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1.5.2定积分学习目标1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质知识点一定积分的概念思考回顾求曲边梯形面积和变速直线运动路程的求法，找一下它们的共同点一般地，设函数f(x)在区间a，b上有定义，将区间a，b等分成n个小区间，每个小区间长度为x(x)，在每个小区间上取一点，依次为x1，x2，xi，xn.作和_，如果当x0(亦即n)时，SnS(常数)，那么称常数S为函数f(x)在区间a，b上的定积分，记为：Sf(x)dx，其中，f(x)称为_，a，b称为_，a称为_，b称为_知识点二定积分的几何意义思考定积分和曲边梯形的面积有何关系？从几何角度看，如果在区间a，b上函数f(x)连续且恒有_，那么定积分f(x)dx表示由_所围成的曲边梯形的面积这就是定积分f(x)dx的几何意义知识点三定积分的性质思考你能根据定积分的几何意义解释f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)吗？1kf(x)dx(k为常数)2f1(x)f2(x)dx.3f(x)dx(其中acb)类型一定积分的概念例1用定积分的定义计算x2dx.反思与感悟利用定义求定积分的步骤：跟踪训练1用定义计算(1x)dx.类型二定积分的几何意义例2(1)如图所示，f(x)在区间a，b上，则阴影部分的面积S为_(填写序号)f(x)dx；f(x)dxf(x)dx；f(x)dxf(x)dx；f(x)dxf(x)dx.(2)利用定积分的几何意义计算dx.反思与感悟(1)定积分的几何意义是在x轴上半部，计算的面积取正值，在x轴下半部计算的面积取负值(2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面积，要注意分割点要确定准确(关键词：分割)(3)奇、偶函数在区间a，a上的定积分若奇函数yf(x)的图象在a，a上连续，则f(x)dx0.若偶函数yf(x)的图象在a，a上连续，则f(x)dx2f(x)dx.跟踪训练2利用几何意义计算下列定积分：(1)dx；(2)(3x1)dx；(3)(x33x)dx.类型三定积分的性质例3计算(x3)dx的值反思与感悟根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算跟踪训练3已知x3dx，x3dx，x2dx，x2dx，求：(1)3x3dx；(2)6x2dx；(3)(3x22x3)dx.1关于定积分a(2)dx的叙述正确的是_(填序号)被积函数为y2，a6；被积函数为y2，a6；被积函数为y2，a6；被积函数为y2，a6.2将曲线yex，x0，x2，y0所围成的图形面积写成定积分的形式为_32(x2)dx_.4计算： (25sin x)dx.1定积分f(x)dx是一个和式f(i)的极限，是一个常数2可以利用“分割、以直代曲、作和、逼近”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分3定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算提醒：完成作业1.5.2答案精析问题导学知识点一思考两个问题均可以通过“分割、以直代曲、作和、逼近”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限Snf(x1)xf(x2)xf(xi)xf(xn)x被积函数积分区间积分下限积分上限知识点二思考(1)当函数f(x)0时，定积分f(x)dx表示由直线xa，xb(ab)，y0及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积(2)当函数f(x)0时，曲边梯形位于x轴的下方，此时f(x)dx等于曲边梯形面积S的相反数，即f(x)dxS.(3)当f(x)在区间a，b上有正有负时，定积分f(x)dx表示介于x轴、函数f(x)的图象及直线xa，xb(ab)之间各部分面积的代数和(在x轴上方的取正，在x轴下方的取负)f(x)0直线xa，xb，y0和曲线yf(x)知识点三思考直线xc把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲边梯形的面积S是两个小曲边梯形的面积S1，S2之和，即SS1S2.1kf(x)dx2f1(x)dxf2(x)dx3f(x)dxf(x)dx题型探究例1解令f(x)x2.(1)分割在区间0,3上等间隔地插入n1个点，把区间0,3分成n等份，其分点为xi(i1,2，n1)，这样每个小区间xi1，xi的长度x(i1,2，n)(2)以直代曲、作和令ixi(i1,2，n)，于是有和式：(i)x()22n(n1)(2n1)(1)(2)(3)逼近n时，(1)(2)9.根据定积分的定义x2dx9.跟踪训练1解(1)分割将区间1,2等分成n个小区间(i1,2，n)，每个小区间的长度为x.(2)以直代曲、作和在上取点i1(i1,2，n)，于是f(i)112，从而得(i)x(2)n012(n1)22.(3)逼近n时，2.因此(1x)dx.例2(1)(2)解dx表示圆心为(2,0)，半径等于2的圆的面积的，即dx22.跟踪训练2解(1)在平面上y表示的几何图形为以原点为圆心以2为半径的上半圆，其面积为S222.由定积分的几何意义知dx2.(2)由直线x1，x3，y0，以及y3x1所围成的图形，如图所示：(3x1)dx表示由直线x1，x3，y0以及y3x1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，(3x1)dx(3)(331)(1)216.(3)yx33x为奇函数，(x33x)dx0.例3解如图， 由定积分的几何意义得dx，x3dx0，由定积分性质得(x3)dxdxx3dx. 跟踪训练3解(1)3x3dx3x3dx3(x3dxx3dx)3()12.(2)6x2dx6x2dx6(x2dxx2dx)6()126；(3)(3x22x3)dx3x2dx2x3dx3x2dx2x3dx327.达标检测12.exdx3.54解由定积分的几何意义得2dx()22.由定积分的几何意义得sin xdx0.所以 (25sin x)dx2dx5sin xdx2.9
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