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83数列、函数的极限（选II）一、考试大纲扫描1了解数列极限和函数极限的概念2掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限3了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质二、知识梳理与方法提炼1数列极限（1）数列极限的概念：一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限趋近于某个常数，那么叫做数列的极限，记作。（2）数列的极限运算：如果，那么；注：在使用数列极限的运算法则时，必须注意以下两点：(a)参与运算的每一个数列的极限都是存在的；(b)参与运算的数列的个数必须是有限个；（c）若参与运算的数列的个数是无限个，则先求和整理，再求极限。（3）几个重要的极限（C为常数）， ， （4）无穷等比数列各项的和 在无穷等比数列中，如果，表示其前项和，那么我们称为这个无穷等比数列各项的和，且。 注：若一个等比数列的各项的和存在，则蕴含着其公比满足。2.函数极限（1）当时函数的极限: 当自变量取正值并且无限增大时,如果函数无限趋近于一个常数,就说当趋向于正无穷大时, 函数的极限是,记作,(或时, )当自变量x取负值并且无限增大时,如果函数无限趋近于一个常数,就说当趋向于负无穷大时, 函数的极限是,记作,(或-时, )注：自变量+和-都是单方向的，而是双向的，故有以下等价命题（2）当时函数的极限:如果当从点左侧（即）无限趋近于时，函数无限趋近于常数。就说是函数的左极限，记作。如果当从点右侧（即）无限趋近于时，函数无限趋近于常数。就说是函数的右极限，记作。当自变量无限趋近于常数（但）时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向于时, 函数的极限是,记作,(或时, a)注：（）。并且可作为一个判断函数在一点处有无极限的重要工具。(b)与函数在点处是否有定义及是否等于都无关。（3）函数极限的四则运算：如果，那么； ； （b0）3.函数的连续性一般地，函数在点处连续必须同时满足下面三个条件：（1）函数在点处有定义；（2）存在；（3），即函数在点处的极限值等于这一点的函数值。4.数列极限常见题型（1）分子和分母都是关于的多项式的极限，呈“”型，通常同除以的最高指数项；（2）分子或分母中含有无理式求极限时，先对分子或分母进行有理化进行转化；（3）所求极限式为项的和（或积），通常先求和（或积）化简，再求极限；（4）型，分子分母同除以底数绝对值较大的项，然后利用极限四则运算求解。5.函数极限常见题型（1）当时，求函数的极限：若出现“”型，分子分母同除以的最高次幂，再利用（k0）求极限；若出现“”型，先变形，再求极限，变形手段：通分、因式分解、有理化等；（2）当时，求函数的极限:若在函数的定义域中，则只需将代入解析式中即可；函数在处没有定义，若是“”型，先变形，约去极限为0的因式，再求极限；若是“”型，先变形，再求极限。常见变形方法：因式分解、分子或分母有理化等。6.极限的逆向问题，一般从极限入手，运用逆向思维，确定有关字母的取值或取值范围。三、知识热身1函数的不连续点是（ C ） A B C或 D2等于（ D ）A B1 C D3=_3_4_5等于_6下列极限式中正确的是_ =1 （C为常数）四、典型例题解析例1.求下列数列的极限。（1）（2）（3）（4）（5）（6）分析：针对数列极限的常见形式，掌握必要的一些处理手段。（1）和（2）是“”型；（3）型；（4）、（5）、（6）是无穷项求极限。精讲：（1）（2）（3）（4）（5）评析：掌握一些必要的数列极限求法，再具体情况具体分析，是我们能够有备无患的制胜法宝。例2求下列函数的极限。（1）（2）（3）（4）分析：此例针对函数极限常见形式，掌握一些必要的处理手段。（1）直接代入，（2）通分、约去零因子，（3）有理化、约去零因子，（4）通分，同除以最高次幂。精讲：（1）（2）（3）（4）评析：数列是特殊的函数，通过本例，我们需要学会常见函数极限的处理手段。例3.求满足下列条件的参数取值。(1) 已知 求、的值。（2）已知，求、的值。（3）已知，若存在，求b的值。（4）已知，求实数的取值范围。分析：本例四个题目都是关于极限和连续的逆向问题，关键是掌握基本类型的求法，然后利用逆行思维进行求解。精讲：（1）欲使原式，则，即。（2）因为，所以必含有因式，故另外一个因式必然为，即，所以即。（3）因为，所以，又存在，即，故。（4）当时，不合题意；当时，合题；当时，不合题意；当时，不存在极限，不合题意；综上：评析：上述四个题目都是求极限的逆向问题，关键是掌握极限的定义，运用逆向思维，并酌情进行讨论。例4.（1）判断函数在其定义域内的连续性。（2）已知在区间上连续，求、的值。分析：由于基本初等函数在其定义域中均连续，故考察函数是否连续，只需分析函数在分段点的极限值是否等于该点的函数值。精讲：（1）因为在各段由初等函数构成，故只需考察点又，而，即，故函数在处连续；又，而，即，故函数在处连续；综上函数在其定义域R上连续。（2）原函数在各分段均由初等函数及其四则运算构成，故只需考察点。因为，在处连续，则；又，故有。五、能力提升1. 的值为（ ） A1 B.-1 提示：题目中去负数，故选2等比数列的首项，前项和为，若，则等于（ B ）A B C D提示：，得到公比，从而利用无穷等比数列极限，求出答案B3（09四川高考）已知函数在点处连续，则的值为（ B ）.3 C提示：根据连续定义找出左右极限，从而求出参数。已知a、b、c是实数，且=2, =3，则的值是5_1_6已知函数在点处连续，则_7求下列式子的极限（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）（2）（3）（4）（5）因为，所以8根据下列条件求值。（1）为常数，求的值；（2）若存在且不为0，求k的值；（3）为多项式，且，求。（4）已知函数在上连续，求实数的值。解：（1）因为，所以，所以（2）又因为存在且不为0，故（3）因为，故设又因为，而，故有，即（4）因为在各段由初等函数构成，故只需考察点又，故又，故9已知无穷等比数列的首项为a1，公比为q，且其所有项的和存在，（1）若，求的范围；（2）若，求公比的范围；（3）若（qn）=，求首项a1的取值范围.解：因为无穷等比数列的所有项之和存在，所以， （1）因为，即所以（2）因为，即，即当时，；当时，（3）因为，一定存在.0|q|1或q=1.当q=1时，1=,a1=3.当0|q|1时，由（qn）=得=,2a11=q.0|2a11|1.0a11且a1.综上,得0a11且a1或a1=3.10已知数列有，对任意的，有。（1）求的值； （2）判断数列是否为等差数列；（3）对于数列，假如存在一个常数使得对任意的都有且，则称为数列的“上渐近值”。令，求数列的“上渐近值”。解：（1）因为，所以当时，即；（2）是等差数列。因为，所以，即 ，同理则有 ，有：，即，故是等差数列。（3）由（2），是等差数列，且，所以，故，故又，故的“上渐近值”为3。
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