平均值广义积分课件

平均值广义积分3 34 46 6 函函数数的的平平均均值值如何求连续函数)x(f在a，b上的平均值呢？n个数n21y,y,y的算术平均值为.yn1yn1ii解：将b, a n 等分，当n很大时，每个子区间 x x,xiii的长度)n 2, 1,i ( nabxi很小，由于)x(f在b, a 上连续，在子区间 x x,xiii上的函数值差别不大，故可取)x(fi作为函数在该区间上的平均值的近似值，于是)x(f在a，b上的平均值的近似为一、函数的平均值一、函数的平均值平均值广义积分in1iin21x)x(fab1)x(f)x(f)x(f n1y当 n 愈大时，近似值的精确度愈高，当n时，in1iinn1iinx)x(fab1lim)x(fn1limy即 badx)x(fab1y。badx)x(fab1例 1.要求从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均速度。解：因为自由落体的速度为gtv ，gT21gt21T1dtgtT1vT02T 0 。平均值广义积分解：设电阻为 R，周期上功率的平均值（简称平均功率） 。功率 tRIiUPm22sin，功率在长度为一个周期的区间0，2上的平均值为RtRIRiUmsin则电路中的电压为20 222sin1tdtRIPm例 2.求纯电阻电路中交流电流tsinI) t ( im在 一个平均值广义积分 上式说明：纯纯电电阻阻电电路路中中正正弦弦交交流流电电的的平平均均功功率率等等于于电电流流、电电 压压 的的 峰峰 值值 乘乘 积积 的的 一一 半半 。20 222 sin1tdtRIPm20 2) 2cos1 (4 dttRIm20 2 2sin214 ttRIm.222mmmUIRI平均值广义积分二二 、 均均 方方 根根 如果一个直流电流I消耗在电阻R上的功率，正好是交流电流) t ( i在一个周期T内消耗在电阻R上的平均功率，则称I是) t ( i的有效值，记为有效I。T 0 22Rdt) t (iT1RI， T02dt) t (iT1I，正弦交流电tsinI) t ( im的有效值mmT02I707. 02Idt) t (iT1I有效。平均值广义积分类似地可定义交流电压) t (Ri) t (u的有效值有效U， mmT02U707. 02Udt) t (uT1U有效。 在数学上称b a 2dx)x(fab1为函数)x(f在b, a 上 的均方根。交流电流、电压的有效值就是它们在一个周期上的均方根。日常供照明用的交流电压t 100sin311) t (u，其有效值)V(2202311U有效。平均值广义积分3.53.5 反常积分反常积分一一、常常义义积积分分与与广广义义积积分分 若badx)x(f满足条件：（1）a，b是有限闭区间；（2）)x(f是 a，b上的有界函数。 则称此积分为常常义义积积分分。若两个条件之一不被满足，则此积分为广广义义积积分分。平均值广义积分一一、无无穷穷区区间间的的广广义义积积分分例 1求曲线 y2x1，x轴及直线1x 右边所围成的“开口曲边梯形”的面积S。 解：1b ，则在1,b上曲线2x1y 下的曲边梯形的面积为：,b11x1dxx1Sb1b 1 2b. 1)b11 (limdxx1limbb 1 2b而oxy2x1y 1bbS显然，b 越大，bS就越接近 S，平均值广义积分此极限值就是“开口曲边梯形”的面积。同时，将此极限理解为函数 y2x1在1，+)上的定积分，记作dxx1 1 2blimdxx1b 1 2，称为函数 y2x1在1，+)上的广义积分。平均值广义积分定定义义 1 1：设函数 f(x)在区间a，+)上连续，取ab ， 如果极限dx)x(flimb a b存在，则称此极限为函数 f(x)在无穷区间a，+)上的广义积分，记为dx)x(f a ， 即 dx)x(flimdx)x(fbab a 这时也称广义积分收敛；否则称广义积分发散。平均值广义积分定定义义 2 2：设函数 f(x)在区间（-，b上连续，取ba ，如果极限alimdx)x(fba存在，则称此极限为函数 f(x)在无穷区间（-，b上的广义积分，记为dx)x(fb ，即 dx)x(flimdx)x(fbaab 这时也称广义积分收敛；否则称广义积分发散。平均值广义积分定定义义 3 3：设函数)x(f在区间（-，+)内连续，Rc， 如果广义积分dx)x(fc 与dx)x(f c 都收敛，则称 上面两个广义积分之和为函数)x(f在（-，+)内的 广义积分，记为dx)x(f ，即 dx)x(f =dx)x(fc +dx)x(f c 这时也称广义积分收敛；否则就称广义积分发散。平均值广义积分 注注意意：（1）对于广义积分dx)x(f ，只有当右端两个积分都 存在时，dx)x(f 才收敛，否则就不存在或发散。（2）由积分区间的可加性，式等号右端的分点可以为 任一实数 C，特殊地取0c。0 xdxsin ” ，这是因为0 xdxsin 不存在。 例例如如：不能说“xsin是奇函数， （ ,）是对称区间，平均值广义积分例 2计算广义积分dxx11 2。解：dxx11dxx11dxx11 0 20 2 2dxx11limdxx11limb 0 2b0 a 2ab0b0aaxarctanlimxarctanlim0arctanbarctanlimaarctan0arctanlimba.2)2(0平均值广义积分若)x(F是)x(f的一个原函数，则dx)x(flimdx)x(f b a b a ),a (F)b(Flim)a (F)b(Flimbb简记为a a )x(Fdx)x(f 。.)2(2xarctandxx11 2例如其中xarctan应理解成xarctanlimxarctanlimxx。平均值广义积分例 3.x1dx22解：3ln21)3ln1(ln21x1x1ln21x1dx222。注注意意 下面这种写法是错误的：dx)x11x11(21x1dx222dxx11dxx112122因为右边两个广义积分都是发散发散的。平均值广义积分例 4.计算dxxlnx1 e 。解：)x(lndxln1dxxlnx1 e e 故原广义积分发散。,xlnlne平均值广义积分例 5.讨论广义积分 1 pxdx的敛散性。解：当 p1 时，.1p ,1p ,1p1p1xxdx1p1 1 p当1p 时，1 1 1 pxlnxdxxdx，故广义积分 1 pxdx当 p1 时收敛；当 p1 时发散。平均值广义积分例 6计算dx)x(110 22。解解法法 1 1：dx)x(1xx1dx)x(110 22220 22dx)x(1xx112220 2dxx11x1x2120202.42212)x11(d x21dxx11200 2平均值广义积分解法解法 2 2：ttanx ，tdtsecdx2，.4tdtcosdttsectsecdx)x(112 0 22 0 420 22 收收敛敛的的广广义义积积分分的的计计算算有有与与定定积积分分 完完全全类类似似的的换换元元法法和和分分部部积积分分法法。平均值广义积分例 7.计算dxxarctanx1 2duucscuduucesuantudxxarctanx24 22 4 221 22424 2424 usinln4duucotucotu)u(cotdu. 2ln214 通过换元把广义积分化为常义积分。通过换元把广义积分化为常义积分。解：令xarctanu ，则utanx ，udusecdx2，平均值广义积分二二、无无界界函函数数的的广广义义积积分分 定定义义 4 4：设函数 f(x)在区间（a，b上连续，且)x(flimax，取0，如果极限0limdx)x(fb a 存在，则称此极限为函数 f(x)在区间（a，b上的广义积分，记为dx)x(fb a ，即 dx)x(fb a =0limdx)x(fb a 这时也称广义积分收敛；否则称广义积分发散。平均值广义积分定义定义 5 5：设函数 f(x)在区间a，b）上连续，且)x(flimbx，取0，如果极限0limdx)x(fb a 存在，则称此极限为函数 f(x)在区间a，b）上的广义积分，记为dx)x(fb a ，即 dx)x(fb a =0limdx)x(fb a 这时也称广义积分收敛；否则称广义积分发散。平均值广义积分定义定义 6 6：设函数 f(x)在区间a，b上除点)b, a (c外连续，且)x(flimCx，如果下面两个广义积分dx)x(fC a 与dx)x(fb C 都收敛，则称这两个广义积分之和为函数f(x)在区间a，b上的广义积分，记为dx)x(fb a ，即 dx)x(fb a =dx)x(fC a +dx)x(fb C 这时也称广义积分收敛；否则称广义积分发散。上述各广义积分统称为无界函数的广义积分无界函数的广义积分 。平均值广义积分1xyo2x11y11) 1 , 0(解：21xx11lim，例 8计算dxx111 0 2。dxx11limdxx111 0 201 0 20)1arcsin(limxarcsinlim0100 它的几何解释是：由曲线2x11y，x轴，y轴及 直线1x 所围成的开口曲边梯形的面积，如图所示。.21arcsin平均值广义积分例 9.讨论dxx11 1 2的敛散性。 解：20 xx1lim，0 x是瑕点，dxx1dxx1dxx11 0 20 1 21 1 2， dxx10 1 2dxx1lim0 1 20,) 11(limx1lim010广义积分dxx11 1 2发散。平均值广义积分例 10讨论广义积分)ab()ax(dxb ap的敛散性。解：当1P 时，b a 0b a paxdxlim)ax(dx,ln)abln(limaxlnlim0ba0当1P 时，b a p0b a p)ax(dxlim)ax(dxbap10)ax(p11lim1p ,)ab)(p1 (11p , 1p 故广义积分b ap)ax(dx当 p1 时收敛；当 p1 时发散。平均值广义积分例 11计算广义积分：.xxdx23212解：1x 是瑕点。2312121223212xxdxxxdxxxdx23121212)41()21x(dx)21x()41()21x(d平均值广义积分23012012141)21(21ln) 12arcsin(xxx)32ln(2。平均值广义积分作作 业业 2(1)(2)(3)(7)(10)(11)2(1)(2)(3)(7)(10)(11)；4 4；5(2)5(2)习习 题题 3.63.6 （P206P206）平均值广义积分作作 业业习习 题题 2 2；1010；1212；2020；2222；2828总总（P207P207）