数学分析曲线积分与曲面积分学习教案

数学分析曲线数学分析曲线(qxin)积分与曲面积分积分与曲面积分第一页，共27页。背景：前面(qin mian)，求几何体的质量 1.第一(dy)型曲线曲、面积分设有空间的曲线(qxin)段L，其上每点有线性密度,我们的问题是,求其质量为简单起见,设空间曲线段L是可以求长的,其端点为A,B密度函数在曲线L上连续,我们来求这曲线段L的质量.从A至B依次插入分点,它将曲线L分为段.记第i段弧长为在第 段 上任取一点则第i弧段的质量近似于从而L 的质量就近似于 ( ,)iiiifs 当i时,上述和式的极限就是L的质量这种定义在曲线L的和式的极限,就称为在L 的第一型曲线积分.如何又设第1页/共27页第二页，共27页。设 L是空间中一条有限(yuxin)长的光滑曲线,义在 L上. L的两端(lin dun)点为A,B.依次(yc)用分点将L分为01,nAA AABni小段弧也记为，任取，作和式小段，每小段的弧长记为，不妨将第若当1max0ii ns 时上述和式极限存在，则称此极限为在曲线L上的第一类曲线积分，记为.总的来说,就是定义 21.1第2页/共27页第三页，共27页。设L 为光滑(gung hu)曲线 ( , , )f x y z在L上连续(linx).则 ( , , )f x y z在L上的第一型曲线积分存在,且第3页/共27页第四页，共27页。(1) 第一型曲线(qxin)积分的性质(2)(3)(4)第4页/共27页第五页，共27页。例例1 1设L 是椭圆(tuyun) 在第一象限部分， 求 . 解：设第5页/共27页第六页，共27页。例例2 2计算 ，其中(qzhng)L为球面被平面(pngmin) 所截得的圆周.解：第6页/共27页第七页，共27页。设 S是空间光滑(gung hu)曲面义在 S上. 对于(duy)D的任意分法为是定),(zyxf),(zyxf任取，作和式1( ,)niiiiifs 若当1max0ii ns 时,上述和式极限(jxin)存在，则称此极限为在曲线S上的第一类曲面积分，记为定义 21.2相应得到S的分法第7页/共27页第八页，共27页。 如何(rh)计算？ ，f 在S上连续(linx)，则定理定理(dngl) S(dngl) S：，是光滑曲面， 是有界闭区域的第一型曲面积分存在，且第8页/共27页第九页，共27页。 其中(qzhng)当 时第9页/共27页第十页，共27页。说明(shumng) 1）公式(gngsh)的记忆：“代进去” 2）S的方程(fngchng)为或时公式如何 3）当时，为曲面S的面积公式 4)当光滑曲面S由参数方程：时面积元素这时5）当S是Oxy平面上的平面块D时。第一类曲面积分就是二重积分第10页/共27页第十一页，共27页。例例4 4计算曲面积分 ，其中(qzhng)S为球面2222xyza在平面(pngmin)解：之上的部分(b fen).则第11页/共27页第十二页，共27页。例例5.5.计算(j sun) ,其中解：()Sxyz ds第12页/共27页第十三页，共27页。定义(dngy)21.3 设函数( , , )f x y z定义在空间光滑曲线弧L上,L的两端点为A,B.从A,B给一个分法:其中记的弧长为任取,作和式若当1max0ii ns 时,的极限存在,则称该极限为函数 沿有向曲线L对的第二型曲线积分,记为或如果在上述求和时,分别用或代替便得到 f沿L对或对的第二型曲线积分:或第13页/共27页第十四页，共27页。定理(dngl)21.3 设函数( , , )f x y z定义在空间光滑(gung hu)曲线弧AB上的连续函数，对应(duyng)于A，AB，且有对应于B，且 自身不相交，则函数 沿有向曲线fL的第二型( , , ).ABf x y z dx曲线积分类似地有， 第14页/共27页第十五页，共27页。ABAB其中(qzhng)解解: : (1) AB则(1)是上半圆周(yunzhu)(2)是上半圆周参数方程： 第15页/共27页第十六页，共27页。AB作用(zuyng)下，质点由A到B所做的功解解: : (1)AB(1)是螺旋线(2)是直线(zhxin)段(2)第16页/共27页第十七页，共27页。 特别(tbi)的,当设L 为光滑(gung hu)曲线 设有空间的曲线段L，密度函数为 ，求其质量 t ( , , )f x y z在L上连续.则特别 当L 为平面光滑曲线 t 2.定理1.第一型曲线积分( , , )f x y z第17页/共27页第十八页，共27页。xyo1. 1. 设设 C C 是由极坐标系下曲线是由极坐标系下曲线(qxin)(qxin)及所围区域(qy)的边界, 求4提示: : 分段积分第18页/共27页第十九页，共27页。面的交线 , 求其形心 . 在第一(dy)卦限与三个坐标解解: : 如图所示如图所示 , , 交线长度交线长度(chngd)(chngd)为为RozyxRR1L3L2L由对称性 , 形心坐标为第19页/共27页第二十页，共27页。其中(qzhng)为球面解解: : 化为参数(cnsh)方程 则第20页/共27页第二十一页，共27页。解解: :RRoxy故所求引力(ynl)为),(yx求它对原点处单位(dnwi)质量质点的引力. 4. 4. 有一半有一半(ybn)(ybn)圆弧圆弧其线密度RkRkF2,4第21页/共27页第二十二页，共27页。其中(qzhng)L为双纽线解解: : 在极坐标系下yox它在第一(dy)象限部分为利用对称性 , 得第22页/共27页第二十三页，共27页。例例1. 1. 计算计算(j (j sun)sun)其中(qzhng) L 是抛物线与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解解: :1Lxy2xy o) 1 , 1 (B第23页/共27页第二十四页，共27页。解解: : 建立建立(jinl)(jinl)坐标系如图坐标系如图, ,RxyoL则 2的圆弧 L 对于(duy)它的对称轴的转动惯量I (设线密度 = 1).第24页/共27页第二十五页，共27页。解解: : ,d)(222szyx其中为螺旋的一段弧.)20(,sin,costtkztaytax例例3. 3. 计算曲线积分线02322223tktaka第25页/共27页第二十六页，共27页。第26页/共27页第二十七页，共27页。