安徽省黄山市高三第一次质量检测一模数学理试题解析版

2019届安徽省黄山市高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题一、单选题1设集合，则（ ）A B C D【答案】C【解析】化简集合B，进而求交集即可得到结果.【详解】由题意可得，又 故选：C【点睛】本题考查交集的求法，解题时要认真审题，是基础题2已知复数，则的实部为( )A B C D【答案】B【解析】利用复数的运算法则化简复数z，即可得出的实部【详解】复数ziz的实部为0故选：B【点睛】本题考查了复数的运算法则及实部的概念，属于基础题3函数) 的部分图象如图所示，为了得到y=sin2x的图象，只需将的图象 ( )A向右平移个单位 B向右平移个单位C向左平移个单位 D向左平移个单位【答案】B【解析】由图象可以求出，当时，可以求出，从而求出函数的解析式，将的图象向右平移个单位可以得到，即可选出答案。【详解】由图象知，故，则，因为，所以，（）,解得，因为，所以，则的图象向右平移个单位可以得到，故答案为B.【点睛】本题考查了三角函数图象的性质，及图象的平移变换，属于基础题。4直线与轴的交点为,点把圆的直径分为两段，则较长一段比上较短一段的值等于 ( )A2 B3 C4 D5【答案】A【解析】先求出点坐标，然后求出点与圆心的距离，结合半径可以求出答案。【详解】令代入可得，圆心坐标为，则与圆心的距离为，半径为6，可知较长一段为8，较短一段4，则较长一段比上较短一段的值等于2。故答案为A.【点睛】本题考查了直线与圆的方程，圆的半径，圆心坐标，属于基础题。5某校高三（1）班共有48人，学号依次为1，2，3，48，现用系统抽样的办法抽取一个容量为6的样本.已知学号为3，11，19，35，43的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为（ ）A27 B26 C25 D24【答案】A【解析】试题分析：根据系统抽样的规则“等距离”抽取，也就抽取的号码差相等，根据抽出的序号可知学号之间的差为，所以在与之间还有，故选A.【考点】随机抽样.6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A B C D【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是高为4的三棱锥，由俯视图的特征及余弦定理可以求出底面三角形的边长，从而求出三棱锥的底面积，进而可以求出三棱锥的体积。【详解】由题意知该几何体是高为4的三棱锥，底面三角形三条边分别为6，14和，则，解得，则底面三角形的面积为，故三棱锥的体积为.故答案为B.【点睛】本题考查了三视图问题，三棱锥的体积，及解三角形知识，属于中档题。7在展开式中，含的项的系数是( )A36 B24 C36 D24【答案】D【解析】由，可知含的项有两部分，即，进而可以求出答案。【详解】由题意知，含的项有两部分，即，故系数为，故答案为D.【点睛】本题考查了二项式定理的运用，属于中档题。8已知，则的最小值是( )A2 B3 C4 D5【答案】D【解析】由题意知，运用基本不等式即可求出最小值。【详解】由题意知，因为，所以，则，（当且仅当，即时取“=”）故的最小值是5.故答案为D.【点睛】本题考查了基本不等式的运用，要注意“=”取得的条件，属于基础题。9已知实数满足，则的取值范围是 ( )A B C D【答案】A【解析】将转化为定点与动点间的斜率关系，求解即可。【详解】画出满足的可行域，如下图:由，解得，由解得，可看作定点与动点间的斜率，当动点P在时，取最小值为，当动点P在时，取最大值为，故，故答案为A.【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.10已知双曲线的左、右焦点分别，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，且,则双曲线的离心率为( )A B C D【答案】A【解析】由题意知，三角形为等边三角形，从而可以得到，即可求出离心率。【详解】由题意知，三角形为等边三角形，则，则，解得，故离心率为，答案为A.【点睛】本题考查了双曲线的离心率的求法，属于基础题。11定义域为的函数满足，则不等式的解为( )A B C D【答案】C【解析】由，构造函数，对其求导可知，所以函数是的单调递增函数，不等式可化为，由的单调性可知，解不等式即可得到答案。【详解】构造函数，则，则函数是的单调递增函数，对不等式的两端同时除以得，则，解得.故答案为C.【点睛】由，构造增函数，是本题的一个难点，需要学生在平常的学习中多积累这样的方法。12如图，在中，,为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为 ( )A B C D【答案】B【解析】设，由三角形的面积为，可得，由，三点共线可知，以所在直线为轴，以点为坐标原点，过点作的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，可以表示出的坐标，从而得到的表达式，进而求出最小值。【详解】设，则三角形的面积为，解得，由，且C，P，D三点共线，可知，即，故.以所在直线为轴，以点为坐标原点，过点作的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，则，则，则（当且仅当即时取“=”）.故的最小值为.【点睛】三点共线的一个向量性质：已知O、A、B、C是平面内的四点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在一对实数、，使，且.二、填空题13已知，则_.【答案】【解析】由，可以求出的值，由，可以得到答案。【详解】由题意知，则，解得，则.【点睛】本题考查了三角函数的化简，及二倍角的正切公式，属于基础题。14已知，则_.【答案】【解析】因为当时，可知，进而可以求出，代入解析式可求得答案。【详解】由题意知，则.【点睛】本题考查了分段函数的性质，属于中档题。15执行如图的程序框图，则输出的_ .【答案】11【解析】根据题意可知该程序运行过程中，时，判断框成立，即可选出答案。【详解】执行程序框图，可得：，则，判断框不成立，则，判断框不成立，则，判断框不成立，则，判断框不成立，则，判断框成立，输出.故答案为11.【点睛】本题考查了程序框图，属于基础题。16已知三棱锥，且均为等边三角形，二面角的平面角为60，则三棱锥外接球的表面积是_.【答案】【解析】取的中点为，连接，可知，在线段上取点，使得，则底面三角形的外接圆圆心为，在线段上取中点，连结，过点作的垂线交于点，则外接球的球心为点，利用，可以求出外接球的半径，进而得到答案。【详解】取的中点为，连接，由于均为等边三角形，可知，则为正三角形，边长，且所求外接球球心在平面上，在线段上取点，使得，则底面三角形的外接圆圆心为，在线段上取中点，连结，过点作的垂线交于点，则外接球的球心为点，在三角形中，则外接球的半径，三棱锥外接球的表面积是.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，属于中档题。三、解答题17已知数列且，.（）求数列的通项公式;（）记为数列的前项和，求数列的前项和.【答案】()().【解析】()由题意得，由累乘法得；（）先求出，进而得到，由裂项相消法求数列的前项和可得到答案。【详解】()由，得，所以 由累乘法:,，得，所以数列的通项公式为. ()由等差数列前项和公式得：，则， 数列的前项和为：.【点睛】本题考查了累乘法求通项公式，及裂项相消法求数列的前项和，属于中档题。182015年11月27日至28日，中共中央扶贫开发工作会议在北京召开，为确保到2020年所有贫困地区和贫困人口一道迈入全面小康社会. 黄山市深入学习贯彻习近平总书记关于扶贫开发工作的重要论述及系列指示精神，认真落实省委、省政府一系列决策部署，精准扶贫、精准施策，各项政策措施落到实处，脱贫攻坚各项工作顺利推进，成效明显.贫困户杨老汉就是扶贫政策受益人之一.据了解，为了帮助杨老汉早日脱贫，负责杨老汉家的扶贫队长、扶贫副队长和帮扶责任人经常到他家走访,其中扶贫队长每天到杨老汉家走访的概率为,扶贫副队长每天到杨老汉家走访的概率为,帮扶责任人每天到杨老汉家走访的概率为.（）求帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率；（）设扶贫队长、副队长、帮扶责任人三人某天到杨老汉家走访的人数为X,求X的分布列；（）杨老汉对三位帮扶人员非常满意，他对别人说:“他家平均每天至少有1人走访”.请问：他说的是真的吗？【答案】()()详见解析（）真的【解析】()由n次独立重复事件的概率公式得；()随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出概率，列出分布列即可；（）由分布列求出期望，与1比较大小即可判断真假。【详解】()设帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的事件为A， 则帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率为. （）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3. ；. 随机变量X的分布列为. X0123P（）,所以 所以杨老汉说的是真的。【点睛】本题考查了事件的概率，分布列及期望的求法，属于中档题。19如图，平面四边形中，,，将三角形沿翻折到三角形的位置，平面平面，为中点.（）求证：；（）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】()详见解析() 【解析】（）由题意为等边三角形，可以证明及，由平面平面，可知平面，从而，进而可以得到平面，即可证明；()以为坐标原点，分别为轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出和平面的法向量，由可以得到答案。【详解】（）由题意为等边三角形，则，在三角形中，,，由余弦定理可求得，即又平面平面，平面平面，平面平面 等边三角形中，为中点，则，且平面， （）以为坐标原点，分别为轴，轴建立空间直角坐标系，则， 设是平面的法向量，则， 取 所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查了直线、平面垂直的判定及其性质，考查了直线与平面所成角的求法，属于中档题。20已知点在抛物线上，且到抛物线焦点的距离为. 直线与抛物线交于两点，且线段的中点为.（）求直线的方程.（）点是直线上的动点，求的最小值.【答案】()x-y-1=0() 【解析】()由点到抛物线焦点的距离等于到准线的距离，得到，可以求出，即可得到抛物线的方程，然后利用点差法，根据直线与抛物线交于两点，且线段的中点为，可以求出斜率，从而得到直线方程；（）都在直线上，设，设，可以表示出，然后将直线与抛物线联立，可以得到关于x的一元二次方程，结合的表达式，可以求出最小值。【详解】解：（）抛物线的准线方程为 ,抛物线方程为 设, 直线的方程为即 （）都在直线上，则，设8分又当时，的最小值为【点睛】本题考查了直线与抛物线的综合问题，属于难题。21已知函数.（）设是的极值点，求的值；（）在（）的条件下，在定义域内恒成立，求的取值范围；（）当时，证明：.【答案】()1()2（）详见解析【解析】（）对函数求导，由题意知，可求出的值，经检验m=1符合题意；（）求出函数的单调性，进而求出最小值，令即可得到答案；（）由题意，当m2，x（-m，+）时，故只需证明当m=2时，进而分析函数单调性，求得，即可。【详解】解：（），x=0是f（x）的极值点，解得m=1经检验m=1符合题意. （）由（ ）可知，函数f（x）=ex-ln（x+1）+1，其定义域为（-1，+） 设g（x）=ex（x+1）-1，则g（x）=ex（x+1）+ex0，所以g（x）在（-1，+）上为增函数，又g（0）=0，所以当x0时，g（x）0，即f（x）0；当-1x0时，g（x）0，f（x）0所以f（x）在（-1，0）上为减函数；在（0，+）上为增函数；因此，的最小值为在定义域内恒成立,即 （）证明：要证，即.设,即证当m2，x（-m，+）时，故只需证明当m=2时，.当m=2时，函数在（2，+）上为增函数，且故在（2，+）上有唯一实数根，且（1，0）当时，当时，,从而当时，取得最小值 由，得，即，故综上，当m2时， 即m【点睛】本题考查了函数的求导，及函数的单调性的运用，属于难题。22已知平面直角坐标系，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线过点P(-1，2)，且倾斜角为，圆的极坐标方程为（）求圆的普通方程和直线的参数方程； （）设直线与圆交于M、N两点，求的值【答案】() 圆C的方程为：；直线l的方程为：（t为参数）（）【解析】()利用极坐标方程与直接坐标方程的转化方法，可求出圆的普通方程，由直线过点P(-1，2)，且倾斜角为，结合直线的参数方程的特点可写出答案；（）将直线的参数方程代入圆的方程，得到关于t的一元二次方程，可以得到答案。【详解】（）因为，则，所以圆的普通方程为，直线过点P(-1，2)，且倾斜角为，故参数方程为（为参数）（）将直线的参数方程代入圆的方程，得：，则，所以，即.【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线的参数方程的求法，及参数的含义，属于中档题。23已知函数 （）若，求不等式的解集；（）若函数有三个零点，求实数的取值范围【答案】() ；()【解析】（）分x2，2x2，x2三种情况求解；（）若函数有三个零点，只需与有三个交点即可.【详解】解：（）当时，,不等式的解集为.（）若函数有三个零点，只需与有三个交点即可，只需的两个分段点位于的两侧即可.,.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，函数与方程的思想，属于中档题