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一、相关概念1.导数的概念：fx=。注意：1函数fx在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。2是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。2导数的几何意义函数y=fx在点x处的导数的几何意义是曲线y=fx在点px，fx处的切线的斜率。也就是说，曲线y=fx在点px，fx处的切线的斜率是fx。相应地，切线方程为yy=f/xxx。3.导数的物理意义假设物体运动的规律是s=st，那么该物体在时刻t的瞬间速度v=t。假设物体运动的速度随时间的变化的规律是v=vt，那么该物体在时刻t的加速度a=vt。二、导数的运算1根本函数的导数公式: C为常数; ; ; .2导数的运算法那么法那么1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (法那么2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：法那么3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：v0。3.复合函数的导数形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。法那么：y|= y|u|或者.三、导数的应用1.函数的单调性与导数1设函数在某个区间a，b可导，如果，那么在此区间上为增函数；如果，那么在此区间上为减函数。2如果在某区间恒有，那么为常数。2极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3最值：在区间a，b上连续的函数f在a，b上必有最大值与最小值。但在开区间a，b连续函数fx不一定有最大值，例如。1函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。2函数的最大值、最小值是比拟整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比拟极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间取得，最值那么可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。四、定积分1.概念设函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb把区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上取任一点ii1，2，n作和式In(i)x其中x为小区间长度，把n即x0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作：，即(i)x。这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。根本的积分公式：C；CmQ， m1；dxlnC；C；C；sinxC；cosxC表中C均为常数。2.定积分的性质k为常数；其中acb。3.定积分求曲边梯形面积由三条直线xa，xbab，x轴及一条曲线yfx(f(x)0)围成的曲边梯的面积。如果图形由曲线y1f1(x)，y2f2(x)不妨设f1(x)f2(x)0，及直线xa，xbab围成，那么所求图形的面积SS曲边梯形AMNBS曲边梯形DMNC。4.牛顿布莱尼茨公式如果f(x)是区间a,b上的连续函数,并且F(x)=f(x),那么【练习题】题型1：导数的根本运算【例1】 1求的导数；2求的导数；3求的导数；4求y=的导数；5求y的导数。解析：1,2先化简,3先使用三角公式进展化简.4y=；5yxy*xx*。题型2：导数的几何意义【例2】 已经曲线C：y=x3x+2和点A(1,2)。1求在点A处的切线方程？2求过点A的切线方程？3假设曲线上一点Q处的切线恰好平行于直线y=11x1，那么Q点坐标为 _,切线方程为_思考：导数不存在时，切线方程为什么？【例3】 06卷假设曲线的一条切线与直线垂直，那么的方程为 A B C D【例4】 06全国II过点1，0作抛物线的切线，那么其中一条切线为 ABCD 解析：1与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，应选A；2，设切点坐标为，那么切线的斜率为2，且，于是切线方程为，因为点1，0在切线上，可解得0或4，代入可验正D正确，选D。题型3：借助导数处理单调性、极值和最值【例5】 06卷对于R上可导的任意函数fx，假设满足x10，那么必有Af0f22f1【例6】 06某卷函数的定义域为开区间，导函数在的图象如下图，那么函数在开区间有极小值点A1个B2个 C3个 D4个【例7】 06全国卷I函数。设，讨论的单调性；假设对任意恒有，求的取值围。解析：1依题意，当x1时，fx0，函数fx在1，上是增函数；当x1时，fx0，fx在，1上是减函数，故fx当x1时取得最小值，即有f0f1，f2f1，应选C；2函数的定义域为开区间，导函数在的图象如下图，函数在开区间有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A。3：()f(x)的定义域为(,1)(1,+).对f(x)求导数得 f (x)= eax。()当a=2时, f (x)= e2x, f (x)在(,0), (0,1)和(1,+ )均大于0, 所以f(x)在(,1), (1,+).为增函数；()当0a0, f(x)在(,1), (1,+)为增函数.；()当a2时, 01, 令f (x)=0 ,解得x1= , x2= ；当x变化时, f (x)和f(x)的变化情况如下表: x(, )(,)(,1)(1,+)f (x)f(x)f(x)在(, ), (,1), (1,+)为增函数, f(x)在(,)为减函数。()()当0f(0)=1；()当a2时, 取x0= (0,1),那么由()知 f(x0)1且eax1，得：f(x)= eax 1. 综上当且仅当a(,2时,对任意x(0,1)恒有f(x)1。【例8】 06卷在区间上的最大值是 (A)2 (B)0 (C)2 (D)4【例9】 06卷设函数f(x)= 求f(x)的单调区间；讨论f(x)的极值。解析：1，令可得x0或22舍去，当1x0，当0x1时，0，所以当x0时，fx取得最大值为2。选C；2由得，令，解得。当时，在上单调递增；当时，随的变化情况如下表：0+00极大值极小值从上表可知，函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增。由知，当时，函数没有极值；当时，函数在处取得极大值，在处取得极小值。7 / 7
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