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课时作业3不等式、线性规划、合情推理时间：45分钟一、选择题1(2014四川卷)已知集合Ax|x2x20，集合B为整数集，则AB()A1,0,1,2B2，1,0,1C0,1 D1,0解析：Ax|1x2，AB1,0,1,2，选A.答案：A2若ab0，则下列不等式中一定成立的是()Aab B.Cab D.解析：取a2，b1，淘汰B和D；另外，函数f(x)x是(0，)上的增函数，但函数g(x)x在(0,1上递减，在1，)上递增，所以ab0时f(a)f(b)必定成立，但g(a)g(b)未必成立所以abab，故选A.答案：A3若不等式x2ax20在区间1,5上有解，则a的取值范围是()A. B.C(1，) D.解析：由a280，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根于是不等式在区间1,5上有解的充要条件是f(5)0，f(1)0，解得a，且a1，故a的取值范围为.答案：B4若a，bR且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()Aab2 B.C.2 Da2b22ab解析：ab0，0，0.由基本不等式得2，当且仅当，即ab时等号成立故选C.答案：C5已知一元二次不等式f(x)0的解集为()Ax|xlg2Bx|1xlg2Dx|xlg2解析：由已知条件得010x，解得xlglg2.答案：D6已知p3q32，求证pq2，用反证法证明时，可假设pq2；已知a，bR，|a|b|2，所以不正确；对于，其假设正确答案：D7已知正三角形内切圆的半径是其高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是()A正四面体的内切球的半径是其高的B正四面体的内切球的半径是其高的C正四面体的内切球的半径是其高的D正四面体的内切球的半径是其高的解析：原问题的解法为等面积法，即Sah3arrh，类比问题的解法应为等体积法，VSh4Srrh，即正四面体的内切球的半径是其高的，所以应选C.答案：C8(2014广东卷)若变量x，y满足约束条件且z2xy的最大值和最小值分别为m和n，则mn()A5 B6C7 D8解析：用图解法求出线性目标函数的最大值和最小值，再作差求解画出可行域，如图阴影部分所示由z2xy，得y2xz.由得A(1，1)由得B(2，1)当直线y2xz经过点A时，zmin2(1)13n.当直线y2xz经过点B时，zmax2213m，故mn6.答案：B9(2014安徽卷)x，y满足约束条件若zyax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为()A.或1 B2或C2或1 D2或1解析：作出约束条件满足的可行域，根据zyax取得最大值的最优解不唯一，通过数形结合分析求解如图，由yaxz知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a0时，要使zyax取得最大值的最优解不唯一，则a2；当a0时，要使zyax取得最大值的最优解不唯一，则a1.答案：D10设变量x，y满足约束条件则lg(y1)lgx的取值范围是()A0,12lg2 B1，C，lg2 Dlg2,12lg2解析：如图，作出不等式组确定的可行域，因为lg(y1)lgxlg，设t，显然，t的几何意义是可行域内的点P(x，y)与定点E(0，1)连线的斜率由图可知，P点与B点重合时，t取得最小值，P点与C点重合时，t取得最大值由解得即B(3,2)；由解得即C(2,4)故t的最小值为kBE1，t的最大值为kCE，所以t1，又函数ylgx为(0，)上的增函数，所以lgt0，lg，即lg(y1)lgx的取值范围为0，lg而lg12lg2，所以lg(y1)lgx的取值范围为0,12lg2故选A.答案：A11(2014西安五校联考)已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，则第60个“整数对”是()A(7,5) B(5,7)C(2,10) D(10,1)解析：依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n1，且第n组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有个“整数对”，注意到600，a0)在x3时取得最小值，则a_.解析：x0，a0，f(x)4x24，当且仅当4x(x0)，即x时f(x)取得最小值，由题意得3，a36.答案：3614若点(x，y)位于曲线y|x1|与y2所围成的封闭区域，则2xy的最小值为_解析：作出y|x1|与y2所围成的区域如下图所示，当z2xy过A(1,2)时，取得最小值4.答案：415已知x0，y0，xyx2y，若xym2恒成立，则实数m的最大值是_解析：xyx2y2，()220，2或0(舍去)，xy8，当且仅当x4，y2时取等号由题意知m28，即m10.答案：1016已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_解析：由题意知f(x)x2axb2b.f(x)的值域为0，)，b0，即b.f(x)2.又f(x)c，2c，即x2，f(8)，f(16)3.观察上述结果，按照上面规律，可推测f(128)_.解析：观察f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3可知，等式及不等式右边的数构成首项为，公差为的等差数列，故f(128)6.答案：18(2014皖南八校联考)已知实数x，y满足：则z的取值范围是_解析：由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z2的取值范围转化为点(x，y)与(1，1)所在直线的斜率加上2的取值范围，由图形知，A点坐标为(，1)，则点(1，1)与(，1)所在直线的斜率为22，点(0,0)与(1，1)所在直线的斜率为1，所以z的取值范围为(，124，)答案：(，124，)19已知O为坐标原点，点M的坐标为(2,1)，点N(x，y)的坐标x，y满足不等式组则的取值范围是_解析：依题意得2xy，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2xy0(图略)，平移直线2xy0过点(3,0)时，2xy取得最大值6，平移直线2xy0过点(0,1)时，2xy取得最小值1，故的取值范围为1,6答案：1,620(2014武汉调研)挪威数学家阿贝尔曾经根据阶梯形图形的两种不同分割(如图)，利用它们的面积关系发现了一个重要的恒等式阿贝尔公式：a1b1a2b2a3b3anbnL1(b1b2)L2(b2b3)L3(b3b4)Ln1(bn1bn)Lnbn，其中L1a1，则(1)L3_；(2)Ln_.解析：(1)分析两图可知，图(a)按列分割，图(b)按行分割图(b)中，第三行所对应矩形宽为(b3b4)，长为(a1a2a3a4a5)(a4a5)a1a2a3，其面积为(b3b4)(a1a2a3)，结合题中公式知，L3a1a2a3.(2)易知L2a1a2，L3a1a2a3，L4a1a2a3a4，归纳推理得，Lna1a2a3an.答案：(1)a1a2a3(2)a1a2a3an- 8 -
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