小学数学特殊问题(整理版附答案)

小学数学特殊问题（整理版）一、和差问题：已知两数的和及它们的差，求这两个数各是多少的应用题，叫做和差应用题，简称和差问题。和差问题的解题规律为：小数加上两数差就是大数，两数和加上两数差便是大数的2倍；大数减去两数差就是小数，两数和减去两数差是小数的2倍。因此，用两数和加上两数差，再除以2，就可求出其中的大数；用两数和减去两数差，再除以2，就可求出小数。公式：（和+差）2=大数 （和-差）2=小数例题：1.明明星期天上街买衣服，花75元买了一条裤子和一件上衣，已知上衣比裤子贵15元，明明买上衣花（ ）元解设：上衣x元，则裤子（x-15）元依题意可得：x+(x-15)=75 2x=90 X=45x-15=302. 在期末数学考试中，甲乙成绩之和为184分，乙丙成绩和为187分，丙丁成绩和为188，甲比丁多一分，问甲乙丙丁各得多少分解题思路：187-184=3分 丙比甲多三分188-187=1分 丁比乙多1分因为甲比丁多一分，则：甲比乙多2分，丙比乙多3+2=5分（184+2）2=93分 甲的分数93-2=91分 乙的分数91+5=96分 丙的分数91+1=92分 丁的分数 解设：乙x分，则甲（184-x）分，丙（187-x）分，丁为（188-187+x）分则：184-x-1=188-187+x2x=182x=91184-x=93187-x=96188-187+x=92答：甲93分，乙91分，丙96分，丁92分训练中心：1.小兰期末考试语文和数学平均分是96分，数学比语文多4分，问小兰语文（ ）分，数学（ ）分。2.学校做扫除，张娟和陈凡一共擦玻璃31块，又知张娟比陈凡少擦9块，张娟、陈凡各擦玻璃（ ）、（ ）块。3.甲筐内有苹果30千克，乙筐内有桔子若干千克，如果从乙筐取出12千克桔子，苹果就比桔子多12千克，乙筐原有桔子（ ）千克。4.今年弟弟16岁，哥哥20岁，当两人的年龄和是52时，弟弟（ ）岁。5.王老师买回83个球，其中篮球是足球的2倍，足球比排球多5个，这三种球各买了多少个？6.无线电一厂、二厂共有工人864人，为了照顾工人就近上班，从一厂调入二厂32名工人，这样一厂工人人数还比二厂多48人，一厂、二厂原来各有工人多少人？二、和倍问题已知两个数的和与两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题，我们通常叫做和倍问题。解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题规律，正确迅速地列式解答。公式：两数和倍数和=小数 小数倍数=大数 或 两数和小数=大数例题： 某校买了几支红铅笔和白铅笔，已知红铅笔和白铅笔的和是64支，红铅笔是白铅笔的3倍，求两种铅笔各几支。例题解说：“红铅笔是白铅笔的3倍”表示白铅笔是一倍数，红铅笔是三倍数。因此，我们可以把白铅笔设为一倍数：用x表示，那么红铅笔就是白铅笔的3倍，用3x表示，“红铅笔和白铅笔的和是64支”就是说很红铅笔的支数+白铅笔的支数=64支（总支数）解：设白铅笔为x（一倍数）支，那么红铅笔为3x支。x+3x=644x=64x=644x=16红铅笔：3x=316=48（支）答：白铅笔有16支，红铅笔有48支。训练中心：1. 三堆糖果共有105颗，其中第一堆糖果的数量是第二堆的3倍，而第三堆糖果的数量又比第二堆的2倍少3颗第三堆糖果有多少颗？2. 549是甲、乙、丙、丁4个数的和如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁数除以2以后，则4个数相等求4个数各是多少？（）3.有3条绳子，共长95米，第一条比第二条长7米，第二条比第三条长8米，问3条绳子各长多少米？4. 甲、乙、丙三个粮仓一共存有109吨粮食其中甲粮仓的粮食总量比乙粮仓的3倍多1吨，而乙粮仓的粮食总量则是丙粮仓的2倍问：甲粮仓比丙粮仓多存粮多少吨？三、差倍问题差倍问题就是已知两个数的差与两个数的倍数关系，求这两个数是多少的应用题。差倍问题的解题思路与和倍问题一样，先要在题目中找到1倍量，再画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量，然后求出另一个数，最后再写出验算和答题 。公式：两数之差（倍数-1）=小数 小数倍数=大数 或 小数+两数之差=大数例题：六（1）班与六（2）班原有图书的本数一样多，后来，六（1）班又买来新书100本，六（2）班从本班原有书中取出180本送给三年级同学。这时，六（1）班的图书是六（2）班所剩图书的3倍。求两班原有图书各多少本？例题分析：原来两个班的图书本数一样多，后来，六（1）班买进100本，六（2）班送出180本，这时，两个班相差280本。又知，这时六（1）班的图书是六（2）班所剩图书的3倍，则两班图书的相差数应是六（2）班所剩图书的（31）倍，这样，六（2）所剩图书的本数即可求得。随之，原有图书本数也可以求出来了。计算：（1）六（2）班所剩图书多少本？（180100）（31）=2802=140（本）（2）两个班原有图书各多少本？140180=320（本）答：两个班原有图书各320本。解设六（2）班所剩x本书依题意得 （3-1）x = 100+1802x = 280 x =140所以 140+180=320（本）答：两个班原有图书各320本。训练中心：1.第一粮仓存的小麦比第二粮仓多96吨。后来，从两仓各运出小麦30吨，所余小麦第一仓恰是第二仓的3倍。两仓原来各存小麦多少吨？2. 大水池里现在有水880立方米，小水池里现在有水200立方米。计划往两水池里注入同样多的水，使大水池的水量是小水池水量的3倍。求两水池各应注入多少立方米的水？3. 参加科技小组的人数，今年比去年多41人，今年的人数比去年的3倍少35人。两年各有多少人参加？四、植树问题1.植树问题是在一定的线路上，根据总路程、间隔长和棵数进行植树的问题。2.为使其更直观，用图示法来说明。树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。专题分析+公式：一、在线段上的植树问题可以分为以下三种情形。1、如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即：株数=段数+1=全长株距+1。2、如果植树线路只有一端要植树，那么植树的棵数和要分的段数相等，即：株数=段数=全长株距。3、如果植树线路的两端都不植树，那么植树的棵数比要分的段数少1，即：株数=段数1=全长株距-1。4、如果植树路线的两边与两端都植树，那么植树的棵数比要分的段数多1再乘二，即：株数=（段数+1）2。二、在封闭线路上植树，棵数与段数相等，即：株数=段数=全长株距。三、在正方形线路上植树，如果每个顶点都要植树。则株数=（每边的株数1）边数。例题：1. 长方形场地：一个长84米，宽54米的长方形苹果园中，苹果树的株距是2米，行距是3米这个苹果园共种苹果树多少棵？解法一：一行能种多少棵？842=42(棵)|这块地能种苹果树多少行？543=18(行)这块地共种苹果树多少棵？4218=756(棵)如果株距、行距的方向互换，结果相同：(843)(542)=2827=756(棵)解法二：这块地的面积是多少平方米？8454=4536(平方米)一棵苹果树占地多少平方米？23=6(平方米)这块地能种苹果树多少棵？45366=756(棵)2. 直线场地：在一条公路的两旁植树，每隔3米植一棵，植到头还剩3棵；每隔2.5米植一棵，植到头还缺少37棵，求这条公路的长度。解法一：（代数解法）设一共有x棵树【（x-3）/2-1】X3=【（x+37）/2-1】X2.5x=205公路长:【（205-3）/2-1】X3=300答:公路长度为300米解法二：（算术解法）思路：首先，我们在两边起点处各栽下一棵树，这两棵树与路长没有关系，以后每栽下一棵树，不论栽在哪一侧，植树的路线（不是路）就增加一个间距，为了简单起见，我们按单侧植树来考虑。当按3米的间距植树时，最后剩下3棵，也就是说植树的路线要比路长出3个间距，33=9米，当按2.5米的间距植树时，最后还缺37棵树，也就是说植树的路线比路短了37个间距，2.537=92.5米，两次相差9+92.5=101.5米，两次植树的间距相差是32.5=0.5米，据此可以求出树的棵数：（不包括起点的2棵）101.50.5=203（个）知道了树的棵数，就可以求出植树路线的长度了：3（2033）=600（米）或2.5（203+37）=600（米）因为是双侧植树，所以路长为：6002=300（米）综合算式为：3（33+2.537）（32.5）32=300（米）或2.5（33+2.537）（32.5）+372=300（米）（过程略）答：公路长度为300米。3. 圆形场地（难题）：有一个圆形花坛，绕它走一圈是120米。如果在花坛周围每隔6米栽一株丁香花，再在每相邻的两株丁香花之间等距离地栽2株月季花。可栽丁香花多少株？可栽月季花多少株？每2株紧相邻的月季花相距多少米解：根据棵数=全长间隔可求出栽丁香花的株数：1206=20（株）由于是在每相邻的2株丁香花之间栽2株月季花，丁香花的株数与丁香花之间的间隔数相等，因此，可栽月季花：220=40（株）由于2株丁香花之间的2株月季花是紧相邻的，而2株丁香花之间的距离被2株月季花分为3等份，因此紧相邻2株月季花之间距离为：63=2（米）答：可栽丁香花20株，可栽月季花40株，2株紧相邻月季花之间相距2米。训练中心：1.在一条长80米的小路旁种松树，每隔16米种一棵，两端都种，共可以种树多少棵？2. 在相隔50米的两座楼房之间种桃树，每隔5米种一棵，共可以种树多少棵？3. 一个正方形鱼塘的周长是1200米，在4个角上都种上树后，每条边上都有16棵树，求每棵树之间相距多少米？4. 小张要到金鹰大厦的18层去上班，一日因停电，他步行上楼。他从一层到6层用了100秒，如果用同样的速度，走到18层，还需要多少秒？（两种解法）五、盈亏问题盈亏问题就是把一定的总数，分配给一定的对象，由于每份数分法不同，导致分后结果有盈（多）有亏（少）的一种典型应用题。解题关键：解决盈亏问题，往往先用结果的相差数除以每份的相差数，求出对象的数量，进一步求出分配的总数。所以在讲解时，应引导学生牢牢抓住两种分法上总的相差数和每次相差数三年级要求：掌握三类基本题型及解题思路和方法四年级要求：掌握三类题型的变化题型的转化思路和转化方法（讲解时注意运用对比例子，对比引导学生进行条件转换）公式： （盈+亏）两次分配量之差=参加分配的份数（大盈-小盈）两次分配量之差=参加分配的份数 （大亏-小亏）两次分配量之差=参加分配的份数基本题型展示：1. 第一类：一盈一亏例1：阿姨给幼儿园小朋友分饼干.如果每人分3块，则多出16块饼干；如果每人分5块，那么就缺4块饼干.问有多少小朋友，有多少块饼干？分析：依题中条件，我们可知：第一种分法：每人3块，还剩16块第二种分法：每人5块，还少4块我们可以比较看出：由于第二种分法比第一种分法每人多分了2块，所以不仅把那剩下的16块分完，还少4块，总数上，第二次比第一次多16+4=20块，换句话说：每人多分2块，就得多分20块，我们就可以算出有多少人了，202=10（人），那总饼干数就是：103+16=46（块）或105-4=46（块）或可用方程解：设共有饼干x块则依题意得 （x-16）3=（x+4）5等价于 （x-16）5=（x+4）3去括号 5x-3x =80+12得 2x =92x =46所以幼儿园的小朋友有（x-16）3=（46-16）3=10答：有10个小朋友，46块饼干。2.第二类：二次都是盈例：阿姨给幼儿园小朋友分饼干.如果每人分3块，则多出16块饼干；如果每人分5块，那么就多4块饼干.问有多少小朋友，有多少块饼干？分析：依题中条件，我们可知：第一种分法：每人3块，还剩16块第二种分法：每人5块，还多4块我们可以比较看出：由于第二种分法比第一种分法每人多分了2块，所以饼干由剩下16块变成只剩下4块，总数上，第二次比第一次多16-4=12块，换句话说：每人多分2块，就得多分12块，我们就可以算出有多少人了，122=6人，那总饼干数就是：63+16=34或65+4=34或方程解： 设小朋友有x人则依题意得 3x+16=5x+4 2x =12 x =6所以饼干有 3x+16=36+16=34或 5x+4=56+4=34答：幼儿园有6位小朋友，34块饼干。3.第三类：二次都是亏例：阿姨给幼儿园小朋友分饼干.如果每人分3块，则少4块饼干；如果每人分5块，那么就少16块饼干.问有多少小朋友，有多少块饼干？分析：依题中条件，我们可知：第一种分法：每人3块，还少4块第二种分法：每人5块，还少16块我们可以比较看出：由于第二种分法比第一种分法每人多分了2块，所以饼干由少4块变成了少16块，总数上，第二次比第一次多16-4=12块，换句话说：每人多分2块，就得多分12块，我们就可以算出有多少人了，122=6人，那总饼干数就是：63-4=14或65-16=14或方程解：设有x个小朋友则依题意得3x-4=5x-162x=12x=6所以饼干有 3x-4=36-4=14或 5x-16=56-16=14答：幼儿园有6个小朋友，14块饼干。训练中心：1. 某校同学排队上操.如果每行站9人，则多37人；如果每行站12人，则少20人.一共有多少学生？（一盈一亏）2. 小明计划用若干天读完一本书，如果每天读18页，还剩120页；如果每天读22页，还剩下100页；小明计划几天读完？这本书共多少页？（二次都是亏）3. 同学们种树，如果每人种2棵，还有18棵没种；如果每人种5棵，还有3棵没种。问有多少学生共种多少棵树？（二次都是盈）4. （语言上的变化）小强由家里到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟走60米，就可以比上课时间提前2分钟到校.小强家到学校的路程是多少米？（1500）5. 同学去划船，如果每只船坐4人，则少1只船；如果每只船坐6人，则多出4只船，问同学们共多少人？租了几只船？6.（条件上的变化）学校进行大扫除，分配若干人擦玻璃，其中两人各擦4块，其余各擦5块，则余12块；若每人擦6块，则正好擦完，求擦玻璃的人数及玻璃的块数？7.老师给学生分苹果，如果每人分2个，还多30个，如果其中的12位小朋友每人分3个，剩下的每人分4个，正好分完，一共有多少个小朋友？有多少个苹果？六、相遇问题相遇问题是学生在掌握行程问题基本数量关系的基础上，理解相遇问题的运动特点、数量关系和解题思路，并能解答简单的相关问题。一般分为两个步骤：已知两物体的运动速度和相遇时间，求路程。一直两物体的运动速度和路程，求相遇时间。要求用方程解决相遇问题中求相遇时间的问题。旧知识复习：小华每分钟走65米，走了4分钟，一共走了多少米？答案：654=260（米） 这样列式的原因：路程=速度时间公式：路程和=速度和相遇时间 速度和=路程和相遇时间 相遇时间=路程和速度和例题展示：1已知小明每分钟走70米，小丽每分钟走56米，一天他们在路的两端同时出发，经过半小时后两人相遇，问这条路多长？解题思路：因为速度时间=路程，同时在两端出发到相遇的小明和小丽所用时间为半小时（即30分钟），从题意中看出小明和小丽走的路程相加就是这条公路的长度。所以：算术解得（70+56）30 =12630 =3780（米）答：这条公路一共3780米2甲乙两人分别从相距20千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，两人几小时后相遇？分析：相遇时间=路程和速度和 20（6+4）=2010=2（小时）答：两人2小时后相遇。或方程解 设两人x小时后相遇依题意得 （6+4）x=20 10x=20 x=2答：两人2小时后相遇。3甲乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲每小时行48千米，乙每小时行42千米，两车在离中点18千米处相遇，求AB两地间的距离？分析：“两车在离中点18千米处相遇”，由于甲的速度更快，说明他们相遇时，甲过了中点18千米，而乙离中点18千米，那甲比乙多走了18+18=36千米，一小时甲比乙多走48-42=6千米，我们就可以算出相遇时间：366=6小时，再依公式路程和=速度和相遇时间=（48+42）6=540千米或可方程解 设经过x小时后甲、乙相遇依题意得 （48-42）x=182 6x=36 x=6所以AB两地相距（48+42）6=540（米）答AB两地的距离是540米。4甲乙两人同时从A到B地，甲每分钟行250米，乙每分钟行90米，甲到达B地后立即返回A地，在离B地1200米处与乙相遇，A、B两地相距多少千米？分析：画图，从图中我们可以知道，甲比乙多走了2个1200，甲每分钟比乙多走250-90=160米，我们就可以求出总共走了多少时间：21200160=15分钟，那么A、B两地相距：25015-1200=2550米如图所示： AB也可设 两人共走了x分钟 甲： 依题意得（250-90）x=12002 乙： x=15 距离1200米相遇所以 25015-1200=2550 或 9015+1200=2550（米）=2.55(千米) 答：AB两地相距2.55千米。训练中心：1从北京到沈阳的铁路长738千米两列火车从两地同时相对开出，北京开出的火车，平均每小时行59千米；沈阳开出的火车，平均每小时行64千米两车开出后几小时相遇？2甲乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时行54千米，乙车每小时行53千米，经过5小时相遇，两地相距多远？3两个工程队合开一条670米的隧道，同时各从一端开凿第一队每天开12.6米，第二队每天开14.2米这个隧道要用多少天才能打通？打通时两队各开凿多少米？4甲乙两人同时从相距1395米的两地相对而行，9分钟相遇，已知甲每小时走69米，乙每分钟走多少米？.5甲乙两人同时从两地骑车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行10千米，两人在距中点5千米处相遇，求两地间的距离6甲乙两人同时从A到B地，甲每分钟行250米，乙每分钟行90米，甲到达B地后立即返回A地，在离B地3200米处与乙相遇，A、B两地相距多少千米？七、追及问题两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。公式：速度差（也叫追及距离）追及时间=追及路程 / 追及路程（快速慢速）追及时间 追及时间追及路程（快速慢速） / 追及路程速度差=追及时间(同向追及) 速度差=追及路程追及时间 【上面两条公式中任选一条记住】例题：1.好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？解：（1）劣马先走12天能走多少千米？（追及路程）7512900（千米） （2）好马几天追上劣马？ （追及时间） 900（12075）20（天） 答：好马20天能追上劣马。也可方程解：设好马x天能追上劣马已知 速度差追及时间=追及路程依题意得：（120-75）x=7512 45x =900 x=20答：好马20天能追上劣马。2小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。 解析：小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了（500200）米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。又知小明跑200米用40秒，则跑500米用40（500200）秒，则可求出小亮的速度。算术解：（500200）40（500200） 3001003（米）答：小亮的速度是每秒3米。方程解：设小亮的速度是每秒x米已知小明的速度是20040=5（米）依题意得（5-x）40（500200）=200 （5-x）100 =200 5-x =2 x =3答：小亮的速度是每秒3米。3一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。 解析：这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车（162）千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间。这个时间为 162（4840）4（小时）所以两站间的距离为 （4840）4352（千米） 答：甲乙两站的距离是352千米。（可用相遇问题的思路解题）或方程解如下：解：设经过x小时客车和货车相遇依题意得 （48-40）x=1628x=32x=4所以两站间的距离为 （48+40）x=884=352答：甲乙两站的距离是352千米。训练中心：1某校组织学生排队去春游，步行速度为每秒1米，队尾的王老师以每秒2.5米的速度赶到排头，然后立即返回队尾，共用10秒，求队伍的长度是多少米？ 2两列火车从甲乙两地同时相对开出,4小时后在距中点48千米的地方相遇，一直慢车是快车的5/7（慢车：快车=5:7），他们的速度分别是？甲乙相距？.3兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远？4.如图，在400米环形跑道上，A、B两点相距100米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒5米，乙每秒4米，每人跑100米都要停10秒，那么甲追上乙需要多少秒？5孙亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了1千米时，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。6一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。八、流水问题船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。公式：顺水行程=（船速 水速）顺水时间 逆水行程=（船速水速）逆水时间顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速水速 水速：（顺水速度逆水速度）2静水速度（船速)=（顺水速度+逆水速度）2（注：船速也叫静水速度）例题展示：1.一条船在静水中每小时划行4千米，一条河的水流速度是1.5千米。甲乙两镇分别在这条河的上下游，相距11千米。这条船从甲镇到乙镇需要几小时？从乙镇到甲镇需要几小时？分析与解答：从甲镇到乙镇是顺水行船，已知船在静水中的划行速度是每小时4千米，水流速度是1.5千米，由此可知船在顺水中的速度是4+1.5=5.5千米，又知道甲乙两镇的距离是11千米，故从甲镇到乙镇需行船115.5=2小时。从乙镇到甲镇是逆水行船，已知船在静水中的划行速度是每小时4千米，水流速度是1.5千米，由此可知船在逆水中的速度是4-1.5=2.5千米，又知道甲乙两镇的距离是11千米，故从甲镇到乙镇需行船112.5=4.4小时。所以：（1） 从甲镇到乙镇需要多少小时？11（4+1.5）=115.5=2（小时）（2） 从乙镇到甲镇需要多少小时？11（4-1.5）=112.5=4.4（小时）答：这条船从甲镇到乙镇需要2小时，从乙镇到甲镇需要4.4小时。2甲乙两地相距360千米。某船从甲地到乙地顺水18小时到达，一直水流每小时4千米，从甲地返回乙地需要多少小时？分析与解答：从条件已知甲乙的两地是360千米，顺水行驶的时间是18小时，由此可求出顺水速度是：36018=20千米，从条件还可知道水流速度是4千米，由此可求出逆水速度是20-42=12千米，即可求出逆水行驶时间。综合列式：360（36018-42）=360（20-8）=36012=30（小时）答：从乙地返回甲地需要30小时。训练中心：1一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行 28 千米 ，到乙地后，又逆水航行，回到甲地。逆水比顺水多行 2 小时，已知水速每小时 4 千米。求甲乙两地相距多少千米？.2两码头相距108千米，一艘客轮顺水行完全程需要10小时，逆水行完全程需要12小时。求这艘客轮的静水速度和水流速度。3AB两港相距120千米，甲乙两船从AB两港相向而行6小时后相遇。甲船顺水航行，甲船比乙船多行48千米，水速每小时1.5千米。求甲乙两船的静水速度。九、浓度问题在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂（水或其它液体）、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。公式：溶液的重量溶剂的重量溶质的重量 浓度溶质的重量溶液的重量100% 溶质的重量=溶液的重量浓度 溶液的重量=溶质的重量浓度 例题展示：1 爷爷有16%的糖水50克，（1）要把它稀释成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它变成30%的糖水，需加糖多少克？解：（1）需要加水多少克？5016%10%5030（克）（2）需要加糖多少克？50（116%）（130%）5010（克）答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。2 要把30%的糖水与15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克？解析：假设全用30%的糖水溶液，那么含糖量就会多出600（30%25%）30（克）这是因为30%的糖水多用了。于是，我们设想在保证总重量600克不变的情况下，用15%的溶液来“换掉”一部分30%的溶液。这样，每“换掉”100克，就会减少糖100（30%15%）15（克）所以需要“换掉”30%的溶液（即“换上”15%的溶液）100（3015）200（克）由此可知，需要15%的溶液200克；需要30%的溶液600200400（克）答：需要15%的糖水溶液200克，需要30%的糖水400克。训练中心：1有浓度为7的盐水600克，要使盐水的浓度加大到10，需要加盐多少克？2有含糖6的糖水900克，要使其含糖量加大到10，需加糖多少克？（要用两种方法解决这个问题。）3甲容器有浓度为12%的盐水500克，乙容器有500克水。把甲中盐水的一半倒入乙中，混合后再把乙中现有盐水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中，使甲乙两容器中的盐水同样多。求最后乙中盐水的百分比浓度。4有40克食盐溶液，若加入200千克水，它的浓度就减少10%，这种溶液原来的浓度是多少？十、利润与折扣问题工厂和商店有时减价出售商品，通常我们把它称为“打折扣”出售，几折就是百分之几十。利润问题也是一种常见的百分数应用题，商店出售商品总是期望获得利润，一般情况下，商品从厂家购进的价格称为本价，商家在成本价的基础上提高价格出售，所赚的钱称为利润，利润与成本的百分比称之为利润率。期望利润=成本价期望利润率。公式：利润=售出价-成本利润率=利润成本100%=（售出价成本-1）100%涨跌金额=本金涨跌百分比折扣=实际售价原售价100%（折扣1）利息=本金利率时间税后利息=本金利率时间（1-20%）例题展示：1 某商店将某种DVD按进价提高35%后，打出“九折优惠酬宾，外送50元出租车费”的广告，结果每台仍旧获利208元，那么每台DVD的进价是多少元？（B级）解：定价是进价的1+35%打九折后，实际售价是进价的135%90%=121.5%每台DVD的实际盈利：208+50=258（元）每台DVD的进价258（121.5%-1）=1200（元）答：每台DVD的进价是1200元2 一种服装，甲店比乙店的进货便宜10%甲店按照20%的利润定价，乙店按照15%的利润定价，甲店比乙店的出厂价便宜11.2元，问甲店的进货价是多少元？（B级）解析：设乙店的成本价为1，则（1+15%）是乙店的定价；（1-10%）（1+20%）是甲店的定价（1+15%）-（1-10%）（1+20%）=7%11.27%=160（元）160（1-10%）=144（元）答：甲店的进货价为144元。3 原来将一批水果按100%的利润定价出售，由于价格过高，无人购买，不得不按38%的利润重新定价，这样出售了其中的40%，此时因害怕剩余水果会变质，不得不再次降价，售出了全部水果。结果实际获得的总利润是原来利润的30.2%，那么第二次降价后的价格是原来定价的百分之几？（B级）.要求第二次降价后的价格是原来定价的百分之几，则需要求出第二次是按百分之几的利润定价。解：设第二次降价是按x%的利润定价的。（分析：38%40%是第一次降价所获得的利润的百分比，后面x%（1-40%）同理，两者相加即为结果实际获得的总利润与原来利润的百分比）38%40%x%（1-40%）=30.2%x% =25%（1+25%）（1+100%）=62.5%答：第二次降价后的价格是原来价格的62.5%训练中心：1某商品按每个7元的利润卖出13个的钱，与按每个11元的利润卖出12个的钱一样多。这种商品的进货价是每个多少元？2租用仓库堆放3吨货物，每月租金7000元。这些货物原计划要销售3个月，由于降低了价格，结果2个月就销售完了，由于节省了租仓库的租金，所以结算下来，反而比原计划多赚了1000元。问：每千克货物的价格降低了多少元？3商店进了一批钢笔，用零售价10元卖出20支与用零售价11元卖出15支的利润相同。这批钢笔的进货价每支多少元？4 商店以每双13元购进一批凉鞋，售价为14.8元，卖到还剩5双时，除去购进这批凉鞋的全部开销外还获利88元。问：这批凉鞋共多少双？训练中心 答案：一、1. 小兰语文98，数学942. 张娟擦11块，陈凡擦20块玻璃3. 乙筐桔子有30千克4. 弟弟24岁5. 解设：足球有x个，则篮球2x个，排球有（x-5）个依题意得：x+2x+（x-5）=83 4x-5 =834x =88x =22篮球：2x=222=44 排球：x-5=22-5=17答：王老师买了篮球44个，足球22个，排球17个。6.解：已知从一厂调入二厂32人后，一厂人数还比二厂多48人，则一厂原来人数比二厂多32+48=80人设一厂原有x名工人，则二厂原有工人（x-80）人依题意得 x+（x-80）=864 2x =944 x =472所以 x-80 =392答：一厂原来有工人472人，二厂原有工人392人。二、1.解设第二堆糖果共有x颗，则第一堆有3x颗，第三堆有（2x-3）颗依题意得 3x+x+（2x-3）=105去括号，得 6x-3 =105 6x =108 x =18所以2x-3=218-3=33 答：第三堆糖果有33颗。2. 解说：甲+2=乙-2=2丙=丁2，可以把其中三个数值转化成由另一个数值表示的形式，这道例题实际上可将甲、乙、丁转换成由丙表示的方程式，从而求解。解设丙为x，则甲数是（2x-2），乙数是（2x+2），丁数是4x，依题意得（2x-2）+（2x+2）+x+4x=549去括号，得 4x+x+4x=549 9x=549 X=61所以，甲数 2x-2=261-2=120 乙数 2x+2=261+2=124 丁数 4x=461=244答：甲、乙、丙、丁分别是120、124、61、2443. 解设第二条绳子长x米，则第一条绳子x+7米，第三条绳子长x-8米依题意得 （x+7）+x+（x-8）=95去括号，得 3x-1 =953x =96x =32所以 x+7=32+7=39 x-8=32-8=24答：第一、二、三条绳子依次是39米，32米，24米4. 解设丙粮仓的粮食总量有x吨，则乙粮仓有2x吨，甲粮仓有32x+1=6x+1吨依题意得 （6x+1）+2x+x=109去括号，得 9x+1 =1099x =108x =12所以 甲粮仓-丙粮仓=6x+1-x=5x+1=512+1=61答：甲粮仓比乙粮仓多存粮61吨。三、1.计算：（1）第二仓余下小麦多少吨？96（31）=48（吨）（2）第二仓原存小麦多少吨？48+30=78（吨）（3）第一仓原存小麦多少吨？78+96=174（吨）答：第一仓原存小麦174吨，第二仓原存小麦78吨或 解设第二仓余下小麦x吨，则第二仓原存小麦x+30吨，第一仓原存小麦（x+30）+96吨依题意得（3-1）x =96 2x =96 x =48所以 x+30=48+30=78 （x+30）+96=174答：第一仓原存小麦174吨，第二仓原存小麦78吨2.计算：（1）注入水以后小水池的水量：（880-200）（3-1）=6802=340（立方米）注入的水量：340-200=140（立方米）答：两水池各应注入140立方米的水。或 解设注入水后的小水池的水量为x立方米依题意得 （3-1）x=880-200 x =340所以 340-200=140（立方米）答：两水池各应注入140立方米的水。3.解设去年参加技术小组的人数为x，则今年的人数为（3x-35）依题意得（3-1）x-35=412x =76x =38所以 3x-35 =338-35=79答：去年有38人参加，今年有79人参加。四、1.解：80米中包含了多少段？8016=5（段）共可以种树多少棵？5+1=6（棵）答：共可以种树6棵.或 设一共可以种树x棵（x-1）16 =80 x-1 =5x =6答：共可以种树6棵.2.解：50米中包含了多少段？505=10（段）共可以种树多少棵？10-1=9（棵）答：共可以种树9棵.或 设一共可种x棵（x+1）5=50 x+1=10 x=9答：共可以种树9棵.3. 分析：沿正方形的四周种树，看似在封闭线路上植树。但由于四个角上都种上了树，是每边都种了16棵树，实际上是等同于在不封闭直线上种树，每边实际分成了（161）段。这样就可以用“边长（161）”求出棵距。当然，也可以用：“周长（1644）” 求出棵距。解1：12004（161）=20(米)解2：先算沿正方形一共有几棵树，再用周长除以树的棵数，即可得出棵距。1200（1644）=20(米)答：每棵树之间相距20米。4.解法一：每层楼梯需要的时间100（6-1）=20（秒）到18层需要的时间 （18-6）20=240（秒）解法二：设走到18层还需x秒则依题意得 x（18-6）=100（6-1） x12 =20 x =240答：用同样的速度走到18层还需240秒。五、1.解设操场学生站成x行则依题意得9x+37=12x-20 12x-9x=37+20 3x=57 x=19所以学生共有9x+37=919+37=208答：一共有208名学生。2. (120-100)（22-18）=204=5（天）185+120=210（页） 或 225+100=210（页）答：小明计划5天读完，这本书有210页。或方程解 设小明计划x天读完这本书依题意得 （22-18）x=120-100 4x =20 x =5所以18x+120=210 或22x+100+210答：小明计划5天读完，这本书有210页。3（18-3）（5-2） =153 =5（人）则25+18=28 或 55+3=28（棵）答：有5名学生工种28棵树。也可方程解 设 有x名学生依题意得 （5-2）x=18-3 3x=15 x=5所以 2x+18=28 或 5x+3=28答：有5个学生共种28棵树。4解析：因为每分钟多走（60-50）=10米则能比原来多走（503）+（602）=270（米），可见当时小强距离迟到还有27010=27分钟，所以小强家距离学校有60（27-2）=1500米。算术解：【（503）+（602）】（60-50） =（150+120）10 =27010 =27（分钟）所以小强加到学校的路程为：60（27-2） 或 50（27+3）=6025 = 5030=1500（米） = 1500（米）答：小强家到学校的路程是1500米。或者可以方程解（如下）解：设当时有x分钟才上课50（x+3）=60（x-2）50x+150 =60x-12060x-50x=150+120 10x=270 x=27则小强家距离学校：50（27+3）=1500 或 60（27-2）=1500答：小强家距离学校的路程为1500米。5解析：每只船多坐2人则一共可以比原来多坐28人，所以可以算出学生们租的船的只数，从而求出学生们的人数。算术解：【（46）+（14）】（6-4） =（24+4）2 =282 =14（只）则414+4=60（人） 或614-24=60（人）答：同学们共有60人，租了14只船。或可以方程解（如下）解：设船为x.依题意得4x+4=6x-246x-4x=24+4 2x=28 x=14所以学生共有 4x+4=414+4=60 或6x-24=614-24=60答：同学们共有60人，租了14只船。6解析：其中两人各擦4块，其余各擦5块，剩12块，每人各擦6块则全部擦完，两种分工虽有不同但玻璃块数没有变化，故可围绕玻璃的块数思考。解：设有x人擦玻璃依题意得 5x-10+20=6x6x-5x=10x=10所以玻璃一共有 6x=610=60或 （10-2）5+20=60答：一共有10人擦60块玻璃。7解析：同6题道理，在题意找出不变的量，围绕这个量找出一对等量关系。解：设一共有x个小朋友依题意得123+4（x-12）=2x+3036+4x-48 =2x+30 4x-2x=12+302x=42x=21所以 2x+30=221+30=72 或 123+4（x-12）=36+49=72答：一共有21个小朋友，有72个苹果。六、1解析：因为两列火车同时相对而行，相遇时两列火车总共走完了北京到沈阳全程铁路，另外两列火车的车速分别是59和64，换一种角度可把两列火车看成一列车速为59+64=123的火车行完北京到沈阳铁路全程，所得时间则为相遇时间。解：依题意得738（59+64） =738123 =6（小时）答：两车开出6小时后相遇。或方程解（如下）设两车开出x小时后相遇依题意得 59x+64x=738 可不写（59+64）x=738123x=738x=6答：两车开出6小时后相遇。2解：依题意得 （54+53）5=1075=535（米）答：两地相距535米。或方程解（如下）解设两地相距x米依题意得 x（53+54）=5 x107=5 x=1075 x=535答：两地相距535米。3算术解 670（12.6+14.2）=67026.8=25（天）第一队：12.625=315（米）第二队：14.225=355（米）或 670-315-355（米）答：这个隧道要用25天才能打通，打通时第一队开凿了315米，第二对开凿了355米。或 方程解（如下）解设这个隧道要用x天才能打通依题意得 （12.6+14.2）x=670 26.8x =670x =25则第一队：12.6x=12.625=315第二队：14.2x=14.225=355答：这个隧道要用25天才能打通，打通时第一队开凿了315米，第二对开凿了355米。4解析：与1题同理，甲乙相遇时两人共同走完1395米，用时9分钟，又已知甲每分钟走69米。算术解13959-69 =155-69=86（米）答：乙每分钟走86米。或可方程解（如下）解设乙每分钟走x米依题意得（69+x）9=1395 69+x=1395969+x=155x=