北京市房山区高二数学下学期期末考试试题含解析

北京市房山区2020学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回，试卷自行保存。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.抛物线的焦点坐标为A. （0，2）B. （2，0）C. （0，4）D. （4，0）【答案】A【解析】【分析】根据抛物线标准方程求得，从而得焦点坐标【详解】由题意，焦点在轴正方向上，坐标为故选A【点睛】本题考查抛物线的标准方程，属于基础题解题时要掌握抛物线四种标准方程形式2.复数的共轭复数是A. -1+iB. -1-iC. 1+iD. 1-i【答案】D【解析】【分析】化简复数为标准形式，然后写出共轭复数【详解】，其共轭复数为故选D【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题3.已知双曲线的离心率为，则m=A. 4B. 2C. D. 1【答案】B【解析】【分析】根据离心率公式计算【详解】由题意，解得故选B【点睛】本题考查双曲线的离心率，解题关键是掌握双曲线的标准方程，由方程确定4.如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则+（-）等于A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由向量的线性运算的法则计算【详解】-，+（-）故选C【点睛】本题考查空间向量的线性运算，掌握线性运算的法则是解题基础5.若=（4，2，3）是直线l的方向向量，=（-1，3，0）是平面的法向量，则直线l与平面的位置关系是A. 垂直B. 平行C. 直线l在平面内D. 相交但不垂直【答案】D【解析】【分析】判断直线的方向向量与平面的法向量的关系，从而得直线与平面的位置关系【详解】显然与不平行，因此直线与平面不垂直，又，即与不垂直，从而直线与平面不平行，故直线与平面相交但不垂直故选D【点睛】本题考查用向量法判断直线与平面的位置关系，方法是由直线的方向向量与平面的法向量的关系判断，利用向量的共线定理和数量积运算判断直线的方向向量与平面的法向量是否平行和垂直，然后可得出直线与平面的位置关系6.“m0”是“方程=m表示的曲线为双曲线”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的标准方程进行判断【详解】时，方程表示两条直线，时，方程可化为，时表示焦点在轴上的双曲线，时表示焦点在轴上的双曲线故选C【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查充分必要条件，解题关键是掌握双曲线的标准方程7.如图，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论错误的是A. 平面平面B. 的取值范围是（0，C. 的体积为定值D. 【答案】B【解析】【分析】根据线面位置关系进行判断【详解】平面，平面平面，A正确；若是上靠近的一个四等分点，可证此时为钝角，B错；由于，则平面，因此的底面是确定的，高也是定值，其体积为定值，C正确；在平面上的射影是直线，而，因此，D正确故选B【点睛】本题考查空间线面间的位置关系，考查面面垂直、线面平行的判定，考查三垂线定理等，所用知识较多，属于中档题8.设F是椭圆=1的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点（i=1,2,3,），组成公差为d（d0）的等差数列，则d的最大值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出椭圆点到的距离的最大值和最小值，再由等差数列的性质得结论【详解】椭圆中，而的最大值为，最小值为，故选B【点睛】本题考查椭圆的焦点弦的性质，考查等差数列的性质，难度不大第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9.已知a,bR,i是虚数单位，（a+bi）i=2+3i，则a=_,b=_【答案】 (1). 3 (2). -2【解析】【分析】求出【详解】由题意，故答案（1）3；（2）2【点睛】本题考查复数的运算，考查复数的概念，属于基础题10.在空间直角坐标系中，已知点M（1，0，1），N（-1，1，2），则线段MN的长度为_【答案】【解析】【分析】根据两点间距离公式计算【详解】故答案为【点睛】本题考查空间两点间距离公式，属于基础题11.若双曲线的渐近线方程为y=x，则满足条件的一个双曲线的方程为_【答案】=1（答案不唯一）【解析】【分析】由双曲线标准方程与渐近线方程的关系可得【详解】渐近线方程为y=x的双曲线方程为，则就是其中之一故答案为【点睛】本题考查双曲线的几何性质：渐近线，与双曲线共渐近线的双曲线方程为，此方程对焦点没有要求，即焦点可在轴上，也可在轴上12.如图，在长方形ABCD-中，设AD=A=1，AB=2，则等于_【答案】1【解析】【分析】选取为基底，把其它向量都用基底表示后计算【详解】由题意故答案为1【点睛】本题考查空间向量的数量积，解题关键是选取基底，把向量用基底表示后再进行计算13.已知椭圆（ab0）的离心率为e，分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使得是钝角，则满足条件的一个e的值为_【答案】（答案不唯一，e1）【解析】【分析】当为短轴端点时，最大，因此满足题意时，此角必为钝角【详解】由题意当为短轴端点时，为钝角，答案可为【点睛】本题考查椭圆的几何性质解题中注意性质：是椭圆上任意一点，是椭圆的两个焦点，当为短轴端点时，最大14.已知曲线W的方程为+-5x=0请写出曲线W的一条对称轴方程_曲线W上的点的横坐标的取值范围是_【答案】 (1). y=0（或x=） (2). 0,5【解析】【分析】由于曲线方程中变量是分开的，因此可只考虑纵坐标的对称性，也可只考虑横坐标的对称性；解不等式可得【详解】由方程知是曲线上的点时，点也是曲线上的点，因此是一条对称轴，同样点与也同时是曲线上的点，因此也是一条对称轴；，故答案为（或）；【点睛】本题考查曲线与方程，考查用方程研究曲线的性质，属于基础题三、解答题共6题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15.已知复数（aR,i为虚数单位）（I）若是纯虚数，求实数a的值；（II）若复数在复平面上对应的点在第二象限，求实数a的取值范围【答案】（）（II）【解析】【分析】（I）计算出，由其实部为0，虚部不为0可求得值；（II）计算出，由其实部小于0，虚部大于0可求得的取值范围【详解】解：（I）由复数得=（）（）=3a+8+（6-4a）i若是纯虚数，则3a+8=0，（6-4a）0，解得a=-（II）=若在复平面上对应的点在第二象限，则有解得-【点睛】本题考查复数的乘除运算，考查复数的概念与几何性质，属于基础题16.如图，三棱柱ABC-中，平面ABC，ACAB，AB=AC=2，C=4，D为BC的中点（I）求证：AC平面AB；（II）求证：C平面AD；（III）求平面与平面所成锐二面角的余弦值【答案】（）见解析（II）见解析（III）【解析】【分析】（I）C平面ABC，得A平面ABC，从而AAC，再结合已知可证得线面垂直；（II）连接，与A相交于点O，连接DO，可证DO，从而证得线面平行；（III）以为轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出两平面和平面的法向量，由法向量的夹角余弦值求得二面角的余弦值【详解】（I）C平面ABC，ACA平面ABC，AAC又ACAB，ABA=AAC平面AB（II）连接，与A相交于点O，连接DOD是BC中点，O是中点，则DO，平面AD，DO平面AD平面AD（III）由（I）知，AC平面AB，AAB如图建立空间直角坐标系A-xyz则A（0，0，0），B（2，0，0），（2，4，0），D（1，0，1），=（1，0，1），=（2，4，0）设平面AD的法向量为=（x,y,z），则，即取y=1，得=（-2，1，2）平面AC法向量为=（2，0，0）Cos=-则平面AD与平面AC所成锐二面角的余弦值为【点睛】本题考查线面垂直的判定与线面平行的判定，考查用向量法求二面角立体几何中线面间的平行与垂直一般用判定定理进行证明，而求空间角一般用空间向量法求解17.已知抛物线C：=2px（p0）的准线方程为x=-,F为抛物线的焦点（I）求抛物线C的方程；（II）若P是抛物线C上一点，点A的坐标为（,2）,求的最小值；（III）若过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于M，N两点，求线段MN的中点坐标。【答案】（）（II）4（III）线段MN中点的坐标为（）【解析】【分析】（I）由准线方程求得，可得抛物线标准方程（II）把转化为到准线的距离，可得三点共线时得所求最小值（III）写出直线方程，代入抛物线方程后用韦达定理可得中点坐标【详解】（I）准线方程x=-,得=1，抛物线C的方程为（II）过点P作准线的垂线，垂直为B，则=要使+的最小，则P，A，B三点共线此时+=+=4（III）直线MN的方程为y=x-设M（），N（），把y=x-代入抛物线方程,得-3x+=0=9-4180+=3，=线段MN中点的横坐标为，纵坐标为线段MN中点的坐标为（）【点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质解题时注意抛物线上的点到焦点的距离常常转化为这点到准线的距离18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD底面ABCD，PDAD，PD=AD，E为棱PC中点（I）证明：平面PBC平面PCD；（II）求直线DE与平面PAC所成角的正弦值；（III）若F为AD的中点，在棱PB上是否存在点M，使得FMBD？若存在，求的值，若不存在，说明理由。【答案】（）见解析（II）（III）存在，=【解析】【分析】（I）由面面垂直的性质定理得PD底面ABCD，从而可得BC平面PCD，然后可证得面面垂直；（II）以为轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量和直线的方向向量，平面的法向量和直线的方向向量的余弦的绝对值等于直线与平面所成角的正弦；（III）设=（01），由求得即可【详解】（I）平面PAD底面ABCD，又PDAD，PD底面ABCDPDBC又底面ABCD为正方形，BCCDBC平面PCD平面PBC平面PCD，（II）由（I）知，PD底面ABCD，ADCD如图以点D为原点建立空间直角坐标系不妨设PD=AD=2，可得D（0，0，0），A（2，0，0，），C（0，2，0），P（0，0，2），由E为棱PC的中点，得E（0，1，1），向量=（-2，2，0），=（2，0，-2），设=(x,y,z)为平面PAC的法向量，则，即不妨令x=1,可得=（1，1，1）为平面PAC的一个法向量设直线DE与平面PAC所成角为所以sin=所以，直线DE与平面PAC所成角的正弦值为（III）向量=（-2，-2，2），=（2，2，0），=（1，2，0）由点M在棱PB上，设=（01）故=+=（1-2，2-2，2）由FMDB，得=0因此（1-2）2+（2-2）2=0解得=，所以=【点睛】本题考查面面垂直判定与性质，考查直线与平面所成的角，考查立体几何中的存在性问题解题时要注意线面间的位置关系的证明需用相应的判定定理和性质定理去证明，用求空间的角（异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等）一般用空间向量法求解，这就要求先建立空间直角坐标系19.已知椭圆M：=1（abc）的一个顶点坐标为（0，1），焦距为2.若直线y=x+m与椭圆M有两个不同的交点A，B（I）求椭圆M的方程；（II）将表示为m的函数，并求OAB面积的最大值（O为坐标原点）【答案】（）=1（II），（-2m0,即4解得：-2m2=-,=点O到直线l的距离d=所以=(-2m0+则+=-由四边形OMEN为平行四边形，得到E（-）把点E坐标代入曲线C的方程得：-4=0，解得直线l的方程为【点睛】本题考查求曲线方程，方法是直接法，考查椭圆中的存在性问题，解题方法是设而不求法，即设交点坐标为，设直线l的方程为，代入椭圆方程后用韦达定理，再把此结论代入题意存在的点所满足的几何条件求出参数即可