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第一单元 常用逻辑用语1解逻辑用语问题三绝招1利用集合理清关系充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法本文使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好集合模型解释如下：A是B的充分条件，即AB.A是B的必要条件，即BA.A是B的充要条件，即AB.A是B的既不充分也不必要条件，即AB或A、B既有公共元素也有非公共元素或例1“x23x20”是“x1”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)解析设命题p：“x23x20”，q：“x1”对应的集合分别为A、B，则Ax|x1或x2，Bx|x1，显然“AB，BA”，因此“x23x20”是“x1”的既不充分也不必要条件答案既不充分也不必要2抓住量词对症下药全称命题与存在性命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定又是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药例2(1)已知命题p：“任意x1,2，x2a0”，与命题q：“存在xR，x22ax2a0”都是真命题，则实数a的取值范围为_(2)已知命题p：“存在x1,2，x2a0”与命题q：“存在xR，x22ax2a0”都是真命题，则实数a的取值范围为_解析(1)将命题p转化为“当x1,2时，(x2a)min0”，即1a0，即a1.命题q：即方程有解，(2a)24(2a)0，解得a1或a2.综上所述，a1.(2)命题p转化为当x1,2时，(x2a)max0，即4a0，即a4.命题q同(1)综上所述，a1或2a4.答案(1)(，1(2)(，12,4点评认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质量词，有的放矢3等价转化提高速度在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假，它们就是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真例3设p：q：x2y2r2 (r0)，若q是綈p的充分不必要条件，求r的取值范围分析“q是綈p的充分不必要条件”等价于“p是綈q的充分不必要条件”设p、q对应的集合分别为A、B，则可由ARB出发解题解设p、q对应的集合分别为A、B，将本题背景放到直角坐标系中，则点集A表示平面区域，点集RB表示到原点距离大于r的点的集合，即圆x2y2r2外的点的集合ARB表示区域A内的点到原点的最近距离大于r，直线3x4y120上的点到原点的最近距离大于等于r，原点O到直线3x4y120的距离d，r的取值范围为00)在p：所对应的区域的外部，也是可以解决的但以上解法将“q是綈p的充分不必要条件”等价转化为“p是綈q的充分不必要条件”，更好地体现了相应的数学思想方法2判断条件四策略1应用定义如果pq，那么称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件判断的关键是分清条件与结论例1设集合Mx|x2，Px|x0)，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是_解析设p、q分别对应集合P、Q，则Px|2x10，Qx|1mx1m，由题意知，pq，但qD/p.故PQ，所以或解得m9.即m的取值范围是9，)答案9，)4等价转化由于互为逆否命题的两个命题同真同假，所以当由p推q较困难时，可利用等价转化，先判断由非q推非p，从而得到pq.例4已知p：xy2，q：x，y不都是1，则p是q的_条件解析因为p：xy2，q：x1或y1，所以綈p：xy2，綈q：x1且y1.因为綈pD/綈q，但綈q綈p，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件答案充分不必要3走出逻辑用语中的误区误区1所有不等式、集合运算式都不是命题例1判断下列语句是不是命题，若是命题，判断其真假(1)x20；(2)x220；(3)ABAB；(4)AAB.错解(1)、(2)、(3)、(4)都不是命题剖析(1)中含有未知数x，且x不定，所以x2的值也不定，故无法判断x20是否成立，不能判断其真假，故(1)不是命题；(2)x虽为未知数，但x20，所以x222，故可判断x220成立，故(2)为真命题(3)若AB，则ABABAB；若AB，则ABAABB.由于A，B的关系未知，所以不能判断其真假，故(3)不是命题(4)A为AB的子集，故AAB成立，故(4)为真命题正解(2)、(4)是命题，且都为真命题误区2原命题为真，其否命题必为假例2判断下列命题的否命题的真假：(1)若a0，则ab0；(2)若a2b2，则ab.错解(1)因为原命题为真命题，故其否命题是假命题；(2)因为原命题为假命题，故其否命题为真命题剖析否命题的真假与原命题的真假没有关系，否命题的真假不能根据原命题的真假来判断，应先写出命题的否命题，再判断正解(1)否命题：若a0，则ab0，是假命题；(2)否命题：若a2b2，则ab，是假命题误区3搞不清谁是谁的条件例3使不等式x30成立的一个充分不必要条件是()Ax3 Bx4Cx2 Dx1,2,3错解由不等式x30成立，得x3，显然x3x2，又x2D/x3，因此选C.剖析若p的一个充分不必要条件是q，则qp，pD/q.本题要求使不等式x30成立的一个充分不必要条件，又x4x30，而x30D/x4，所以使不等式x30成立的一个充分不必要条件为x4.正解B误区4考虑问题不周例4如果a，b，cR，那么“b24ac”是“方程ax2bxc0有两个不等实根”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件错解判别式b24ac0，即方程ax2bxc0有两个不等实根；若方程ax2bxc0有两个不等实根，则判别式b24ac0，即b24ac.综上可知“b24ac”是“方程ax2bxc0有两个不等实根”的充要条件，故选C.剖析判别式b24ac只适用于一元二次方程的实数根存在情况的判断对于方程ax2bxc0，当a0时，原方程为一次方程bxc0(b0)，一次方程不存在判别式，所以当b24ac时不能推出方程ax2bxc0有两个不等实根；若方程ax2bxc0有两个不等实根，则它的判别式b24ac0，即b24ac.由上可知，“b24ac”是“方程ax2bxc0有两个不等实根”的必要不充分条件正解B误区5用“且”“或”联结命题时只联结条件或结论例5(1)已知p：方程(x11)(x2)0的根是x11；q：方程(x11)(x2)0的根是x2，试写出“pq”；(2)p：四条边相等的四边形是正方形；q：四个角相等的四边形是正方形，试写出“pq”错解(1)pq：方程(x11)(x2)0的根是x11或x2.(2)pq：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形剖析(1)(2)两题中p，q都是假命题，所以“pq”，“pq”也都应是假命题而上述解答中写出的两命题却都是真命题错误原因：(1)只联结了两个命题的结论；(2)只联结了两个命题的条件正解(1)pq：方程(x11)(x2)0的根是x11或方程(x11)(x2)0的根是x2.(2)pq：四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形误区6不能正确否定结论例6p：方程x25x60有两个相等的实数根，试写出“綈p”错解綈p：方程x25x60有两个不相等的实数根剖析命题p的结论：“有两个相等的实数根”，所以“綈p”应否定“有”，而不能否定“相等”正解綈p：方程x25x60没有两个相等的实数根误区7对含有一个量词的命题否定不完全例7已知命题p：存在一个实数x0，使得xx020，写出綈p.错解一綈p：存在一个实数x0，使得xx020.错解二綈p：对任意的实数x，都有x2x20，q：x22x1a20，若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围分析将充分、必要条件转化为集合之间的关系，进而转化为集合运算问题解解不等式x28x200，得p：Ax|x10或x0，得q：Bx|x1a或x0依题意pq，但qD/p，说明AB.于是有或，解得01a2，即q真a2.由p或q为真命题，p且q为假命题，知命题p，q中必有一真一假若p真q假，则无解；若p假q真，则1a2.故满足题意的实数a的取值范围是(1,2)答案(1,2)点评若命题“p或q”“p且q”中含有参数，求解时，可以先等价转化命题p，q，直至求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“p或q”“p且q”的真假情况确定参数的取值范围3反例意识在“逻辑”中，经常要对一个命题的真假(尤其是假)作出判断，若直接从正面判断一个命题是假命题不易进行，这时可以通过举出恰当的反例来说明，这是一个简单有效的办法例4设A，B为两个集合，则下列四个命题中真命题的序号是_AB对任意xA，都有xB；ABAB；ABBA；AB存在xA，使得xB.分析画出表示AB的Venn图进行判断解析画出Venn图，如图1所示，则AB存在xA，使得xB，故是假命题，是真命题ABBA不成立的反例如图2所示同理可得BAAB不成立故是假命题综上知，真命题的序号是.答案8
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