毕业论文excel在中学数学教学中的简单应用

昆 明 学 院 2012届毕业设计（论文）设计（论文）题目 Excel在中学数学教学中的简单应用 子课题题目 姓 名 杨国江 学 号 20081501145 所 属 系 数学系 专业班级 数学与应用数学2008级1班 指导教师 陈俊 2012 年 5 月摘 要在了解Excel软件的基础上，本文系统分析了Excel在中学数学教学函数和方程模块中的应用.介绍了绘制函数图象的基本方法、函数图象的基本变换及方程近似解的常用解法.第一章阐述了新课改背景下Excel在中学数学教学中的应用情况及其优点，第二章从步长法和应用法两个方面概括了Excel绘制函数图象的具体应用；在绘制函数图象的基础上，第三章详细分析了图像的对称、平移、翻折及伸缩变换；最后从求方程近似解的角度阐述Excel对一元方程及二元方程组的基本求解.应用于课堂，有利于学生直观了解知识的形成过程，对于培养学生的学习观念和知识的架构具有重要意义.关键词： Excel 函数图象 图象变换 图象绘制AbstractOn the basis of understanding of the Excel software, the paper systematically analyses the applications of Excel in secondary schools mathematics teaching on functions and equations module, including the basic functions of the image, the basic functions of image transformation and approximate equation solutions to common equations. The first chapter writes the advantages of Excel in the New Curriculum on the mathematics teaching, Chapter 2 outlines the specific application of the Excel on function images from the step method and application of law.In the draw function on the basis of the third chapter ,a detailed analysis of the symmetry of the image, pan, folding and telescopic transformation are discussed, Finally, from the view of approximate equation solution , the basic solutions of one variable equation and the dual variable equation are both givenKeywords：Excel Function image Image transformation 目 录第一章 EXCEL在中学数学教学中的应用背景及现状1第二章 EXCEL在函数图象绘制中的应用22.1 利用Excel绘制简单函数图象22.1.1 步长法绘制函数图象22.1.2 引用法绘制函数图象32.2 Excel中分段函数的图象绘制6第三章 EXCEL中函数图象的变换93.1 简单函数的图象基本变换93.2 Excel中动态作图的一些应用13第四章 EXCEL求解方程194.1 一元方程的求解19拖动法求方程194.1.2 “单变量求解”解一元方程204.2 Excel中方程组的求解21总 结23参考文献24谢 辞25第一章 Excel在中学数学教学中的应用背景及现状随着课程改革的逐步加深，“注重信息技术与数学课程的整合”已成为当前课程的设计、编写和实践的基本原则之一.Excel作为常用的办公软件，具有操作简便、内嵌函数、图表制作等功能.利用Excel的这些功能对中学数学进行辅助教学，改变数学教学模式，有利于活跃课堂学习气氛，提高学生学习兴趣和积极性.Excel中提供了不同的公式函数，这些公式函数应用于不同的领域，拥有不同的功能，正确应用这些函数和公式，可以提高运算速度和准确率.这些功能，使Excel成为中学函数教学的一个重要辅助工具.总之，Excel在中学教学中的应用还有很多，在接下来章节的内容中将会详细阐述.Excel广泛应用于财务、行政、金融、统计等领域，当前，Excel在中学数学教学中的应用面还比较狭窄，有待进一步在中学数学教学中推广使用.Excel软件是中学数学中理想的计算技术工具之一，它应用于中学数学教学具有众多优点. 入门容易.Excel和Word软件一样，都是Microsoft Office组件之一，功能全面，操作要求简单，易学易用，且通用性强，具有“所见即所得”的特点. 函数丰富.Excel提供了11类300多个函数，为统计预测分析和求解各类教学模型提供了极大的便利. 省时高效.在使用Excel时，借助Excel的“趋势填充”和“相对应用”功能，通过双击或拖动即可产生结构相同的公式或大量的数据，有效的减少了重复劳动.“列表、描点、连线”的过程，原理简单又易于操作使用，数据图表并存（数形结合），具有极强的现场可操作性和演示性，有利于师生的双边活动，形成积极互动的课堂教学氛围.Excel软件在中学数学教学中应用的优点还有很多，在这里只是简单列举.第二章 Excel在函数图象绘制中的应用2.1 利用Excel绘制简单函数图象2.1.1 步长法绘制函数图象Excel的图象绘制功能，能够快速准确的绘制出函数的图象，相较于传统的函数图象的方法描点法，Excel绘制函数图象不仅节省课堂时间，而且使学生迅速、形象获取图象信息的同时，加深对函数图象及其性质的理解.用Excel作图的基本思想是描点作图.例2-1 利用Excel绘制的图象.分析：由于Excel是利用描点法作图，我们可以在函数定义域区间内选取它的一个子区间，作函数在这个子区间上的图象.函数的定义域是实数集R，我们不妨取它的子区间-3,3作图.解 具体操作步骤如下：（1） 输入变量.打开一个新的Excel工作薄，在第一列的单元格A1，A2中分别输入-3,-2.9，选中这两个单元格后，按住鼠标左键向下拖动“填充柄”，只到鼠标旁出现填充值为3的提示为止.释放鼠标就完成自动填充.（2） “=2*A12+A1-3”,敲回车键后确认公式输入，然后拖B1填充柄或双击填充柄，就得到所有与第一列对应的函数值.（3） 绘制函数图象.同时选中A1和B1两列数据，选择“插入/图表”中的 “XY散点图/平滑线散点图”点击“完成”，就得到函数在区间-3,3上的函数图象（图2-1）.图2-1例2-1中，我们先在Excel工作薄中输入两个自变量的初始值-3和-2.9，再拖动填充柄得到一列自变量的取值，在这列取值中，后一个取值和前一个取值的差都是0.1，我们称0.1为这列数的步长.利用步长的性质绘制函数图象的方法叫做步长法.利用步长法做函数图象简单明了，容易理解，且实用范围广，可以普遍使用.任何一个具有解析表达式的函数，都可以用步长法绘制出函数图象来.因此，在对一些函数的初步了解时，可以通过上述方法对函数的图象以便于了解函数基本性质.2.1.2 引用法绘制函数图象所谓引用法，就是在A1内输入自变量的初始值，在A2内输入公式“=A1+步长”，利用Excel的相对引用功能，当拖曳A2的填充柄时，就可以得到一列按“步长”逐渐增大（步长大于零）或减小（步长小于零）的自变量的值，而函数值的处理与步长法中的处理方式一样.例2-2 用Excel作函数的图象.解 所给函数的定义域是0,+),不妨作函数在0,6上的图象.(1) 取步长为0.1，初始值为0，在单元格A1中输入0，在单元格A2中输入“”,敲击回车键，按住鼠标左键向下拖动单元格A2的填充柄，只到拖动到单元格出现6为止.(2) 在单元格B1中输入公式“=Sqrt(A1)+2”双击B1的填充柄,就得到所有与自变量相对应的函数值.(3) 光标置于数据区，在“插入/图表”命令中选择“XY散点图/无数据点平滑线散点图”，完成便得到函数在区间0,6上的图象（图2-2）.图2-2Excel除了绘制单个函数的图象外，还可以在一个坐标系中同时绘制几个函数的图象.这为观察、分析、比较和讨论函数图象的规律和性质提供了直观的背景.例2-3 在同一坐标系中，作函数，的函数图象.解（1）在Excel工作薄第一列中输入自变量的值，范围为-3,3，第二、三、四列分别计算相应的函数值.（2）选中四列数据，选择“插入/图表/XY散点图/无数据点平滑线散点图/完成”，便在同一坐标系中得到三个函数的图象（图2-3）.图2-3以上例子中，在绘制函数的图象时，无论是绘制单个函数图象还是多个函数图象，所取函数自变量的区间都是共同的.因此这种绘制方式具有一定的局限性.Excel除了能绘制共同定义域的函数图象外，还可以作不同定义域的函数的图象.例2-4 利用Excel在同一坐标系中绘制出函数和的图象.解 先绘制出函数的函数图象,再作的图象.（1） 在一、三（A列和C列）两列中分别输入两个函数自变量的取值，范围分别为-3,3和0.1,8,在第二和第四列分别计算出及对应的函数值.（2） 选中一、二列，选择“插入/图表/XY散点图/无数据点平滑线散点图/完成”，得到函数的图象.(3) 至于的图象，我们可以采用添加的形式，右键单击图表，选择“源数据”，在“源数据”对话框中选择“系列”标签，单击添加，在“X值”内和“Y值”内分别选中自变量的数据区域和函数值的数据区域，“确定”后就可以得到的图象（图2-4）.图2-4在例2-4中，由于指数函数和对数函数的定义域不同，只有先建立各个函数各自自变量的范围，再绘制出其中一个函数的图象，其他函数的图象就可以利用Excel图表的添加功能逐个添加，最终绘制出所有函数的图象.在Excel中，在需要绘制几个函数图象时，首先输入和计算出各个函数自变量及函数值，接下来绘制出一个函数的图象，其他的函数图象利用图表的添加功能逐个添加.Excel的这些功能为我们作函数图象提供了巨大的方便.2.2 Excel中分段函数的图象绘制Excel提供了具有逻辑功能的函数“If（）”.If函数在Excel中有许多应用，而绘制分段函数的图象就要用到If函数的逻辑功能，由于分段函数在定义域的不同子集上的表达式不同，借助于If函数的逻辑功能，就可以绘制分段函数的图象.的图象，绘制时假设在A1中输入的值，在B1中计算相应的函数值.则在单元格A1中应该输入“=If（A1=0，2*A1，A12）”.逻辑函数“=If（A1=0，2*A1，A12）”表示的意义是：如果“A1=0”成立，则函数值为2A1，否则函数值为A12.在A1内输入不同的取值，在B1内就得到相应的函数值.例2-5 作函数 的图象.解 作函数在-4,3上的图象(1) 在Excel工作薄的第一列A1中输入自变量取值.在A1和A2中分别输入-4和-3.95，选中两个单元格，拖动填充柄只到出现3为止.(2) “If(A1=-2,-2*A1-4,If(A12,Sqrt(A1+2),2（x-1）”,回车就可以得到对应函数值.(3) “插入/图表/XY散点图/无数据点平滑线散点图/完成”就得到分段函数在-4,3上的图象(图2-5).图2-5从图上可以看出，分段函数在(,-2)上单调递减，在时取得最小值0；在(-2,)上单调递增且函数图象是连续的.例子2-5中函数的图象是连续函数图象，有时候需要绘制的函数图象不是连续的，这是我们就需要用到其他的逻辑函数，Excel中的逻辑函数共有5个，分别是If(逻辑判断)、And（且）、Or（或）、Not（非）、True（真）、False（假）.例2-6 作函数的图象.解 我们作函数在它的定义域的子集0,4上的函数图象.（1） 在Excel工作薄中输入自变量的取值，在第一列A1中输入0，在A2中输入0.1，选中两个单元格拖动填充柄只到填充值4为止.（2） “If（And(A1=2),1-2*A1,A1+1）”，按回车键就得到函数值，双击B1的填充柄，记得到一系列对应自变量的函数值.（3） “插入/图表/XY散点图/无数据点平滑线散点图/完成”就得到分段函数图象（图2-6）.图2-6从图2-8中可以看出，函数在整个定义域上的图象是间断的，其中在（，2）上是递增的，在2,3上是孤立的一条线段，而在（3，）也是递增的.有些函数的图象是间断的，在用Excel绘制这些函数图象时，需要把Excel中的五个逻辑函数结合起来使用，这样就能更方便的绘制出所需要的函数图象.第三章 Excel中函数图象的变换3.1 简单函数的图象基本变换Excel除了绘制函数图象，还可以进行函数的基本变换.函数图象的基本变换主要是指平移、对称、翻折、伸缩变换.例3-1 由函数的图象，作出下列函数的图象(). ； ； ； 解的图象 -3,6,第二、三四列分别计算,的值.（2） 先作出的图象.选中第一、二列选择“插入/图表/XY散点图/无数据点平滑线散点图/完成”就得到的图象.（3） 复制第一张图表，选择“数据源/系列/添加”分别将第一、四列作为、的值，确定就添加了的图象，同理，我们可以通过同样的方法得到的图象（图3-1）.图3-1其他函数的图象可分别根据第三步的方法绘制出来.上面四个小方块图中，按左右上下顺序分别是、和图象.其中四个图中的图象都在，其他图象分别是变换得到的图象.2. 作的函数图象复制中的Excel工作表，Excel中的绝对值是“ABS”，在计算相应函数值时，在C2、D2中分别输入“=ABS（B2）”“=ABS(A2)2-3*ABS(A2)+1”，单击回车键并双击C2、D2的填充柄，就得到对应函数值，选择“插入/图表/XY散点图/无数据点平滑线散点图”，绘制出函数的图象.图3-2图3-2从左到右表示的是的翻折变换.3. 作的函数图象由于所做函数中含有参数，因此在作函数图象时不妨利用动态作图，使函数图象显得更直观.所作步骤可以分为四步：（1） 在A列中是自变量的取值，在第二列（B列）中计算出的函数值，分别在第三列、第四列（即C列、D列）中计算和的函数值.（2） 用E2表示参数，在C2、D2中分别输入公式“=B2+E$2”和“=(A2+E$2)2-3*(A2+E$2)+1”，双击C2、D2的填充柄.（3） 作动态图象时，需要使用滚动条，选择“视图/控件工具箱/滚动条”，在工作表中拖出适当大小的滚动条，在滚动条属性框中，将LinkedCell设为E3，Max设为80.（4） 由于E3是参数的取值，在Excel不可能考察的无限取值的情况，不妨设-2,2,用公式“E3/20-2”表示，在E2中输入公式“E3/20-2”，拖动滚动条就可以观察函数变化的情况.图3-34. 作的图象是的伸缩变换，通过的不同取值，可以得到不同的函数图象.因此利用作动态示意图，可以更好的显示函数变换的动态效果.复制上一步的工作表，分别将C2、D2的公式改为“=B2*E$2”和“=(A2*E$2)2-3*(A2*E$2)+1”，双击填充柄，拖动滚动条就可以观察图象的动态效果（图3-4）.图3-4观察图象在-2,2的动态效果，不难发现当0时，函数图象则越来越向内靠拢.上例中分别是函数的图象关于轴，轴及原点的对称变换得到，的函数图象；中是图象翻折变换得到与的函数图象；而则是的平移变换,；是的伸缩变换：，,这些变换都是中学中函数重要的图象变换.Excel提供的图象变换功能，操作简单方便、功能实用，图象直观，把书本上较为抽象的变换用图象表示出来.在函数的图象应用中具有重要作用.3.2 Excel中动态作图的一些应用动态作图是Excel提供的重要功能，在涉及函数含参量的一些问题中具有重要作用.如含有参数的函数解析式的图象的绘制，以及含参数解析式求最值等问题，如果能把函数的图象变化过程动态表示出来，有助于直观的了解函数，掌握函数的性质.例3-2 求函数在区间-1,2上的最大值和最小值.分析：二次函数的解析式含有参数，要求它在区间-1,2上的最大值和最小值，需要对参数进行分类讨论，因此可以利用函数的图象进行观察，有利于对参数进行讨论.解的值，在第二列中计算出对应函数值.“插入/图象/XY散点图/无数据平滑线散点图”单击完成就得到函数图象.，；同时右边界线的两个端点坐标，选择在原图象中将上述数据添加上.，不妨限定，在单元格C2中输入公式“C3/10-5”，由的取值范围限制C3单元格中的数值属于，输入对称轴的两个端点坐标（C2/2,-5）,（C2/2,9），在函数的图象中选择“源数据/系列/添加”就可以添加对称轴的图象. （1） （2）图3-5拖动滚动条，观察图象的变化特点，可以看出求最小值要对对称轴在区间左侧、区间内、右侧这三种不同情形讨论；而求最大值，则当对称轴位于内时，还要看对称轴离哪一侧的边界线更远，先对图3-5中对称轴在两边界线外的情况进行讨论：当-1时，即2，即4时，函数图象在区间-1,2上单调递减，此时函数在处取得最小值，在处取得最大值；即，（图3-5（2）.当时，即时，函数图象在-1，2单调递增，此时函数在处取得最大值，在处取得最小值，则，+1（图3-6（1）.当，即时，函数在区间-1，2上单调递减，此时函数在处取得最大值，在处取得最小值，则，（图3-6（2）. （1） （2） 图3-6二次函数的对称轴为，则这个二次函数在闭区间上的最大值和最小值一定在，或之中取得.图象中增添对称轴和左右边界线，可以使演示更生动，观察更方便，结果更清晰，在Excel中，图象的背景的设置，边框及线型等形式是多样化的，可以根据图象的需要作出调整.在含参变量的函数中，可以作出函数的动态图，拖动滚动条的变化控制参数的变化，定位到关键的位置（如本例中的区间的两端和中点），对解出题的答案具有重要作用.动态作图在动区间上也有应用，如下例.例3-3 试讨论函数与（0且）图象的交点. 分析：函数与的图象关于1时，两个图象的交点容易得出，当01是的图象.（1） 输入数据.在A列中输入自变量取值，自变量的初始值为-2，末尾值是8，在B2，C2中分别输入“=D$2A2”、“=Log(A2,D$2)”(D2为含参单元格，输入不等于1的一个初值)，选中两个单元格后，双击填充柄就得到函数值.（2） 作图象.除去不符合对数函数定义的点-2,0，选中第一、二、三列，按“图表/XY散点图/无数据点平滑线散点图/完成”作出函数与的图象.（3） “视图/工具栏/控件工具栏/滚动条”拉出滚动条，在D2内输入“=D3/100”. （1） （2） （3）图3-7拖动滚动条，观察两个函数图象的变化趋势，当参数时，两个函数图象只有一个交点（图3-7（1）.当时，两个函数图象没有交点.当时，两函数图象有两个交点.当时，两个函数图象的横坐标在（0,1）之内，因此只需考察（0,1）时的函数图象即可.（1） （0,1）时的图象，故设的初始值为0.01，末值为1，以D2为含参单元格，在B2、C2中分别输入“=D$2A2”“=Log(A2,D$2)”,选中两个单元格后双击填充柄，作出两个函数的图象.（2） 设置滚动条.以D2为含参单元格，在D2中输入“D3/1000”.得到函数的动态图象. 图3-8-1 图3-8-2 通过观察函数图象的动态变化，可以看出，两个函数图象在（0,1）内的交点情况可能有两种，即图3-8-1中所示的一个交点和图3-8-2中的两个交点.第四章 Excel求解方程方程是中学数学中的一个基本内容，它的重点是各类方程（组）的解法，Excel在中学数学教学中除了具有各种作图功能及统计图表功能外，还能对一些方程（组）进行求近似解，本章将对Excel求解方程的一些方法进行系统的阐述.4.1 一元方程的求解利用Excel求一元方程近似解主要有两种方法，分别是拖动法和单变量求解.用拖动法求方程的近似解，先利用Excel作出的图象，通过观察判断图象与轴的交点位置，估计的解的范围，根据近似要求调整步长值，拖动填充柄，观察函数值的变化，若函数值发生变号，则方程的近似解找到.例4-1 求方程的近似解（精确到0.001）.解 （1）利用“步长法”作出函数的图象，观察图象与轴交点个数.图4-1观察图4-1可知，函数与轴只有一个交点，则原方程只有一个解，且这个解的范围在区间（1.2,1.4）之间.（2）另选一列，如H列，在H1、H2中分别输入1.2，1.2001，选中两个单元格拖动填充柄到1.4为止，在第I列中输入函数“=H33-H1-1”,双击I1填充柄，观察到1.3247与1.3248之间出现异号，则原方程的解在这两个数之间，因此原方程的近似解为.拖动法在解一元方程时，如果方程的解的精度要求不高，那么拖动法是一种简明有效的方法，否则，拖动法就显得比较繁琐.4.1.2 “单变量求解”解一元方程解方程（为常数），就是观察变化到哪个值时，等于.因此在用Excel解一元方程时，利用甲单元格（可变单元格自变量）控制乙单元格（目标单元格函数值），当甲单元格的值变化到乙单元格所期望出现的值时，这个值就是所求的一个近似解.“单变量求解”的主要步骤是选定可变单元格和目标单元格.并在目标单元格中输入公式.例4-2 求方程的近似解（精确到0.0001）.解题步骤：（1） 分别把单元格A1，B1作为可变单元格和目标单元格，在B1内输入公式“=3*0.8A1-A1”.（2） 选择“工具/单变量求解”,显示“单变量求解”对话框，设置好可变单元格和目标单元格，在目标单元格中填入“2”，确定后可变单元格中出现一个值，这个值就是方程的解.图4-2由图4-2可知，函数是减函数，故原方程只有唯一解，故原方程的近似解为0.6152.运用“单变量求解”时，Excel至多给出一个实数解，因此在求解之前，先定性确定方程的解得个数或者是大致范围，然后通过“单变量求解”定量的求解.4.2 Excel中方程组的求解“规划求解”“规划求解”一般要设定可变单元格.可变单元格中的各未知数，约束单元格相当于方程组中个方程含有未知数的一边.例4-4 解方程组解 视A1，A2为可变单元格，分别表示，；B1，B2为约束单元格. 在A1,A2中分别输入“=7*A1+13*A2”、“=15*A1-4*A2”. 选择“工具/规划求解”，在显示的“规划求解参数”对话框中，第一栏“目标单元格”不填 ，第二栏“等于”也不填，在“可变单元格”栏选中区域A1:A2. 在“约束”栏的右侧单击“添加”，在添加约束对话框中输入约束条件“B1=10，B2=19”，单击确定. 单击“求解”，Excel开始执行规划求解.当规划求解找到一个解时，Excel显示“规划求解结果”对话框，此时可变单元格中的值即为方程组的解.原方程的解为，.“规划求解”在实数范围内进行求解，得到的通常都是近似解.如果“工具”菜单中没有“规划求解”命令，那么可按如下步骤操作添加：选择“工具/加载宏”添加.例4-5 求方程组的正数解.解 （1）视单元格A1，A2，A3分别是未知数，在单元格B1，B2，B3中分别输入“=A1*A1+A2*A2+A1*A2”、“=A2*A2+A3*A3+A2*A3”、“=A3*A3+A1*A1+A3*A1”.（2）选择“工具/规划求解”，“目标单元格”和“等于”栏不填，在可变单元格中输入A1：A3，同时添加约束条件，在“选项”中选定“假定非负”即规定了单元格A1，A2，A3的值非负.单击“求解”，即求得原方程的解是，.和传统的解法相比，Excel“规划求解”只是进行简单的机械操作，不需要特殊的技巧.总 结本文主要讨论了Excel软件在中学数学教学中的一些应用.介绍了在当前课改新形势下，Excel在中学数学教学中应用现状及优点，系统阐述了Excel在函数问题中的应用；包括绘制一般函数（二次函数、幂函数等）的图象；函数图象的平移、翻折、伸缩等变换问题，深入讨论了函数解析式中最值问题和含参问题的相关处理.最后分析了Excel对方程（组）的求解，包括对一元方程和多元方程的求解，详细介绍了“单变量求解”、“规划求解”等方法在解方程中的有效应用，本文既有较强的实用意义，为即将走了校门，踏上讲台的我们,提供了一定的借鉴与学习.参考文献1 黄日红.用Excel解方程组J.计算机光盘软件与应用.2010.14（40-41）2 王浩.Excel专业设计与分析.北京：中国青年出版社，20054 周敏，熊华.用Excel绘制函数平面曲线的研究J.西华师范大学学报，2009,30(3)：317-3205 平澄.用Excel解方程和得出数学模型的最优解J.电脑开发与利用.2002,15（9）：23256纪宏伟.基于Excel规划求解功能的函数最值问题的计算J.甘肃科技.2007（13）：1761777 Excel教学中的“分层学习”.刘本军.信息技术教育J.2004,3:3031.谢 辞走的最快的总是时间，来不及感叹，大学生活已近尾声，四年多的努力与付出，随着本次论文的完成，将要划下完美的句号.本论文设计是在陈俊老师的悉心指导和严格要求下业已完成，从课题选择到具体的写作过程，论文初稿与定稿无不凝聚着陈老师的心血和汗水，在我的毕业设计期间，陈老师为我提供了种种专业知识上的指导和一些富于创造性的建议，陈老师一丝不苟的作风，严谨求实的态度使我深受感动，没有这样的帮助、陈老师表示深深的感谢和崇高的敬意！在临近毕业之际，我还要借此机会向在这四年中给予我诸多教诲和帮助的各位老师表示由衷的谢意，感谢他们四年来的辛勤栽培.不积跬步何以至千里，各位任课老师认真负责，在他们的悉心帮助和支持下，我能够很好的掌握和运用专业知识，并在设计中得以体现，顺利完成毕业论文.同时，在论文写作过程中，我还参考了有关的书籍和论文，在这里一并向有关的作者表示谢意.我还要感谢同组的各位同学以及我的各位室友，在毕业设计的这段时间里，你们给了我很多的启发，提出了很多宝贵的意见，对于你们帮助和支持，在此我表示深深地感谢！