系这类问题若用函数思想来分析、寻找解题思路，会有很好的效果一些最值问题常用函数思想，运用根与系数的关系求弦的中点和弦长问题，是经常使用的方法例2若点(x，y)在1 (b0)上运动，求x22y的最大值解1 (b0)，x240，即byb.x22y42y2y424.当b，即0b，即b4时，若yb，则x22y取得最大值，其最大值为2b.综上所述，x22y的最大值为3转化和化归思想在解决圆锥曲线的综合问题时，经常利用转化和化归思想转化题中的已知条件和所求，真正化归为直线和圆锥曲线的基本问题这里的转化和化归非常关键，没有转化和化归，就很难找到解决问题的途径和方法例3如图所示，已知椭圆1，直线l：x12，P是l上任意一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在线段OP上，且满足|OQ|OP|OR|2，当点P在l上运动时，求点Q的轨迹方程解设P(12，yP)，R(xR，yR)，Q(x，y)，POx.|OR|2|OQ|OP|，2.由题意知xR0，x0，xx12.又O，Q，R三点共线，kOQkOR，即.由得y.点R(xR，yR)在椭圆1上，1.由得2(x1)23y22 (x0)，点Q的轨迹方程是2(x1)23y22 (x0)4分类讨论思想本章中，涉及的字母参数较多，同时圆锥曲线的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以必须要注意分类讨论例4求与双曲线y21有共同的渐近线且焦距为10的双曲线的方程分析由题意可设所求双曲线的方程为y2 (0)，将分为0，0时，c24525，即5，所求双曲线的方程为1.当0时，c2(4)()525，即5，所求双曲线的方程为1.综上所述，所求双曲线的方程为1或1.5数形结合思想利用数形结合思想，可以解决某些最值、轨迹、参数范围等问题例5在ABC中，BC边固定，顶点A在移动，设|BC|m，当三个角满足条件|sin Csin B|sin A|时，求顶点A的轨迹方程解以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系，如图所示：则B，C.设点A坐标(x，y)，由题设，得|sin Csin B|sin A|.根据正弦定理，得|AB|AC|m.可知点A在以B、C为焦点的双曲线上这里2am，a.又cm，b2c2a2m2.故所求点A的轨迹方程为1(y0)16
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