2022高三数学二轮复习 一题多解专题三 利用导数证明不等式问题

一题多解专题三：利用导数证明不等式问题 1.构造函数证明不等式的方法(1) 对于(或可化为)左右两边结构相同的不等式,构造函数f(x),使原不等式成为形如 f(a)f(b)的形式.(2)对形如f(x)g(x),构造函数F(x)= f(x)-g(x).(3)对于(或可化为)的不等式,可选(或)为主元,构造函数(或 ).2.利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形. (2)构造新的函数h(x).(3)对h(x)求导. (4)利用判断h(x)的单调性或最值. (5)结论.例：设为常数），曲线与直线在(0，0)点相切. (1)求的值. (2)证明：当时，.【解题指南】(1)点在曲线上，则点的坐标满足曲线方程；同时据导数的几何意义可以建立 另一个方程，求出a,b; (2) 构造函数，利用导数研究单调性，借助函数单调性证明不等式【解析】方法一：（1）由的图象过点（0，0）得b=-1； 由在点（0，0）的切线斜率为， 则. （2）当时， 令，则 . 令，则当时， 因此在（0,2）内是递减函数，又， 则时， 所以时，即在（0,2）内是递减函数， 由，则时， 故时，即.方法二：由（1）知， 由基本不等式，当时， （i) 令，则， 故，即 （ii） 由（i)、（ii）得，当时， 记，则当时， 因此在（0,2）内是递减函数，又，得， 故时，.针对性练习：1设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln 21且x0时，exx22ax1.解析(1)由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2. 于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)单调递减2(1ln 2a)单调递增故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)2(1ln 2a)(2)设g(x)exx22ax1，xR， 于是g(x)ex2x2a，xR. 由(1)知当aln 21时，g(x)的最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0. 于是对任意xR都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增 于是当aln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0) 而g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0. 即exx22ax10，故exx22ax1.2. 设函数在上是增函数。（1） 求正实数的取值范围；（2） 设，求证： 解：（1）对恒成立， 对恒成立 又 为所求。 （2）取， 一方面，由（1）知在上是增函数， ,即； 另一方面，设函数 在上是增函数且在处连续，又 当时，, , 即 综上所述，。3.已知函数， 证明：对于任意的两个正数，总有成立； 解：由：， 而：， 又因为：所以：，即：成立。4.设，函数 .(1)求函数 的单调区间；(2)当时，函数 取得极值，证明：对于任意的 .解：(1) 当时，恒成立，在上是增函数； 当时，令，即，解得. 因此，函数在区间 内单调递增， 在区间 内也单调递增.令，解得.因此，函数在区间 内单调递减. （2）当时，函数取得极值，即 ，由()在单调递增，在单调递减，单调递增.在时取得极大值；在时取得极小值，故在上，的最大值是，最小值是；对于任意的 5