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第二讲 证明不等式的基本方法 对应学生用书P27考情分析从近两年的高考试题来看，不等式的证明主要考查比较法与综合法，而比较法多用作差比较，综合法主要涉及基本不等式与不等式的性质，题目难度不大，属中档题在证明不等式时，要依据命题提供的信息选择合适的方法与技巧进行证明如果已知条件与待证结论之间的联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”“恒成立”等方式给出，可考虑用反证法在必要的情况下，可能还需要使用换元法、放缩法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明真题体验1(福建高考)设不等式|2x1|1的解集为M.求集合M；若a，bM，试比较ab1与ab的大小解：由|2x1|1得12x11，解得0x1，所以Mx|0x1由和a，bM可知0a1,0b1.所以(ab1)(ab)(a1)(b1)0，故ab1ab.2(辽宁高考)设f(x)ln x1，证明：(1)当x1时，f(x)(x1)；(2)当1x3时，f(x)1时，g(x)0.又g(1)0，故g(x)0，即f(x)1时，2x1，故.令k(x)ln xx1，则k(1)0，k(x)10，故k(x)0，即ln x1时，f(x)(x1)(2)法一：记h(x)f(x)，当1x3时，由(1)得h(x).令l(x)(x5)3216x,1x3，l(x)3(x5)22160，因此l(x)在(1,3)内是递减函数，又由l(1)0，得l(x)0，所以h(x)0.因此h(x)在(1,3)内是递减函数，又由h(1)0，得h(x)0.于是当1x3时，f(x).法二：记h(x)(x5)f(x)9(x1)，则当1x3时，由(1)得h(x)f(x)(x5)f(x)9(x1)(x5)93x(x1)(x5)(2)18x3x(x1)(x5)18x(7x232x25)0，因此h(x)在(1,3)内单调递减，又h(1)0，所以h(x)0，即f(x). 对应学生用书P27比较法证明不等式比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数比较大小的充要条件作差比较法证明的一般步骤是：作差；恒等变形；判断结果的符号；下结论其中，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法例1设a，b为实数，0n1,0m1，mn1，求证：(ab)2.证明(ab)20，(ab)2.综合法证明不等式综合法证明不等式的思维方向是“顺推”，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推证的基本理论证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当时，取等号”的理由要理解掌握例2已知a，b，c为ABC的三条边，求证：a2b2c22(abbcca)证明设a，b两边的夹角为，则由余弦定理：cos 因为0，cos 1.1.即a2b2c22ab.同理可证：b2c2a22bc，c2a2b22ac.将上面三个同向不等式相加，即得：a2b2c2b0.求证：.证明 要证只需证：，只需证：()2()2，只需证：aabb2，只需证：0b0.上式显然成立，原不等式成立即90，D是BC的中点，求证：ADBC，因为BDDCBC，所以在ABD中，ADBD，从而BBAD.同理CCAD.所以BCBADCAD.即BCA.因为BC180A，所以180AA即A90，与已知矛盾，故ADBC不成立由(1)(2)知ADBC成立.放缩法证明不等式放缩法是在顺推法逻辑推理过程中，有时利用不等式关系的传递性，作适当的放大或缩小，证明比原不等式更强的不等式来代替原不等式的一种证明方法放缩法的实质是非等价转化，放缩没有一定的准则和程序，需按题意适当放缩，否则达不到目的例5已知|x|，|y|，|z|，求证：|x2y3z|.证明|x|，|y|，|z|，|x2y3z|x2y(3z)|x|2y|3z|x|2|y|3|z| ”时，假设的内容应是()A. B.C.且 D.或，的反设应为或Q BPQCP0.PQ.答案：A8已知a，b为非零实数，则使不等式：2成立的一个充分而不必要条件是()Aab0 Bab0Ca0，b0 Da0，b0解析：因为与同号，由2，知0，0，即ab0，又若ab0，则0，0，所以2 2，综上，ab0是2成立的充要条件，所以a0，b0是2成立的一个充分而不必要条件答案：C9如果loga3logb3，且ab1，那么()A0ab1 B0ba1C1ab D1b0，b0，又ab1，故a1，b1，利用对数函数图像的特点：当底数小于1大于0时，底数越小，图像越接近x轴，alogb300，由0a1,0b0，log3blog3a0，log3blog3a.故ba.答案：A10若ab0，下列各式中恒成立的是()A. B.Cab Daabb解析：利用不等式性质得，当ab0时，由此可知，C不恒成立；当0ab时，可知aaab，则实数a，b应该满足的条件是_解析：由知a0，知b0，而abab，知ba.此时ab(ab)()2()0，不等式成立答案：a0，b0，ab13记A，则A与1的大小关系为_解析：2111210(2101)，A是210项之和A2101.答案：A114已知a1，alg b100，则lg(ab)的最小值是_解析：对alg b100两边取常用对数得lg alg b2，lg alg b22，lg(ab)2.当且仅当lg alg b时，等号成立答案：2三、解答题(本大题共4个小题，满分50分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)设|a|1，|b|1，求证：|ab|ab|2.证明：当ab与ab同号时，|ab|ab|abab|2|a|2；当ab与ab异号时，|ab|ab|ab(ab)|2|b|2.|ab|ab|2.16(本小题满分12分)求证：3.证明：233.17(本小题满分12分)已知a2b2c21，求证：abbcca1.证明：因为(abc)20，所以a2b2c22(abbcca)0.又因为a2b2c21，所以abbcca.因为ab，bc，ac，所以abbccaa2b2c21.所以abbcca1.18(本小题满分14分)设二次函数f(x)ax2bxc(a0) 中的a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数求证：方程f(x)0无整数根证明：假设方程f(x)0有一个整数根k，则ak2bkc0.f(0)c，f(1)abc均为奇数，则ab必为偶数当k为偶数时，令k2n(nZ)，则ak2bk4n2a2nb2n(2nab)必为偶数ak2bkc必为奇数，与式矛盾；当k为奇数时，令k2n1(nZ)，则ak2bk(2n1)(2naab)为一奇数与一偶数之积，必为偶数，也与式相矛盾，所以假设不正确，即方程f(x)0无整数根11
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