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第三单元 导数及其应用学习目标1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用知识点一函数的单调性与其导数的关系定义在区间(a，b)内的函数yf(x)f(x)的正负f(x)的单调性f(x)0单调递_f(x)0单调递_知识点二求函数yf(x)的极值的方法解方程f(x)0，当f(x0)0时，(1)如果在x0附近的左侧_，右侧_，那么f(x0)是极大值(2)如果在x0附近的左侧_，右侧_，那么f(x0)是极小值知识点三函数yf(x)在a，b上最大值与最小值的求法1求函数yf(x)在(a，b)内的极值2将函数yf(x)的_与端点处的函数值_比较，其中_的一个是最大值，_的一个是最小值类型一函数与其导函数之间的关系例1已知函数yxf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，则yf(x)的图象大致是()反思与感悟研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应考察其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考察这些区间与原函数的单调区间是否一致跟踪训练1设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图象可能是()类型二构造函数求解命题角度1比较函数值的大小例2已知定义域为R的奇函数yf(x)的导函数为yf(x)，当x0时，f(x)0，若af()，bf()，c(ln )f(ln )，则a，b，c的大小关系正确的是()Aacb BbcaCabc Dcaf(x)若a，b，则a与b的大小关系为_(用“”连接)命题角度2求解不等式例3定义域为R的可导函数yf(x)的导函数f(x)满足f(x)2ex的解集为()A(，0) B(，2)C(0，) D(2，)反思与感悟根据所求结论与已知条件，构造函数g(x)，通过导函数判断g(x)的单调性，利用单调性得到x的取值范围跟踪训练3函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)命题角度3利用导数证明不等式例4已知x1，证明不等式x1ln x.反思与感悟利用函数的最值证明不等式的基本步骤(1)将不等式构造成f(x)0(或0时，22x2ex.类型三利用导数研究函数的极值与最值例5已知函数f(x)x3ax2b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3xy0平行(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间0，t(0t3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)c在区间1,3上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围反思与感悟(1)求极值时一般需确定f(x)0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得跟踪训练5已知函数f(x)ax3(a1)x248(a2)xb的图象关于原点成中心对称(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间及极值；(3)当x1,5时，求函数的最值1已知函数f(x)x3bx2cx的图象如图所示，则xx等于()A. B. C. D.2设f(x)、g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f(x)g(x)f(x)g(x)0，则当axf(b)g(b)Bf(x)g(a)f(a)g(x)Cf(x)g(b)f(b)g(x)Df(x)g(x)f(a)g(a)3若函数f(x)(x2)(x2c)在x2处有极值，则函数f(x)的图象在x1处的切线的斜率为_4函数f(x)x33x1，若对于区间3,2上的任意x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|t，则实数t的最小值是_5已知x0，求证：xsin x.导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法答案精析知识梳理知识点一增减知识点二(1)f(x)0f(x)0(2)f(x)0知识点三2极值f(a)，f(b)最大最小题型探究例1C当0x1时，xf(x)0，f(x)0，故yf(x)在(0,1)上为减函数，排除A、B选项当1x0，f(x)0，故yf(x)在(1,2)上为增函数，因此排除D.跟踪训练1A函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，当x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0.当2x0时，xf(x)0；当x2时，xf(x)0；当x0.由此观察四个选项，故选A.例2B令g(x)xf(x)，则g(x)(x)f(x)xf(x)，g(x)是偶函数g(x)f(x)xf(x)，f(x)0时，xf(x)f(x)0，当x0.g(x)在(0，)上是减函数ln 21，g()g(ln 2)g()又g(x)是偶函数，g()g()，g(ln )g(ln 2)，g()g(ln )b解析设g(x)，则当x0时，g(x)g(3)，即，所以ab.例3C设g(x)，则g(x).f(x)0，即函数g(x)单调递增f(0)2，g(0)2，则不等式等价于g(x)g(0)函数g(x)单调递增，x0，不等式的解集为(0，)，故选C.跟踪训练3B令g(x)f(x)2x4，f(x)2，则g(x)f(x)20.又由g(1)f(1)2(1)40，得g(x)0，即g(x)g(1)的解为x1，f(x)2x4的解集为(1，)例4证明设f(x)x1ln x，x(1，)，则f(x)1，因为x(1，)，所以f(x)0，即函数f(x)在(1，)上是增函数，又x1，所以f(x)f(1)11ln 10，即x1ln x0，所以x1ln x.跟踪训练4证明设f(x)22x2ex，则f(x)22ex2(1ex)当x0时，exe01，f(x)2(1ex)0.函数f(x)22x2ex在(0，)上是减函数f(x)0时，22x2ex0，22x2ex.例5解(1)因为f(x)3x22ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f(1)32a，即32a3，a3.又函数过(1,0)点，即2b0，b2.所以a3，b2，f(x)x33x22.(2)由f(x)x33x22，得f(x)3x26x.由f(x)0，得x0或x2.当0t2时，在区间0，t上，f(x)0，f(x)在0，t上是减函数，所以f(x)maxf(0)2，f(x)minf(t)t33t22.当2t3时，当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2，t)tf(x)00f(x)22t33t22f(x)minf(2)2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个因为f(t)f(0)t33t2t2(t3)0，所以f(x)maxf(0)2.(3)令g(x)f(x)cx33x22c，则g(x)3x26x3x(x2)当x1,2)时，g(x)0.要使g(x)0在1,3上恰有两个相异的实根，则即解得2c0.即实数c的取值范围为(2,0跟踪训练5解(1)函数f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)是奇函数，f(x)f(x)，即ax3(a1)x248(a2)xbax3(a1)x248(a2)xb，于是2(a1)x22b0恒成立，解得a1，b0.(2)由(1)得f(x)x348x，f(x)3x2483(x4)(x4)，令f(x)0，得x14，x24，令f(x)0，得4x0，得x4.f(x)的单调递减区间为(4,4)，单调递增区间为(，4)和(4，)，f(x)极大值f(4)128，f(x)极小值f(4)128.(3)由(2)知，函数在1,4上单调递减，在4,5上单调递增，对f(4)128，f(1)47，f(5)115，当x1,5时，函数的最大值为47，最小值为128.当堂训练1C由题意可知f(0)0，f(1)0，f(2)0，可得1bc0,84b2c0，解得b3，c2，所以函数的解析式为f(x)x33x22x，所以f(x)3x26x2.令3x26x20，可得x1x22，x1x2，所以xx(x1x2)22x1x242.2C由条件，得0.在(a，b)上是减函数，f(b)g(x)35解析函数f(x)(x2)(x2c)在x2处有极值，f(x)(x2c)(x2)2x.f(2)0，c40，c4，f(x)(x24)(x2)2x，函数f(x)的图象在x1处的切线的斜率为f(1)(14)(12)25.420解析由f(x)3x230，得x1，则f(x)minf(3)19，f(x)maxf(1)1，由题意知，|f(x1)f(x2)|max|191|20，t20，故tmin20.5证明设f(x)xsin x(x0)，则f(x)1cos x0对x(0，)恒成立，函数f(x)xsin x在(0，)上单调递增，又f(0)0，f(x)0对x(0，)恒成立，xsin x(x0)10
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