二次函数知识点与经典例题详解最终

二次函数知识点总结及经典习题一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地,形如 y =ax2+bx +c a ,b ,c 是常数, a 0 的函数,叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数 a 0 ,而b ,c 可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数 y =ax2 +bx +c 的结构特征： 等号左边是函数,右边是关于自变量 x 的二次式, x 的最高次数是 2 a ,b ,c 是常数, a 是二次项系数, b 是一次项系数, c 是常数项二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式： y=ax2的性质：a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上(0,0)y 轴x 0 时, y 随 x 的增大而增大； x 0 时, y 随x 的增大而减小； x = 0 时, y 有最小值0 a 0 时, y 随 x 的增大而减小； x 0向上(0,c)y 轴x 0 时, y 随 x 的增大而增大； x 0 时, y 随x 的增大而减小； x = 0 时, y 有最小值c a 0 时, y 随 x 的增大而减小； x 0向上(h ,0)X=hx h 时, y 随 x 的增大而增大； x h 时, y 随x 的增大而减小； x =h 时, y 有最小值0 a h 时, y 随 x 的增大而减小； x 0向上(h ,k )X=hx h 时, y 随 x 的增大而增大；xh 时, y 随x 的增大而减小； x =h 时, y 有最小值 k a h 时, y 随 x 的增大而减小；x0时,抛物线开口向上,对称轴为x= - ,顶点坐标为.当x- 时,y随x的增大而增大；当x=-时,y有最小值 .2. 当a0时,抛物线开口向下,对称轴为x=- , 顶点坐标为.当x- 时,y随 x的增大而减小;当x=-时 , y有最大值. . .六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：y=ax2 +bx+ca,b,c为常数,a0；2. 顶点式：y=a2+ka,h,k为常数,a0；3. 两根式交点式：y=aa0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式, 只有抛物线与 x 轴有交点,即b2- 4ac 0 时,抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a 当 a 0 时,抛物线开口向上, a 的值越大,开口越小,反之 a 的值越小,开口越大； 当 a 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正； 当c = 0 时,抛物线与 y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为0 ； 当c 0 时,图象与 x 轴交于两点 A(x1,0),B (x2,0 ) ,其中的 x1,x 2是一元二次方程 ax2 +bx +c = 0(a 0)的两根 当D= 0 时,图象与 x 轴只有一个交点； 当D 0 时,图象落在 x 轴的上方,无论 x 为任何实数,都有 y 0 ；2 当 a 0 时,图象落在 x 轴的下方,无论 x 为任何实数,都有 y 0 2. 抛物线 y=ax2+bx+c的图象与 y轴一定相交,交点坐标为 ；. .中考题型例析1. 二次函数解析式的确定例1求满足下列条件的二次函数的解析式图象经过 A、B、C;图象经过 A、B,函数有最小值-8;图象顶点坐标是,与 x 轴两交点间的距离是 6.分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解.解:设解析式为 y=ax2+bx+c,把 A、B、C各点代入上式得 解得 解析式为 y=x2+2.解法1:由 A、B得抛物线对称轴为 x=1,所以顶点为. 设解析式为 y=a2+k,即 y=a2-8.把 x=-1,y=0 代入上式得 0=a2-8,a=2. 即解析式为 y=22-8,即 y=2x2-4x-6.解法2:设解析式为 y=a,确定顶点为同上, 把 x=1,y=-8 代入上式得-8=a.解得 a=2,解析式为 y=2x2-4x-6.解法 3:图象过 A,B两点,可设解析式为:y=a=ax2-2ax-3a.函数有最小值-8.=-8.又a0,a=2.解析式为 y=2=2x2-4x-6.解:由顶点坐标可知抛物线对称轴方程是 x=-1, 又图象与 x 轴两交点的距离为 6,即 AB=6.由抛物线的对称性可得 A、B 两点坐标分别为 A,B, 设出两根式 y=a,将 A,B代入上式求得函数解析式为 y=-x2-2x+8.点评:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点可设表达式为y=ax2+bx+c,组成三元一次方程组来求解; 如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用 y=a2+k 来求解;若三个条件中已知抛物线与 x 轴两交点坐标,则一般设解析式为 y=a.2. 二次函数的图象例2y=ax2+bx+c的图象如图所示,则点M在.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限分析:由图可知:抛物线开口向上 a0.抛物线与y轴负半轴相交 c0.对称轴x=-2a在y轴右侧b0点 M在第一象限. 答案:A.点评:本题主要考查由抛物线图象会确定 a、b、c 的符号.例3已知一次函数y=ax+c二次函数y=ax2+bx+c,它们在同一坐标系中的大致图象是.分析:一次函数 y=ax+c,当 a0 时,图象过一、三象限;当 a0 时, 直线交 y 轴于正半轴; 当 c0 时, 直线交 y 轴于负半轴; 对于二次函数y= ax2+bx+c来讲:开口上下决定a的正负左同右异来判别b的符号抛物线与y轴的正半轴或负半轴相交确定c的正负解:可用排除法,设当 a0 时,二次函数 y=ax2+bx+c 的开口向上,而一次函数 y= ax+c 应过一、三象限,故排除 C;当 a0 时,用同样方法可排除 A;c 决定直线与 y 轴交点;也在抛物线中决定抛物线与y 轴交点,本题中c 相同则两函数图象在y 轴上有相同的交点,故排除B.答案:D.3. 二次函数的性质例4对于反比例函数y=-与二次函数y=-x2+3, 请说出他们的两个相同点:, ; 再说出它们的两个不同点:,.分析:本小题是个开放性题目,可以从以下几点性质来考虑增减性图象的形状 最值自变量取值范围交点等.解:相同点:图象都是曲线,都经过或都经过;不同点:图象形状不同,自变量取值范围不同,一个有最大值,一个没有最大值. 点评:本题主要考查二次函数和反比例函数的性质,有关函数开放性题目是近几年命题的热点.4. 二次函数的应用例 5 已知抛物线 y=x2+x-k2+k,求证:此抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.2设 x1、x2 是此抛物线与 x 轴两个交点的横坐标,且满足 x12+x 2=-2k2+2k+1.求抛物线的解析式.设点 P、Q是抛物线上两个不同的点, 且关于此抛物线的对称轴对称. 求 m+m 的值.分析:欲证抛物线与 x 轴有两个不同交点,可将问题转化为证一元二次方程有两个不相等实数根,故令 y=0,证0 即可.根据二次函数的图象与x 轴交点的横坐标即是一元二次方程的根.由根与系数的关系,求出 k 的值,可确定抛物线解析式; 由 P、Q 关于此抛物线的对称轴对称得 n1=n2, 由 n1=m12+m1,n2=m22+m2得 m12+m1=m22+m2,即=0 可求得 m1+m2=-1.解:证明:=2-4=4k2+4k+1+4k2-4k=8k2+1.8k2+10,即0,抛物线与 x 轴总有两个不同的交点. 由题意得 x1+x2=-, x1 x2=-k2+k.x12+x22=-2k2+2k+1,2-2x1x2=-2k2+2k+1, 即2-2=-2k2+k+1, 4k2+4k+1+2k2-2k= - 2k2+2k+1.8k2=0,k=0,抛物线的解析式是 y=x2+x.点 P、Q 关于此抛物线的对称轴对称,n1=n2.2又 n1=m12+m1,n2=m 2+m2.2m12+m1=m 2+m2,即=0.P、Q 是抛物上不同的点,m1m2,即 m1-m20.m1+m2+1=0 即 m1+m2=-1.点评:本题考查二次函数的图象与 x 轴交点的坐标与一元二次方程根与系数的关系.二次函数经常与一元二次方程相联系并联合命题是中考的热点.二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数y =x2-4x-7的顶点坐标是A.B.2,7C.2,11D.2,32. 把抛物线y =-2x2向上平移1个单位,得到的抛物线是. .A. y =-22B. y =-22C. y =-2x2 +1D. y =-2x2 -1. .3.函数y =kx2-k和y =k在同一直角坐标系中图象可能是图中的x4.已知二次函数 y =ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论: a,b 同号; 当 x=1和 x=3时,函数值相等; 4a+b=0当 y =-2时, x的值只能取 0.其中正确的个数是A.1个B.2个C. 3个D.4个5.已知二次函数y =ax2+bx+c的顶点坐标-1,-3.2及部分图象,由图象可知关于 x 的一元二次方程ax2 +bx +c = 0 的两个根分别是 x1= 1.3和x2=-1.36. 已知二次函数 y =ax2 +bx +c 的图象如图所示,则点 在A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限7.方程2x-x2= 的正根的个数为A.0个B.1个C.2个.3个8.已知抛物线过点 A,B,与 y 轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为A. y =x2 -x - 2B. y =-x2 +x + 2C. y =x2 -x - 2 或 y =-x2 +x + 2D. y =-x2 -x - 2 或 y =x2 +x + 2二、填空题9二次函数y =x2+bx+3的对称轴是x=2,则b= 。10已知抛物线y=-2x+3+5,如果y随x的增大而减小,那么x的取值范围是11一个函数具有下列性质：图象过点1,2,当x0时,函数值y随自变量x的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是只写一个即可。12抛物线y =22-6的顶点为C,已知直线y =-kx+3过点C,则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为。13.二次函数y=2x2-4x-1的图象是由y=2x2+bx+c的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b=,c=。14如图,一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度是 16 米,跨度是 40 米,在线段 AB 上离中心 M 处 5 米的地方,桥的高度是.三、解答题：15.已知二次函数图象的对称轴是 x + 3 = 0 ,图象经过,且与 y 轴的交点为.求这个二次函数的解析式;当 x 为何值时,这个函数的函数值为 0?当 x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值 y 随 x 的增大而增大?16.某种爆竹点燃后,其上升高度 h米和时间 t秒符合关系式 h=v0t- gt20t2,其0中重力加速度 g 以 10 米/秒 2 计算这种爆竹点燃后以 v=20 米/秒的初速度上升,1这种爆竹在地面上点燃后,经过多少时间离地 15 米？2在爆竹点燃后的 1.5 秒至 1.8 秒这段时间内,判断爆竹是上升,或是下降,并说明理由.17.如图,抛物线 y =x2+bx-c经过直线 y =x-3与坐标轴的两个交点 A、B,此抛物线与 x轴的另一个交点为 C,抛物线顶点为 D.1求此抛物线的解析式；2点 P 为抛物线上的一个动点,求使 SDAPC ：SDACD =5：4 的点 P的坐标。18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理当每吨售价为260元时,月销售量为45吨该建材店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现：当每吨售价每下降 10 元时,月销售量就会增加 7. 5 吨综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用 100 元设每吨材料售价为x元,该经销店的月利润为y元1当每吨售价是 240 元时,计算此时的月销售量；2求出y与x的函数关系式不要求写出x的取值范围；3该建材店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元？4小静说：当月利润最大时,月销售额也最大你认为对吗？请说明理由. .二次函数应用题训练1、心理学家发现,学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间 x分之间满足函数关系：y = -0.1x2 +2.6x + 43 .1当 x 在什么范围内时,学生的接受能力逐步增强？当 x 在什么范围内时, 学生的接受能力逐步减弱？2第 10 分钟时,学生的接受能力是多少？3第几分钟时,学生的接受能力最强？A2、如图,已知ABC 是一等腰三角形铁板余料,其中 AB=AC=20cm,BC=24cm.若在ABC上截出一矩形零件 DEFG,使 EF 在 BC 上,点 D、G 分别在边 AB、AC 上. 问矩形 DEFG 的最大面积是多少?GDDGCBFE3、如图,ABC 中,B=90,AB=6cm,BC=12cm.点 P 从点 A 开始,沿 AB 边向点 B以每秒1cm 的速度移动;点Q 从点B 开始,沿着BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动.如果P,Q 同时出发,问经过几秒钟PBQ 的面积最大?最大面积是多少? C Q A P B4、如图,一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为 2.5 米时,达到最大高度 3.5 米,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为 3.05 米.建立如图所示的直角坐标系,求抛物线的表达式;yxx4m3.05M0该运动员身高 1.8 米,在这次跳投中,球在头顶上方 0.25 米处出手,问：球出手时, 他跳离地面的高度是多少. .4 mx3.05 my5、如图,要建一个长方形养鸡场,鸡场的一边靠墙,如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场,设它的长度为 x m.要使鸡场面积最大,鸡场的长度应为多少 m？如果中间有 n道篱笆隔墙,要使鸡场面积最大,鸡场的长应为多少m？比较的结果,你能得到什么结论？6、某商场以每件 20 元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量 m与每件的销售价 x满足关系：m=1402x.写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件的销售价 x 间的函数关系式;如果商场要想每天获得最大的销售利润,每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？二次函数对应练习试题参考答案一,选择题、1A2C3A4B5D6B7C8C 二、填空题、. .9b =-410 x-311如 y=-2x2+4, y=2x+4等答案不唯一. .12113-871415三、解答题15设抛物线的解析式为 y =ax2 +bx +c ,由题意可得-解得 a=- ,b=-3, c=- 所以 y =- x2 - 3x -. .x=-1或-5x -3161由已知得,15=20t-10t2,解得t1=3,t2=1当t = 3 时不合题意,舍去。所以当爆竹点燃后1秒离地15米2由题意得,h=-5t2+20t-52+20,可知顶点的横坐标t=2,又抛物线开口向下,所以在爆竹点燃后的 1.5 秒至 108 秒这段时间内,爆竹在上升171直线y=x-3与坐标轴的交点A3,0,B0,-3则解得所以此抛物线解析式为y=x2-2x-32抛物线的顶点D1,4,与x轴的另一个交点C1,0.设P,则：=5:4,化简得=5 . 当 a2-2a-30 时, a2-2a-3=5得 a=4, a=-2P4,5或 P2,5. .当 a2-2a-30 时, -a2+2a+3=5即 a2+2a+2=0,此方程无解综上所述,满足条件的点的坐标为4,5或2,518145+7.5=60吨2y=,化简得：y=-x2 +315x-240003y=-x2+315x-24000=-2 +9075红星经销店要获得最大月利润,材料的售价应定为每吨 210 元4我认为,小静说的不对理由：方法一：当月利润最大时,x为210元,而对于月销售额W =x =-2 +19200 来说,当 x 为 160 元时,月销售额 W 最大当 x 为 210 元时,月销售额 W 不是最大小静说的不对方法二：当月利润最大时,x 为 210 元,此时,月销售额为 17325 元； 而当 x 为 200 元时,月销售额为 18000 元1732518000,当月利润最大时,月销售额 W 不是最大小静说的不对二次函数应用题训练参考答案. .1、10x13,13x30；259；313.2、解：过 A 作 AMBC 于 M,交 DG 于 N,则 AM=16cm.设 DE=xcm, S 矩形=ycm2,则由ADGABC,故 =,即=,故= .y=DGDE= x=- =- 2+96,从而当 x=8 时,y 有最大值 96.即矩形 DEFG 的最大面积是 96cm2.3、设第 t 秒时,PBQ 的面积为 ycm2.则AP=tcm,PB=cm;又 BQ=2t.y=PBBQ= 2t=t=-t2+6t=-2+9,当 t=3 时,y 有最大值 9.故第 3 秒钟时PBQ 的面积最大,最大值是 9cm2.4、解：设抛物线的表达式为 y=ax2+bx+c.由图知图象过以下点：,. 得 . .抛物线的表达式为 y=0.2x2+3.5.设球出手时,他跳离地面的高度为 h m,则球出手时,球的高度为h+1.8+0.25= m,h+2.05=0.22+3.5,h=0.2.5、解：依题意得鸡场面积 y= -x 2 +x.y=x2+x= - =2+,. .当 x=25 时,y最大 = ,. .即鸡场的长度为 25 m 时,其面积最大为m2.如中间有几道隔墙,则隔墙长为m.y= x=x2+ x= =2+,. .当 x=25 时,y最大=. .即鸡场的长度为 25 m 时,鸡场面积为m2.结论：无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙,要使鸡场面积最大,其长都是 25 m.6、解：y=2x2+180x2800. y=2x2+180x2800=22800=22+1250.当 x=45 时, y最大 =1250.每件商品售价定为 45 元最合适,此销售利润最大,为 1250 元. .