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高等数学上册讲稿 第一章 第三节 函数的极限（三）教学目的：（1）会用两个重要极限求极限；（2）了解无穷小阶的概念； （3）掌握常用等价无穷小，会用等价无穷小替换求极限教学重点：两个重要极限，无穷小比较的理解，等价无穷小教学难点：重要极限证明教学方法：讲练结合教学时数：2课时一、两个重要极限1. 证明：当时，作一单位圆，如图设圆心角取弧度因为，故得即由，两端同时除以，或从而， （*）当时，,由（*）式，得，即.故，当时，有由夹逼原理得 ，说明：函数在无定义，但极限仍然存在，此极限属于型的极限；当时，例1求解：例2求解：例3求解：令例4求解：因为，可设，当时，所以，=2证明：先证当时，设则有不等式 由于 ，因此，由夹逼原理得 再证：令 综上，.说明：（1）公式的另一形式：利用代换,则当时，.于是，又可写成（2）推广：若则；若则例5求解：例6求解：例7求解：或：练习：求下列极限：1. 2. 3. 4. 5.二、无穷小的比较观察时，函数极限，极限，易知，三个函数均为无穷小但是；，反映了不同的无穷小趋向于零的“速度”有“快”、“慢”之分1.定义3.5 在同一极限过程中，设，均为无穷小，则 （1）如果，称是比高阶的无穷小；记作；或称是比低阶的无穷小；（2）如果，称与为同阶无穷小；记作；特别当时，即称与为等价无穷小，记作；（3）如果，称是的阶无穷小若，则称是当时的k阶无穷小因，根据定义，与是时的等价无穷小，即；又，与为同阶无穷小，或是的二阶无穷小；由，（）；2.等价无穷小替换求极限定理3.8 设在同一自变量的同一变化过程中，是无穷小，且，如果存在，那么证明： 常见的等价无穷小： 当x0时， （以后证明）一般若，则有推广的等价关系：, , .例8求解：令 ，则当时，则 或 ，即：（）例9求解：当时，故说明：若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小的代换，而不会改变原式的极限例10求极限 解：利用等价代换公式，（）， 例11错解：所以，解：注意：等价无穷小的代换只能对分子或分母中的无穷小进行，而对于加、减中的每一项不能分别作代换例12求解： 内容小结:1. 两个重要极限2. 无穷小的比较3. 等价无穷小替换求极限求极,记此极限为,求函数的间断点,并指出其类型5
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