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第一章 导数及其应用题型一导数与曲线的切线利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由f(x1)和y1f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一种类型例1已知函数f(x)exax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线yf(x)在点A处的切线斜率为1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x0时，x2ex.(1)解由f(x)exax，得f(x)exa.又f(0)1a1，得a2.所以f(x)ex2x，f(x)ex2.令f(x)0，得xln 2.当xln 2时，f(x)ln 2时，f(x)0，f(x)单调递增所以当xln 2时，f(x)取得极小值，且极小值f(ln 2)eln 22ln 22ln 4，f(x)无极大值(2)证明令g(x)exx2，则g(x)ex2x.由(1)得g(x)f(x)f(ln 2)0.故g(x)在R上单调递增，又g(0)10，因此，当x0时，g(x)g(0)0，即x2ex.跟踪训练1已知函数f(x)ax22ln(2x)(aR)，设曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线为l，若l与圆C：x2y2相切，求a的值解依题意有：f(1)a，f(x)2ax(x0，解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式f(x)0，解得x2，又x(0，)，函数的单调增区间为(2，)，函数的单调减区间为(0,2)(2)函数f(x)x(xa)2x32ax2a2x的定义域为R，由f(x)3x24axa20，得x1，x2a.当a0时，x1x2.函数f(x)的单调递增区间为(，)，(a，)，单调递减区间为(，a)当ax2，函数f(x)的单调递增区间为(，a)，(，)，单调递减区间为(a，)当a0时，f(x)3x20，函数f(x)的单调递增区间为(，)，即f(x)在R上是单调递增的综上，a0时，函数f(x)的单调递增区间为(，)，(a，)，单调递减区间为(，a)；a0，解得2kx2k(kZ)，当x0,2时，0x，或x2，令cos x0，解得x0得xe1，因此，f(x)的单调递增区间是(e1，)，单调递减区间是(0，e1)题型三数形结合思想在导数中的应用1应用导数求函数极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)解方程f(x)0的根；(3)检验f(x)0的根的两侧f(x)的符号若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；否则，此根不是f(x)的极值点2求函数f(x)在闭区间a，b上的最大值、最小值的方法与步骤：(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将(1)求得的极植与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值；特别地，当f(x)在(a，b)上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得，当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一个点处f(x)有极大(小)值，则可以断定f(x)在该点处f(x)有极大(小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(小)值，这里(a，b)也可以是(，)例3设a1，函数f(x)x3ax2b(1x1)的最大值为1，最小值为，求常数a，b.解令f(x)3x23ax0，得x10，x2a.f(0)b，f(a)b，f(1)1ab，f(1)1ab.因为a1，所以1a|x2|，则有() Aa0，b0Ba0，b0Ca0 Da0，b0答案B解析由f(x)的图象易知f(x)有两个极值点x1、x2，且xx1时有极小值，f(x)3ax22bx1的图象如图所示，a|x2|，x1x2，x1x20，即x1x20，b0.题型四定积分及其应用定积分的几何意义表示曲边梯形的面积，它的物理意义表示做变速直线运动物体的位移或变力所做的功，所以利用定积分可求平面图形的面积以及变速运动的路程和变力做功等问题利用定积分解决问题时要注意确定被积函数和积分上下限例4如图，是由直线yx2，曲线y2x所围成的图形，试求其面积S. 解由得x1或x4，故A(1，1)，B(4,2)，如图所示，S2dx(x2)dx跟踪训练4在区间0,1上给定曲线yx2，如图所示，试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小解面积S1等于边长为t与t2的矩形的面积去掉曲线yx2与x轴、直线xt围成的面积，即S1tt2x2dxt3.面积S2等于曲线yx2与x轴，xt，x1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2,1t，即S2x2dxt2(1t)t3t2.所以阴影部分面积S为：SS1S2t3t2(0t1)，由S(t)4t22t4t(t)0，得t0，或t.由于当0t时，S(t)0；当t0，所以S(t)在0t上单调递减，在t1上单调递增所以当t时，S最小，即图中阴影部分的面积S1与S2之和最小呈重点、现规律1函数中求参数的取值范围问题，可以有两种类型：一是已知函数单调性(或极值)，求参数范围；二是已知函数最值(或恒成立)等性质，求参数范围这两种类型从实质上讲，可以统一为：已知函数值的变化规律，探求其参数变化范围2在解决问题的过程中主要处理好等号的问题：(1)注意定义域；(2)函数在某区间上递增(或递减)的充要条件是：f(x)0(或f(x)0)，且f(x)不恒为零；(3)与函数最值有关的问题要注意最值能否取得的情况，一般我们可以研究临界值取舍即可6
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