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专题06 三角函数的图像与性质1.三角函数yAsin (x)(A0，0)的图象变换，周期及单调性是高考热点2.备考时应掌握ysin x，ycos x，ytan x的图象与性质，并熟练掌握函数yAsin (x)(A0，0)的值域、单调性、周期性等1任意角和弧度制(1)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ(2)把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角(3)弧长公式：l|r，扇形的面积公式：Slr|r2.2任意角的三角函数(1)设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么siny，cosx，tan(x0)(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦3诱导公式公式一sin(2k)sin，cos(2k)cos，tan(2k)tan公式二sin()sin，cos()cos，tan()tan公式三sin()sin，cos()cos，tan()tan公式四sin()sin，cos()cos，tan()tan公式五sincos，cossin公式六sincos，cossin口诀奇变偶不变，符号看象限4.同角三角函数基本关系式sin2cos21，tan(cos0)5正弦、余弦、正切函数的性质函数ysinxycosxytanx定义域RRx|xk，kZ值域1,11,1R奇偶性奇函数偶函数奇函数最小正周期22单调性在2k，2k(kZ)上递增在2k，2k(kZ)上递减在2k，2k(kZ)上递增在2k，2k(kZ)上递减在(k，k)(kZ)上递增最值当x2k，kZ时，y取得最大值1.当x2k，kZ时，y取得最小值1当x2k，kZ时，y取得最大值1.当x2k，kZ时，y取得最小值1无最值对称性对称中心：(k，0)(kZ)对称轴：xk(kZ)对称中心：(k，0)(kZ)对称轴：xk(kZ)对称中心：(，0)(kZ)6.函数yAsin(x)的图象(1)“五点法”作图设zx，令z0、2，求出x的值与相应的y的值，描点连线可得考点一三角函数图象及其变换例1、【2017课标1，理9】已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【答案】D【解析】因为函数名不同，所以先将利用诱导公式转化成与相同的函数名，则，则由上各点的横坐标缩短到原来的倍变为，再将曲线向左平移个单位长度得到，故选D. 【变式探究】(2016高考全国甲卷)函数yAsin(x)的部分图象如图所示，则()Ay2sinBy2sinCy2sin Dy2sin答案：A【变式探究】 (1)函数f(x)cos(x)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ解析：基本法：由函数图象知T22.2，即.由2k，kZ，不妨设.f(x)cos由2kx2k得，2kx2k，kZ，故选D.速解法：由题图可知1，所以T2.结合题图可知，在(f(x)的一个周期)内，函数f(x)的单调递减区间为.由f(x)是以2为周期的周期函数可知，f(x)的单调递减区间为，kZ，故选D.答案：D (2)要得到函数ysin的图象，只需将函数ysin 4x的图象()A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位 D向右平移个单位答案：B考点二三角函数性质及应用例2、【2017课标1，理17】ABC的内角A，B， C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为 （1）求sinBsinC;（2）若6cosBcosC=1，a=3，求ABC的周长.【答案】（1）.（2）.【解析】（1）由题设得，即.由正弦定理得.故. 【变式探究】(1)如图，长方形ABCD的边AB2，BC1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOPx.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则yf(x)的图象大致为()解析：基本法：用排除法排除错误选项当x时，f(x)tan x，图象不会是直线段，从而排除A，C.当x时，ff1，f2.21，fff，从而排除D，故选B.速解法：当x时，f1.x时，f2，显然ff排除C、D.又x为角度，f(x)不是一次函数，排除A，故选B.答案：B (2)函数f(x)sin(x2)2sin cos(x)的最大值为_解析：基本法：利用三角恒等变换将原式化简成只含一种三角函数的形式f(x)sin(x2)2sin cos(x)sin(x)2sin cos(x)sin(x)cos cos(x)sin 2sin cos(x)sin(x)cos cos(x)sin sin(x)sin x，f(x)的最大值为1.速解法：为常数，令0时，f(x)sin x.若，则f(x)sincossin x猜想f(x)sin xf(x)max1.答案：1 (3)设函数f(x)sin(x)cos(x)的最小正周期为，且f(x)f(x)，则()Af(x)在单调递减Bf(x)在单调递减Cf(x)在单调递增Df(x)在单调递增速解法：由f(x)sin知T，2.f(x)为偶函数，.f(x)cos 2x依据图象特征可得f(x)在为减区间答案：A【变式探究】(2016高考全国甲卷)函数f(x)cos 2x6cos的最大值为()A4 B5C6 D7解析：f(x)12sin2x6sin x22，因为sin x1,1，所以当sin x1时，f(x)取得最大值，且f(x)max5.答案：B1.【2017课标1，理9】已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【答案】D2.【2017课标1，理17】ABC的内角A，B， C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为 （1）求sinBsinC;（2）若6cosBcosC=1，a=3，求ABC的周长.【答案】（1）.（2）.【解析】（1）由题设得，即.由正弦定理得.故.1.【2016高考新课标3理数】在中，边上的高等于,则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】设边上的高为，则，所以，由余弦定理，知，故选C2.【2016高考新课标2理数】若，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】 ，且，故选D. 3.【2016高考新课标3理数】若 ，则（ ）(A) (B) (C) 1 (D) 【答案】A【解析】由，得或，所以，故选A4.【2016年高考四川理数】= .【答案】【解析】由二倍角公式得5.【2016年高考四川理数】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( )（A）向左平行移动个单位长度 （B）向右平行移动个单位长度（C）向左平行移动个单位长度 （D）向右平行移动个单位长度【答案】D6.【2016高考新课标2理数】若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】由题意，将函数的图像向左平移个单位得，则平移后函数的对称轴为，即，故选B.7.【2016年高考北京理数】将函数图象上的点向左平移（） 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ）A.，的最小值为B. ，的最小值为C.，的最小值为D.，的最小值为【答案】A【解析】由题意得，当s最小时，所对应的点为，此时，故选A.8.【2016高考新课标3理数】函数的图像可由函数的图像至少向右平移_个单位长度得到【答案】9.【2016高考浙江理数】设函数，则的最小正周期（ ）A与b有关，且与c有关 B与b有关，但与c无关C与b无关，且与c无关 D与b无关，但与c有关【答案】B【解析】，其中当时，此时周期是；当时，周期为，而不影响周期故选B10.【2016高考山东理数】函数f（x）=（sin x+cos x）（cos x sin x）的最小正周期是（ ）（A） （B） （C） （D）2【答案】B【解析】,故最小正周期,故选B.11.【2016年高考四川理数】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( )（A）向左平行移动个单位长度 （B）向右平行移动个单位长度（C）向左平行移动个单位长度 （D）向右平行移动个单位长度【答案】D【解析】由题意，为了得到函数，只需把函数的图像上所有点向右移个单位，故选D.12.【2016高考新课标2理数】若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B13.【2016年高考北京理数】将函数图象上的点向左平移（） 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ）A.，的最小值为B. ，的最小值为C.，的最小值为D.，的最小值为【答案】A【解析】由题意得，当s最小时，所对应的点为，此时，故选A.14.【2016高考新课标3理数】函数的图像可由函数的图像至少向右平移_个单位长度得到【答案】15.【2016高考新课标3理数】在中，边上的高等于,则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】设边上的高为，则，所以，由余弦定理，知，故选C16.【2016高考新课标2理数】若，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】 ，且，故选D.17.【2016高考新课标3理数】若 ，则（ ）(A) (B) (C) 1 (D) 【答案】A【2015高考新课标1，理2】 =( ) （A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】原式= =，故选D.【2015江苏高考，8】已知，则的值为_.【答案】3【解析】【2015高考福建，理19】已知函数的图像是由函数的图像经如下变换得到：先将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移个单位长度.()求函数的解析式，并求其图像的对称轴方程；()已知关于的方程在内有两个不同的解（1)求实数m的取值范围；（2)证明：【答案】() ，；()（1）；（2）详见解析【解析】解法一：(1)将的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到的图像，再将的图像向右平移个单位长度后得到的图像，故，从而函数图像的对称轴方程为(2)1) （其中）解法二：(1)同解法一.(2)1) 同解法一.2) 因为是方程在区间内有两个不同的解，所以，.当时，当时, 所以于是【2015高考山东，理16】设.（）求的单调区间；（）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值.【答案】（I）单调递增区间是；单调递减区间是（II） 面积的最大值为（）由 得 由题意知为锐角，所以 由余弦定理： 可得： 即： 当且仅当时等号成立.因此 所以面积的最大值为【2015高考重庆，理9】若，则（）A、1 B、2 C、3 D、4【答案】C【2015高考山东，理3】要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）（A）向左平移个单位 （B）向右平移个单位（C）向左平移个单位 （D）向右平移个单位 【答案】B【解析】因为 ，所以要得到函数 的图象，只需将函数 的图象向右平移 个单位.故选B. 【2015高考新课标1，理8】函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为( )(A) (B)(C) (D) 【答案】D【解析】由五点作图知，解得，所以，令，解得，故单调减区间为（，），故选D. 1. 【2014高考湖南卷第9题】已知函数且则函数的图象的一条对称轴是( ) A. B. C. D.【答案】A【考点定位】三角函数图像、辅助角公式 2. 【2014高考江苏卷第5题】已知函数与函数，它们的图像有一个横坐标为的交点，则的值是 .【答案】【解析】由题意，即，因为，所以【考点】三角函数图象的交点与已知三角函数值求角3. 【2014辽宁高考理第9题】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A在区间上单调递减 B在区间上单调递增 C在区间上单调递减 D在区间上单调递增【答案】B【考点定位】函数的性质.4. 【2014四川高考理第3题】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）A向左平行移动个单位长度 B向右平行移动个单位长度C向左平行移动个单位长度 D向右平行移动个单位长度【答案】A【解析】，所以只需把的图象上所有的点向左平移个单位.选A.【考点定位】三角函数图象的变换.5. 【2014全国1高考理第6题】如图，图O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数，则的图像大致为（ ）【答案】C【考点定位】解直角三角形、三角函数的图象6. 【2014高考北卷理第14题】设函数（是常数，）.若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为 .【答案】【考点定位】函数的对称性、周期性，7. 【2014高考安徽卷理第11题】若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于轴对称， 则的最小正值是_.【答案】【解析】由题意，将其图象向右平移个单位，得，要使图象关于轴对称，则，解得，当时，取最小正值.【考点定位】三角函数的平移、三角函数恒等变换与图象性质.8. 【2014浙江高考理第4题】为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）A. 向右平移个单位 B.向左平移个单位 C.向右平移个单位 D.向左平移个单位 【答案】【解析】，故只需将向左平移个单位【考点定位】三角函数化简,图像平移.9. 【2014陕西高考理第2题】函数的最小正周期是（ ） 【答案】【解析】由周期公式，又,所以函数的周期，故选.【考点定位】三角函数的最小正周期.10. 【2014大纲高考理第16题】若函数在区间是减函数，则的取值范围是 .【答案】【考点定位】三角函数的单调性 11. 【2014高考江西理第16题】已知函数，其中（1）当时，求在区间上的最大值与最小值；（2）若，求的值.【答案】（1）最大值为最小值为-1. （2）【解析】（1）当时，因为，从而故在上的最大值为最小值为-1.（2）由得，又知解得【考点定位】三角函数性质。12. (2014福建卷)已知函数f(x)2cos x(sin xcos x)(1)求f的值；(2)求函数f (x)的最小正周期及单调递增区间思路二先应用和差倍半的三角函数公式化简函数f(x)2sin xcos x2cos2xsin1.(1)将代入函数式计算；(2)T.由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ.解析：解法一(1)f2cos 2cos 2.(2)因为f(x)2sin xcos x2cos2xsin 2xcos 2x1sin1.所以T.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，所以f(x)的单调递增区间为，kZ.13. (2014北京卷)函数f(x)3sin的部分图象如图所示(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0、y0的值；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解析：(1)由题意知：f(x)的最小正周期为，x0，y03.(2)因为x，所以2x，于是当2x0，即x时，f(x)取得最大值0；当2x，即x时，f(x)取得最小值3.1函数f(x)sin(x)的图象如图所示，为了得到ysin x的图象，只需把yf(x)的图象上所有点()A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度答案：A2若函数ycos(N*)图象的一个对称中心是，则的最小值为()A1 B2C4 D8解析：由题意知k(kZ)6k2(kZ)，又N*，min2，故选B.答案：B3若函数f(x)sin axcos ax(a0)的最小正周期为2，则函数f(x)的一个零点为()AB.C. D(0，0)答案：B4把函数ysin图象上各点的横坐标缩小到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为()Ax B xCx Dx解析：由题意知ysinsincos 2x，验证可知x是所得图象的一条对称轴答案：A5已知函数f(x)2sin(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象的对称中心坐标为()A.(kZ)B.(kZ) C.(kZ)D.(kZ)解析：由题图可知，T3，又T3，又2k，kZ，2k，kZ，又|0)个单位长度，得到yg(x)的图象若yg(x)图象的一个对称中心为，求的最小值解：(1)根据表中已知数据，解得A5，2，.数据补全如下表：x02xAsin(x)05050且函数表达式为f(x)5sin.8设函数f(x)sin xsin，xR. (1)若，求f(x)的最大值及相应x的集合；(2)若x是f(x)的一个零点，且010，求的值和f(x)的最小正周期解：由已知：f(x)sin xcos xsin.(1)若，则f(x)sin.又xR，则sin，f(x)max，此时x2k，kZ，即f(x)取最大值时，x的取值集合为.此时其最小正周期为. 31
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