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高等数学（二）重点知识及解析（占80分左右）I、函数、极限一、基本初等函数（又称简单函数）：（3）指数函数：=。“（。0,且。工1）（1）常值函数：y=c（2）幕函数：y=xcl(4)对数函数：y=logax(ci)0,且ohI)(5)三角函数：y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx(6)反三角函数：y=aicsinx,y=aiccosx,y=aictanx,y=arccotx二. 复合函数：要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的。例如：卜=lncosx是由y=nu,u=cosx这两个个简单函数复合而成.例如：卜=aictaneyx是由y=aictanu,u=e和y=3x这三个简单函数复合而成.该部分是后面求导的关键！三、极限的计算1、利用函数连续性求极限（代入法）：对于一般的极限式（即非未定式），只要将X。代入到函数表达式中，函数值即是极限值，gplull/U）=/（x0）oXT.%注意：（1）常数极限等于他本身，与自变量的变化趋势无关，BPlimC=Co（2）该方法的使用前提是当XTX。的时候，而xts时则不能用此方法。例lim4=4,Inn-3=-3,limlg2=lg2,lmi,x-xXT-1A-xA-61#例2：Innx-0x2+3x-lx+102+30-loTl_#匝岬晋=害=込（非特殊角的三角函数值不用计算出来）2、未定式极限的运算法（1）对于罟未定式：分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，将人。代入后函数值即是极限值。v-90例1：计算Um未定式，提取公因式7X-30解：原式二lim0_如+习=lim(兀+3)=6YT3X-323V-?V-I1Q例2：计算lim：上未定式，提取公因式YTlX-l0解：原式二lim=lim!izl2=-=03(x-l)(x+l)yti(x+1)2co(2)对于一未定式：分子、分母同时除以未知量的最高次幕，然后利用无穷人的倒数是无CO穷小的这一关系进行计算。工未定式，分子分母同时除以n00无穷大倒数是无穷小壬未定式，分子分母同除以疋00无穷人倒数是无穷小，因此分子是0分母是2In-3例1：计算r3/7+1解：原式=lmi一=-“13+033+n-2x-l例2：计算lim宀2x-x+5321_TT-Tr0解：原式二Um=-=0y1522+xx3、利用等价无穷小的代换求极限(1)定义：设a和0是同一变化过程中的两个无穷小，如呆lim-=b称0与a是等价a无穷小，记作0a(2) 定理：设a、”、0、0均为无穷小,又&卩0、且lim存在贝ijlim=lim或lima0=lima0aa(3) 常用的等价无穷小代换：当xt0时，smx,tanxx例1：当xt0时，siii2x2x,tan(-3x)一3兀亟訂极限lmi=lim=lim-=-sm2x用2兀等价代换205xv-o5xgo55例3：极限lim竺匕二lim二Um3=3tan3x用3x等价代换xto*xtO*xtoII、一元函数的微分学一、导数的表示符号（1）函数/（X）在点X。处的导数记作：/（兀），y或纟丿X=XOdxx=r0（2）函数/（x）在区间Q,b）内的导数记作:(1)(c)=0(C为常数）(2)(3)d(4)(5)(smx)=cosx(6)(7)(arcsiiix)=1(8)Jl-x2例：1、(x3)=3x22、（石）=*丁二.求导公式（必须熟记）5、(cosX)=-sinx(in心(aictanx)*=L1+X(xa)=axa3、sin?r04、龙=06、3#三、导数的四则运算运算公式（设U,V是关于X的函数，求解时把已知题目中的函数代入公式中的U和V即可，代入后用导数公式求解.）(1)(itV)=uv(2)(Mv)=UV+UV特别地(Cu)=Cll(C为常数)(3)例1：己知函数y=a：4+3cosx-2,求）解：y=(x4)+3(cosx)-2=4x3-3sinx-0=4x3-3smx例2：|己知函数f(x)=x2lnx,求fx)和fe).)liix+x2(liix)=2xlnx+x，丄二2xlnx+x7x解：/(x)=(x2所以/()=2fln+=2f+=(注意：lne=l,lnl=O)帧I3：|己知函数/(x)=求fx).1+X四、复合函数的求导1、方法一：嗣求复合函数y=sinX2的导数.（1）首先判.断该复合函数是由哪几个简单函数复合而成的.如y=sinx2由y=sinu和u=x2这两个简单函数复合而成（2）用.导数公式求出每个简单函数的导数nndydu1：卩一二cosuf-=2xduax（3）每个简单函数导数的乘祝即为复合函数的导数；注意中间变量要用原变量x替代回去.dydydunn=2xcos”二2xcos对axanax2、方法二（直接求导法）：复合函数的导数等于构成该复合函数的简单函数导数的乘积。如果对导数公式熟悉，对复合函数的过程清楚，可以不必写出中间变量而直接对复合函数从外往里求导.例1：|设函数y=cos（-3x）,求）解：y=(c(?x(-3x)=-sin(-3x)(-3x)=-sm(-3x)(-3)=3siii(-3x)例2：|设函数y=严丫，求y.解：（lnx）二丄？zX注意:一个复合函数求几次导,取决于它由几个简单函数复合而成。五. 高阶导数1、二阶导数记作：），fx）或孕dx我们把二阶和二阶以上的导数称为鹼題.2、求法：（1）二阶导数就是对一阶导数再求一次导（2）三阶导数就是对一阶导数求两次导，对二阶导求一次导例1：|己知y=5sinx,求yN解：*.*y=5cosx,:.y=-5sinx例2：|已知y=戶，求y|,v=0.解：戶戶，二2戶(2刃二4戶W/.=0=4六、微分的求法：(1) 求出函数y=f(x)的导数fV)(2) 再乘以dx即可.即dy=fx)dx.例1：|已知y=In疋，求dy.解：.*y=(lnx2)=A-，2x=:.dy=dxX例2：|设函数y=x4-cosx,求dy.解：Ty=(x4)cosx+x4(cosx)=4x3cosx-x4sinx/.dy=(4x3cosx-x4sinx)r5III、二元函数的微分学一、多元函数的定义：由两个或两个以上的自变量所构成的函数，称为多元函数。其自变量的变化范围称为定义域，通常记作D例如：二元函数通常记作：z=（X.y）eD二、二元函数的偏导数1、偏导数的表示方法：（1）设二元函数Z=f（x,y）9则函数z在区域D内对x和对y的偏导数记为:dzdx（2）设二元函数z=f（x,y）9则函数Z在点（心儿）处对x和对）丿的偏导数记为:条（“）几（竝”0），3（）；dz勿（z）2、偏导数的求法（1）对x求偏导时，只要将y看成是常量，将x看成是变量，直接对x求导即可.（2）对y求偏导时，只要将q看成是常量，将y看成是变量，直接对求导即可.如果要求函数在点（兀,儿）处的偏导数，只要求出上述偏导函数后将兀和儿代入即可.|例1：|已知函数z=x5y-2y2x,求仝和生.dxdy解：辛小3,斛f例2：已知函数z=x2sm2y,求上和亠.dxdy解：=2xsm2y,=2x2cos2ydxdy三、全微分1、全微分公式：函数Z=/（x,y）在点（x,刃处全微分公式为：ck=dx+dydx內2. 全微分求法：（1）、先求出两个一阶偏导数竺和乞.（2）、然后代入上述公式即可.dxdy9r例|设函数z=sm(xy)+3F+y-l,求dzdzoz解：T=ycos(xy)+6x,=xcos(xy)+1dxdyc_:.dz=亍dx+京dy=ycos(xy)+6xdx+xcos(x-y)+ldy例2：设函数2=，小，求dz解：冬二2戶”，冬二严dz=dx+dy=2穴打厶+e2x+ydydxdydxdy四、二阶偏导的表示方法和求法：（1）f（企）二竽二厂“（X,y）=亢两次都对X求偏导OXoxox先对x求偏导，再对y求偏导先对y求偏导，再对x求偏导两次都对y求偏导（2）（#）二竿二几.（I）二几cyoxoxoy慕影篇W心od?d2zj“*鬲区戶晴二几EXJ可见二元函数的二阶偏导牙四秒，它们都是兀y的函数。在求二阶偏导的时候一定要注意对变量的求导次序（写在符号前面的变量先求偏导）.例1：|设函数z=xy2-3xy5-xy+1,求二匚，丄一，厶和矣.办.dxo）oycxdy解:-=2xy-9xy2勿-x得二6xy2,=6x2y-9y2-1,=6x2y-9y2-1,=2x3-1Sxydxdxdydydxdy例2：设函数z=ycosx,求一,dxdxdy解：V=-ysinx得乞4二-ycosx,二_smxdxdxdxdyIV、一元函数的积分学一、原函数的定义：设尸(X)是区间I上的一个可导函数，对于区间I上的任意一点X,都有F(x)=/(a),则称F(x)是/(x)在区间I上的一个原函数.例1：(smX)=cosx,因此smx是cosx的一个原函数，cosx是sinx的导数.由于(sinx+c)=cosx,可见只要函数有一个原函数，那么他的原函数就有无穷多个.例2：|设/的一个原函数为丄,求/.X解：因为丄是/(X)的一个原函数,X即F(X)=-X9#(注:二.不定积分(一) 、定义:我们把/(X)的两宣愿蚩数称为/(Q在区间I上的不定积分，记作:jf(x)dx=F(x)+C(其中F(x)=/(a)注意：不定积分是原函数的的全体，因此计算结果够数g爼奉！(二) 、不定积分的性质(/W土=ff(x)dxg(x)dxjkf(x)dx=kf(x)dx(其中R为常数)(三)、基本积分公式(和导数公式一样,必须熟记)Jodx=C(2kdx=kx+C(k为常数)r严(3xadx=+C(&H-1)a+(5jexdx=ex+Cj*丄J,v=ln|x|+CX=smx+C(7Jsinxdx=-cosx+C8#=aictanx+C#例1：J-3dx=-3x+Cj2smxdx=-2cosx+C#3设tanx=u)例2：|Jtan2xdtanx=Judu=寻+C=11#又如：JcosT“dcosx=Incosx+C23jJlnxdliix=y(liix)E+C（四）、不定积分的计算1、直接积分法：对被积函数进行恒等变形，并用积分性质和积分公式进行积分的方法。例1：j(x2+l)dx=j(x44-2x2+l)t/x=jx4dx+2Jx2dx+JJx=+yx3+x+C例2：J(1一2sinx+)dx=Jldx一2Jsinxdx+3J打x=x+2cosx+31nx+C2、凑微分法（1）适用前提：如果被积函数是两个函数相乘（或相除）或者被积函数是复合函数（通常为较为简单的复合函数）的情况，此时可以考虑用凑微分法。（2）凑微分法解法步骤（1凑微分2换元3直接积分法4反换元例1：嫌不定积分Jxcosx2clx（1.凑微分）将xdx凑成dx2（2.换元）将亍换元成（3.直接积分法）求出的不定积分（4反换元）”再用亍反换元解:原式=jcosx2dx2=-jcosx2dx2二*Jcosud”1 .c=S111H+C2=sinx+C2页瓦求不定积分J解:原式=jln2xJ(liix)（1凑微分）将丄dx凑成dlnx（2换元）将lnx换元成（3直接积分法）求出的不定积分#匝求不定积分e2dx解:原式二扌严畑+2）（1凑微分）将厶凑成-d（3x+2）（2换元）将3兀+2换元成（3直接积分法）求出的不定积分（4反换元）“再用3x+2反换元（4反换元）“再用111xR换元#注意凑微分时要注意凑完微分后前后变量要统一!如果能熟练掌握换元过程,此时就可以不必写出中间变量,而直接进行积分。#3. 分部积分法（考到概率为40%左右,要了解的可参考重点解析“详细版”）三、不定积分（一）、定积分的定义：由曲边梯形的面积引出定义公式A=|f（x）dx（A为曲边梯形的面积）Ja其中为被积函数，。,切为积分区间，。为积分下限，b为积分上限。用定积分所要注意的事项：1、因为定积分是曲边梯形的面积，因此定积分的值一定是一个常数，所以对定积分求导,导数值必为零。aictanxdx=0,#因定积分上限ba,当ba时，f/（X）dx二一/厶#（二人定积分的计算#1、变上限积分的计算(1)定义：积分上限X为变量时的定积分称为变上限积分，变上限积分是上限X的函数,记作0(兀)=(f(t)dt将X代入到/(/)即可(2)变上限积分的导数:例1：I设f(x)=sintdt,则/(a)=SUlX.x+x13#2、牛顿一莱布尼茨公式(1) 公式：如果尸(x)是连续函数/在W，b上的一个原函数，则有j(x)dx=F(X)ha=F(b)-F(a)(2) 由公式可知:连续函数/(x)在a,b上底积如就足/的一个原函数尸在切上的增量(上限值减下限值)。而连续函数/(x)的不定积分，就是/(x)的全体原函数(原函数后面加常数C)。可见定积分和不定积分的计算都是围绕求原函数进行的。匝求定积分x2dx#解：原式二斗：_23P_71_T_T3#页瓦求定积分fcosxsinxdx(将sinxdx凑成一dcosx)#J.3(将丄dx凑成dlnx)X解：原式二(lnxdlnx二巴一n3解：原式二-2cos2xdcosx=-CSXhrelir110112_22注意:用凑微分法计算定积分时,在换元时,由于引入了新的变量,故原变量的积分限要更换成新变量的积分限;如不想更换积分限,可省略换元步骤。3. 分部积分法(考到概率为40%左右,要了解的可参考重点解析“详细版”)附表：几个特殊角的三角函数值角度06龙7冗兀n2龙Tt一兀sinx0122遇2100-10COSX1週2V22120-110-1tanx0晅31V3不存在00不存在0cotx不存在1迥30不存在不存在0不存在#
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