《线性代数习题》word版

习题一 向量及其线性运算 一、填空题：1 下列等式何时成立：1），当；2），当；3），当；4），当。2，当。3指出下列向量组是线性相关还是线性无关：1）是 线性相关 ；2）不平行，是 线性无关 ；3）共面，是 线性相关 ;4），不共面，是 线性无关 。二、用几何作图证明：1） 2）证明：三、设为线段上任一点，证明：存在数，使得。证明： 与平行，可设 所以，。四、已知向量，问向量是否共面？如果共面，写出它们的线性表示式。解：因为 （1）所以向量共面。线性表示式为（1）式。习题二 空间直角坐标系一、填空题：1在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是；关于平面的对称点是；关于平面的对称点是；关于原点的对称点是。2在空间直角坐标系中，点的对称点的坐标是；关于轴的对称点是 ；关于轴的对称点是。3在空间直角坐标系中，点在平面上的投影点坐标是；在平面上的投影点是；在平面上的投影点是；在轴上的投影点是；在轴上的投影点是；在轴上的投影点是。4在空间直角坐标系中，点平面的距离是 3 ；到平面的距离是 2 ；到平面的距离是 1 ；到原点的距离是；到轴的距离是；到轴的距离是；到轴的距离是。二、 已知点，点在连接、的直线上，且，求点的坐标。解：设的坐标为，则有由条件， 。三、 已知向量，求的方向余弦及与平行的单位向量。解：设的方向余弦为，则 。四、 设，计算。解：。五、 设三力作用于一点，求合力的大小和方向余弦。解：合力方向余弦为： 。 习题三 向量的内积和外积一、判断题：1若，且，则。 （ 错 ）2共面的充分必要条件是。 （ 对 ）3。 （ 错 ）4 （ 对 ）二、已知向量，试计算1 2 3解：1）；2）3）。三、证明：向量和向量垂直。证明：由于，所以与垂直。四、已知垂直，且，计算：1； 2。解：1）因为与都垂直，所以与也垂直，因此， =。注：因为垂直，所以。2）。五、已知向量不共线，证明：的充要条件是。证明：类似可证。，若于，平行于，从而共线，矛盾，所以。六、已知：。问：1）为何值时，与平行； 2）为何值时，与垂直。解1），当与平行时，与平行时，。2），因为与垂直，所以。七、 已知：，求。解：，因此，。八、若与垂直，垂直，求的夹角。解：由题设， 由（1）、（2）可得：。九、已知，其中，求三角形的面积。解： 习题四 向量运算的坐标表示及其运算一、填空题：1平行于轴的向量一般表示式是；平行于轴的向量一般表示式是；平行于轴的向量一般表示式是。2向量，它们的夹角。3向量，当=与=时，平行。二、设三力，作用于一质点，使质点产生的位移向量，求合力所做的功。解：合力。一、 若向量的起点和点重合，试确定它的终点的坐标。解：设的坐标为，则，所以，。二、 从点作向量，使，其中，且，求点的坐标。解：设的坐标为，则，由于平行于，所以不妨设，则，由知： ， ，所以或。三、 向量上的投影向量。解：向量上的投影向量为 。四、 求单位向量，使它和向量都垂直。解：显然同时垂直于，所以所求单位向量为 。五、 三角形的三个顶点为，求其面积。解：。六、 （1）向量是否共面？若不共面，试计算以这三个向量为棱所作的平行六面体体积。解：因为所以不共面，以这三个向量为棱所作的平行六面体体积。（2）已知以向量为棱所作的平行六面体体积等于4，求的值。解：因为所以，所以。 习题五 平面及其方程一、填空题：1 平行于平面且与此平面的距离为3的平面方程是 。2如果平面与平行，则2；若垂直，则 -10 。二、求满足下列条件的平面方程：1过原点引平面的垂线，垂足是点的平面方程。解：平面的法向量，故由平面的点法式方程知平面方程为：即。2 通过点且平行于向量的平面方程。解：平面的法向量可取为，由点法式知平面方程为： 即。3 通过点和且平行于轴的平面方程。解：，由题设可取平面的法向量，所以所求平面方程为，即。4 通过点且在轴上截距相等的平面方程。解：设所求平面方程为由条件得： ，因此，所求平面方程为。5 求通过三点的平面方程。解：解：由三点式方程可得所求平面方程为： 化简得：。三、求过轴且垂直于平面的平面方程。解：所求平面的法向量可取为，由于平面过原点，所以所求平面方程为即。四、求过点且垂直于平面的平面方程。解：平面的法向量可取为，所以所求平面方程为：，即。五、已知两平面，求平分它们所夹二面角的平面方程。 解：设为所求平面上任一点，则到两平面的距离相等，因此， 即，化简可得：或。习题六 空间直线及其方程一、 填空题： 1过点的直线方程是。2过点且垂直于直线的平面方程是。3过点且垂直于平面的直线方程是 ，点在此平面上的投影点坐标是；点关于此平面的对称点坐标是。4求下列各组中的直线和平面的关系（相交、平行、垂直或直线在平面上）：（1）， 平行 ；（2）， 垂直 ；（3）， 直线在平面上 。二、求直线的对称式与参数式方程。解：在直线上取一点直线的方向向量可取为： ，所以，直线的对称式方程为直线的参数式方程为为参数。三、求过点且通过直线的平面方程。解：设所给点为在直线上取一点直线的方向向量为所求平面的法向量可取为所以所求平面方程为：即。四、求点到直线的距离。解：设所给点为在直线上取一点直线的方向向量可取为 与的夹角所以点到所给直线的距离为。五、求过点且与直线和直线都垂直的直线方程。解：第一条直线的方向向量为第而条直线的方向向量为所以所求直线的方向向量可取为： ， 因此，所求直线方程为：。六、 求垂直于平面，并通过从点的垂线的平面方程。解：直线的方向向量可取为过点且垂直于直线的平面的方程为即，该平面与直线的交点为点的垂线的方程为，由于所求平面垂直于平面，且通过直线，故其法向量可取为，从而所求平面的方程为： 即。七、 过点引直线，使它平行于平面且与直线相交，求该直线的方程。解：设所求直线的方向向量为由题设：由于与平行，所以 在直线上取一点，由于所求直线过点且与直线相交，所以向量与直线的方向向量直线的方向向量共面，因此， 即由（1）、（2）得所以所求直线方程为 。八、 判断两直线：，：是否在同一平面内？若是，是否平行？若相交，求它们的交点坐标。解：在直线上取一点在直线上取一点，直线的方向向量直线的方向向量，由于 =0，所以与共面。由于，故与不平行，因此相交。设其交点为，则 解得故所求交点为。 习题七 矩阵的概念及代数运算一、 填空题：1取，若，则3；1；9；-3。2设，则13；。3设，则当且仅当时，。4的充分必要条件是。二、设，试计算：1）；2）；3）；4）。解：1）2）3）4）。三、设，试计算：；及（为正整数）。解：。四、计算：1） 设，求。解：；。2） 设，求（为正整数）。解：。五、设，试求（为正整数）。解：其中 一般地，当时， 。六、 设，计算：；。解：；。七、 1）设、为阶方阵，且为对称矩阵，则也是对称矩阵。2）设、均为阶对称矩阵，则是对称矩阵的充分必要条件是。证明：1），所以也是对称矩阵。2）已知、均为阶对称矩阵，则是对称矩阵。八、 设、为阶矩阵，且满足，及，证明：。证明：因为，所以。这样， ，因此，所以，。 习题八 行列式一、 填空题：1设，则。2设，则。3设，则。4设，则 0 ， 0 。二、计算下列行列式：1） 2）=100 =2000。 。3） 4）。 。5） 6）5） 。6） =。三、解下列方程：1） 2）解1）左边= 解2）注意方程的左边是Vandermonde行列式，故 左边=，。 。四、设，是中元素的代数余子式。求的值。解：=。五、设均为可微函数。证明：证明：左边 +=右边。16