定积分的数值计算

第一讲 定积分的数值计算【主要目的】围绕定积分的概念与数值计算方法这一大家非常熟悉的主题，突出数值实验、几何观察、数值分析等实验特性，学生通过实验与理论的对照，加深对数学思想和数学知识的理解和掌握，学习如何从实验角度创新知识、发现知识，并上升到理论分析的角度。【主要内容】定积分的数值计算方法，包括：矩形法、梯形法与辛普森法；对误差的了解：精度与收敛速度引言首先回忆一下函数 在区间 上的定积分概念的建立过程。考虑在区间 内任意插入 个分点的分法 ：把 分割成 个小区间，第 个子区间的长度为 ；任取数 ，做乘积 ，把所有这些乘积相加得到和式.如果无论区间 怎样划分及分点 怎样选取，当 时，该和式都趋于同一常数，则称函数 在区间 上可积，且称此常数为 在区间 上的定积分，即。称和式 为积分和或黎曼和。在定积分的概念中包含了两个任意性，即对区间的分割 和点 的选取都是任意的。显然，对于区间的不同分割 或者点 的选取不同，得到的和式一般不同。定积分的定义中要求在对区间无限细分（ ）的条件下，所有这些和式都趋于同一数值。这一点初学者较难理解。我们将通过数值实验来加以理解。当 在区间 上连续， 为 在区间 上的原函数时，我们可以用牛顿-莱布尼兹公式方便地求得。但是有些函数其原函数不能用初等函数表示出来，这样对应的定积分通常也不能用牛顿-莱布尼兹公式算出其精确值。而且，在自然科学与工程技术中有许多问题，被积函数并不是用具体函数表达式解析表示的，而经常是通过实验或测量方法用表格或图形给出的，这就导出了定积分的数值计算问题。我们将利用“分割取近似，作和求极限”这一定积分思想方法，来构造一些数值计算方法，并进行数值实验。实验一 定积分概念的深化达布和设函数 在区间 上有界。考虑将将区间 任意分割成 个子区间 （ ）的分法 ，设 在子区间 上的上、下确界分别为 ，称 为 在子区间 上的振幅，和式分别称为 关于该分割 的达布（Darboux）大和与达布小和。由定义可知，函数 对应于同一分割 的积分和有无穷多个，但达布大和与达布小和却都各只有一个。当 在区间 上不连续时，达布和不一定是积分和，但它们都与积分和有着密切的联系，容易知道对于同一分割 ，有.可以证明 在区间 上可积的充分必要条件是现在假定 在区间 上非负连续，那么达布大和 在几何上就表示在子区间 上以 为高所做的 个小矩形构成的阶梯形的面积；达布小和 表示在子区间 上以 为高所做的 个小矩形构成的阶梯形的面积，它们的差就是这两个阶梯形面积之差。由于函数 在区间 上可积，所以当 ，即当区间 被无限细分时，这两个阶梯形面积都趋于该曲边梯形的面积，从而这两个阶梯形面积之差为零，即.当考虑对区间 进行 等分时，我们有相应地将 、 分别记作 和 .特别，如果 在区间 上单调增加，那么达布小和就是左和，达布大和就是右和；如果 在区间 上单调减少，那么达布大和就是左和，达布小和就是右和，即数值实验1对区间 上作 等分，观察 在 上的达布大和与达布小和之差 随 增加时的变化趋势。 Mathematica 程序（ch1-ex1.nb）实验过程：(1) 改变分割次数，观察；（2）改变被积函数观察实验结果分析与理解：从实验看出，对于函数 ，它在 上的达布大和与达布小和之差 随 增加而趋于0. 达布大和与达布小和分别趋于曲边三角形的面积。实验二 定积分数值计算方法近似计算如果 在区间 上可积，那么我们已经知道用它的左和或右和来逼近它，我们称之为矩形求积公式。当 越大，逼近的精度越高。根据上述求积公式当 为增函数时， ，当 为减函数时， ，我们甚至知道什么时候左和及右和给出的是过剩的近似值还是不足的近似值。从上面的数值实验例子可以看到，当 =2时，左和给出了一个相当差的不足近似值，而右和也只给出了一个相当差的过剩近似值。当然，当 充分大时，它们都能给出好的近似值。但是，在给定 的条件下，我们如何修改计算求积公式，使本例中左和与右和产生的不足与过剩相互抵消，提高计算的精度？一个办法是根据单调函数的特点，使用中点值，得到如下中点求积公式；另一办法是取左和与右和的平均值，得到如下梯形求积公式.数值实验2 在给定分割数 的条件下，观察使用左求积公式（左和）、右求积公式（右和）、中点求积公式、梯形求积公式近似计算定积分 的值的精度情况。Mathematica 程序（ch1-ex2.nb）实验过程：(1) 改变分割次数，观察；（2）改变被积函数观察实验结果分析与理解IntegrateValue= 2.66666666666666667从实验中，我们看到，对于给定 的条件下，使用左求积公式（左和）、右求积公式（右和）、中点求积公式、梯形求积公式近似计算定积分 的值时，中点公式具有最好的精度。随着 的增加，它们的精度也相应提高。实验三 更高的精度要求与收敛速度对误差的了解当我们计算一个近似值时，总会涉及到误差，即准确的答案与近似值之差。我们从来不知道准确的误差，假如知道，也就知道准确的答案了。因此，我们有必要对误差有好的了解。记 ，其中 是定积分 的积分和，它是定积分 精确值的一个近似值， 称为误差。显然，误差越小，近似值越接近精确值，这时，我们说精度越高。这里，我们通过实验来了解如何估计误差界限以及怎样使误差变小的方法。数值实验3 使用左求积公式（左和）、右求积公式（右和）、中点求积公式、梯形求积公式近似计算定积分 ，观察当分割数 依次增加10倍或100倍时误差的变化情况。在观察过程中，注意各近似值中小数点后有几位相同。继续增大 ，直到我们希望的位数停止变化，我们称之为稳定。最令人感兴趣的是误差不是随机的，而是随 增大按一定规律变化。Mathematica 程序（ch1-ex3.nb）实验过程：(1) 改变分割次数的倍数，观察小数点后数字的变化；（2）改变被积函数观察实验结果对实验结果的观察，我们能得到如下事实：（1） 左、右求积公式所致误差具有相反的符号，但在数值上近乎相等。这是因为，函数 在 上单调增加，左和总是不足近似值，右和总是过剩近似值。而且，因为每个子区间长度很小时，连续函数 在每个子区间上几乎是一条直线，那么左和与右和的误差几乎相等。（2） 中点求积公式与梯形求积公式能产生更好的近似。因为它们较好地消除了左和与右和所致的不足误差与过剩误差。比如，梯形求积公式所致误差正好是左、右求积公式所致误差的平均值。（3） 对左求积公式与右求积公式而言，每增加一个小数位的精度， 大约需要增大10倍，即大约需要增加10倍的工作量。对应地， 增大10倍，使用中点求积公式和梯形求积公式大约能增加两个小数位的精度。因此，矩形求积公式的误差大约正比于 ，中点求积公式和梯形求积公式大约正比于 。从这种意义上，中点求积公式和梯形求积公式具有更快的收敛速度。一般地，如果某求积公式给出定积分精确值 的一个近似值 ，且存在正数 ，使得（非零常数）那么，称该求积公式是 阶收敛的。特别，当 时，称该求积公式具有线性的收敛速度；当 或 时，称该求积公式具有超线性的收敛速度。一般认为，一个二阶收敛的求积公式具有快的收敛速度。可以证明矩形求积公式具有线性的收敛速度，中点求积公式和梯形求积公式具有二阶收敛速度。定理 设 在区间 上具有连续的二阶导数，那么梯形求积公式是二阶收敛的。其中 证明 在小区间 上，梯形求积公式用连接两端点 、 的直线段 近似代替该小区间上的曲线弧 。易知称 为 的一阶拉格朗日插值多项式或线性插值函数。记 ，称 为插值余项，那么 ，并可设. 任取 ，作辅助函数 ，易知 满足，反复应用罗尔定理可知，至少存在一点 ，使得 ，注意到 ，那么.从而我们得到， 于是梯形求积公式的绝对误差可用给出，显然进一步，由于 在 上连续，记 ，那么我们就得到了梯形求积公式的误差估计式利用这一求积公式，我们得到如下几点认识：（1） 当 时，梯形求积公式的误差 ，这说明梯形求积公式是数值稳定的。（2） 梯形求积公式的误差 是 阶的，或者说梯形求积公式是二阶收敛的，这说明梯形求积公式有较快的收敛速度。（3） 利用该求积公式我们能确定适当的分割次数 来满足给定的精度要求。（4） 误差依赖被积函数。从该求积公式可以看出，较小的 产生较小的误差，说明 的二阶导数对梯形求积公式的误差有较大的影响。因为 决定曲线的曲率，因此曲线越歪曲，梯形求积公式的误差越大，曲线越平坦，梯形求积公式的误差越小。这在几何上是非常清晰的，因为梯形求积公式是使用直线段近似代替曲线段，当曲线曲率较小时，在一个小区间上的一段曲线近乎直线。实验四 辛普森求积公式及应用细心观察上面的实验，还可以看出梯形求积公式与中点求积公式的误差符号相反，且前者约为后者的两倍。这样，我们就会想到利用这两个公式的加权平均数将得到更小的误差。这一公式称为辛普森求积公式。下面我们从另一角度来阐述辛普森求积公式。我们知道，矩形公式、中点公式在每个子区间上用常数逼近，梯形公式在每个子区间上用线性函数逼近。如果我们在每个子区间上用二次函数逼近，即用抛物线代替原曲线，就得到辛普森求积公式。由于二次函数含三个参数，每段要用相邻两个小区间端点的三个函数值，因此要将区间 分成 个子区间。在第 段的两个小区间上用三个节点 、 、 作二次插值函数 ，那么有将各段相加，得到辛普森求积公式可以证明，如果 有连续的四阶导数，那么辛普森求积公式是四阶收敛的。所以辛普森求积公式有更高的精度和更快的收敛速度。数值实验4 使用梯形求积公式和辛普森求积公式近似计算定积分 ，观察它们的精度对照。Mathematica 程序（ch1-ex4.nb）实验过程实验结果数值实验5 使用梯形求积公式和辛普森求积公式近似计算定积分 ，观察当分割数 增加5倍时误差的变化情况。Mathematica 程序（ch1-ex5.nb）实验过程 改变被积函数和积分区间，观察分割次数为2和20，10和100的精度变化实验结果数值实验6 将区间 二十等分，并将 在各分点处的函数值列成表，利用该数据表使用梯形求积公式和辛普森求积公式来计算定积分 的值，并与精确值比较。Mathematica 程序（ch1-ex6.nb）实验结果数值实验7 使用梯形求积公式和辛普森求积公式解决下列问题。问题1 某树干其周长随树高（距地面）而变化，下表给出了树高与周长的一些对应值：表8.1树高/m051015202530周长/m8764210假设树干的横截面都为圆形的，试估算树干的体积。Mathematica 程序（ch1-ex7.nb）（使用上面已经验证了的梯形求积公式和辛普森求积公式程序ch1-02-ex06.nb，只对数据部分作了适当修改）实验结果 思考题1 从几何的角度观察左、右求积公式的误差与被积函数的一阶导数有何依赖关系。并用分析方法证明在一定条件下，左、右求积公式具有线性收敛速度。2 证明课文中从两个角度得到的辛普森求积公式是一致的。3 有一种船，它的船体的宽度是由下表的数据给出的，在表中从左到右读表，给出的是在船的吃水线以下某一水平现内从船头到船尾0m，10m，60m各点处的的宽度，从上向下读出，给出的是在船头到船尾之间某点处在吃水以下场m，2m，4m，6m,8m各水平处船的宽度，试根据梯形求积公式和辛普森求积公式来估算船体位于吃水线以下部分的体积。船头船尾01020304050600281316171610吃水线以21481011108下的深度40346764(单位：m)6012343280011111