2017-2018版高中数学 第三章 指数函数和对数函数 2 指数扩充及其运算性质学案 北师大版必修1

2 指数扩充及其运算性质学习目标1.理解分数指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化.2.了解无理数指数幂，理解实数指数幂的运算性质.3.能用实数指数幂运算性质化简、求值知识点一分数指数幂思考由a222(a0)易得a2，由此你有什么猜想？梳理分数指数幂(1)定义：给定_a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的_b，使得_，我们把b叫作a的_，记作b_.(2)意义正分数指数幂负分数指数幂0的分数指数幂前提条件a0，m，n均为正整数，m，n互素结论_，无意义知识点二无理数指数幂思考无理数是无限不循环小数，课本中是如何用有理数指数幂来研究无理数指数幂的？梳理无理数指数幂无理数指数幂a(a0，是无理数) 是一个确定的正实数至此，指数幂a的指数取值范围扩充为R.知识点三实数指数幂的运算性质思考1在实数指数幂ax中，为什么要规定a0?梳理一般地，在研究实数指数幂的运算性质时，约定底数为大于零的实数思考2初中，我们知道a0，m0，m，n为任意实数时，上式还成立吗？梳理一般地，当a0，b0时，有：(1)amanamn；(2)(am)namn；(3)(ab)nanbn，其中m，nR.知识点四实数指数幂的化简思考如何化简()？梳理实数指数幂的化简中，先把根式、分式都化为实数指数幂的形式，再利用指数幂运算性质化简类型一根式与分数指数幂之间的相互转化例1用根式的形式表示下列各式(x0，y0)(1)；(2).反思与感悟实数指数幂的化简与计算中，分数指数幂形式在应用上比较方便而在求函数的定义域中，根式形式较容易观察出各式的取值范围，故分数指数幂与根式的互化是学习的重点内容，要切实掌握跟踪训练1用根式表示 (x0，y0)例2把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a0，b0.(1)；(2)；(3)；(4).反思与感悟指数的概念从整数指数扩充到有理数指数后，当a0时，有时有意义，有时无意义如(1)1，但(1)就不是实数了为了保证在取任何有理数时，都有意义，所以规定a0.当被开方数中有负数时，幂指数不能随意约分跟踪训练2把下列根式化成分数指数幂(1) ；(2) (a0)；(3)b3；(4) .类型二运用指数幂运算公式化简求值例3计算下列各式(式中字母都是正数)(1)(0.027)()(2)0.5；(2)(3)反思与感悟一般地，进行指数幂运算时，可按系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的跟踪训练3(1)化简：()()080.25()6；(2)化简：(3)已知5，求的值类型三运用指数幂运算公式解方程例4已知a0，b0，且abba，b9a，求a的值反思与感悟指数取值范围由整数扩展到有理数乃至实数，给运算带来了方便，我们可以借助指数运算法则轻松对指数进行变形，以达到我们代入、消元等目的跟踪训练4已知67x27,603y81，求的值1化简的值为()A2 B4C6 D82等于()A25 B. C5 D.3用分数指数幂表示(ab)为()A(ab) B(ba)C(ab) D(ab)4()4等于()Aa16 Ba8 Ca4 Da25计算41222的结果是()A32 B16 C64 D1281指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里面的；无括号的先做指数运算，负指数幂化为正指数幂的倒数底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数的运算性质2指数幂的运算原则是：一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算，在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解答案精析问题导学知识点一思考当a0，b0时，若ambn，则a(m，n为非零整数)梳理(1)正实数正实数bnam次幂(2) 0知识点二思考随着精确度越高，无理数指数幂的不足近似值和过剩近似值都无限趋近于同一个数，这个数即为实数知识点三思考1把指数扩大为全体实数后，若a0.思考2因为指数已扩充为实数，故有amanamn.既不必再区分m、n的大小，也不必区分aman和了知识点四思考()(a1abb1)(题型探究例1解(1).(2) .跟踪训练1解.例2解(1)(2)(3)(4)a3.跟踪训练2解(1)(2)(3)b3b3(4)例3解(1)(0.027)()(2)0.5()2 0.090.09.(2)原式2(6)(3)4ab04a.(3) .跟踪训练3解(1)原式(2)5(4)()(3)由5，两边同时平方得x2x125，整理得xx123，则有23.例4解方法一a0，b0，又abba，方法二abba，b9a，a9a(9a)a，即(a9)a(9a)a，a99a，a89，a.跟踪训练4解由67x33，得673，由603y81，得6033，2，故2.当堂训练1B2.D3.C4.D5.B10