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平面问题的基本理论 平面问题的直角坐标解答 平面问题的极坐标解答 空间问题的基本理论 空间问题的解答大 纲1第1页/共105页第二章 平面问题的基本理论第2页/共105页目录 平面应力与平面应变 平衡微分方程 平面应力状态 几何方程 刚体位移 物理方程 边界条件 圣维南原理及其应用 按位移求解平面问题 按应力求解平面问题 相容方程 常体力情况下的简化 应力函数提 要3第3页/共105页1. 平衡微分方程平衡微分方程00yxxxxyyyfxyfxy（2-2）2. 几何方程几何方程yuxvyvxuxyyx（2-8）3. 物理方程物理方程（平面应力问题）（平面应力问题）)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2（2-12）4. 边界条件边界条件位移：位移：vvuuss（2-14）应力：应力：()()( )()()( )xsxysxysxysylmf smlfs（2-15）平面问题的基本方程4平面问题基本方程221()11()12(1)xxyyyxxyxyEEE（2-13）（平面应变问题）（平面应变问题）平面应力平面应变：.1 ,12EE第4页/共105页按位移求解平面问题的基本方程（1 1）平衡方程：）平衡方程：222222222222110122110122xyEuuvfxyx yEvvufyxx y （2-18）（2）边界条件：）边界条件：位移边界条件：位移边界条件：vvuuss,（2-14）应力边界条件：应力边界条件：221( )121( )12xssyssEuvuvlmfsxyyxEvuvumlfsyxxy（2-19）5按位移求解平面问题的基本方程（平面应力问题）（平面应力问题）平面应力平面应变：.1 ,12EE第5页/共105页按应力求解平面问题的基本方程（1）平衡方程）平衡方程0yxyyfxy0 xyxxfxy（2）相容方程（形变协调方程）相容方程（形变协调方程）2222()(1)yxxyffyxxy （3）边界条件：）边界条件：()()()()xsxysxysxysylmfmlf（平面应力情形）（平面应力情形）6按应力求解平面问题22221()1yxxyffxyxy （平面应变情形）（平面应变情形）第6页/共105页（1）平衡方程）平衡方程0yxyyfxy0 xyxxfxy（2）相容方程（形变协调方程）相容方程（形变协调方程）（3）边界条件）边界条件()()()()xsxysxysxysylmfmlf0)(2yx常体力下平面问题的基本方程7常体力下平面问题的基本方程全解全解 = 齐次方程齐次方程通解通解+非齐次方程的非齐次方程的特解特解。,0;xxyyxyf xf y 0,0,;xyxyxyf yf x ,xxyyxyf xf yf xf y 1 特解特解常体力下特解形式：常体力下特解形式：2 通解通解yxxy2,22yx,22xy024422444yyxx 040)(22第7页/共105页第三章平面问题的直角坐标解答第8页/共105页目录 逆解法与半逆解法 多项式解答 矩形梁的纯弯曲 位移分量的求出 简支梁受均布载荷 楔形体受重力和液体压力提 要9第9页/共105页应力函数的求解方法1逆解法（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设各种满足相容方程（2-25）的(x,y) 的形式；（2） 主要适用于简单边界条件的问题。然后利用应力分量计算式（2-24），求出 （具有待定系数）；xyyx,（3）再利用应力边界条件式（2-15），来考察这些应力函数(x,y) 对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数(x,y) 可以求解什么问题。应力函数的求解方法10第10页/共105页多项式解答适用性：适用性：由一些直线边界构成的弹性体。由一些直线边界构成的弹性体。目的：目的：考察一些简单多项式函数作为应力函数考察一些简单多项式函数作为应力函数(x,y) ，能解决，能解决什么样的力学问题。什么样的力学问题。逆解法多项式解答11第11页/共105页应力函数的求解方法2半逆解法（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分应力分量 的某种函数形式 ；xyyx,（2）根据 与应力函数(x,y)的关系及 ，求出(x,y) 的形式；xyyx,04（3）最后利用式（2-24）计算出 并让其满足边界条件和位移单值条件。xyyx, 半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。应力函数的求解方法12第12页/共105页多项式解答cbyaxyx),(其中：其中： a、b、c 为待定系数。为待定系数。检验检验(x,y) 是否满足双调和方程：是否满足双调和方程：0244224444yyxx显然显然(x,y) 满足双调和方程，因而可作为应力函数。满足双调和方程，因而可作为应力函数。（1）1. 一次多项式一次多项式（2）（3）对应的应力分量：对应的应力分量：02yxxy22xxf xy0 xxf xf x 0yyf yf y 22yyf yx若体力：若体力：fx = fy=0，则有：，则有：0 xyyx多项式解答13结论结论1：（1）（2）一次多项式对应于一次多项式对应于无体力、无面力和无应力状态；无体力、无面力和无应力状态；在该函数在该函数(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。第13页/共105页多项式解答2. 二次多项式二次多项式（1）22cybxyax其中：其中： a、b、c 为待定系数。为待定系数。(假定：假定：fx =fy = 0 ; a 0 , b 0, c 0)检验检验(x,y) 是否满足双调和方程，显然有是否满足双调和方程，显然有（2）0, 0, 02244444yxyx04(可作为应力函数可作为应力函数 )（3）由式（由式（2-24）计算应力分量：）计算应力分量：byxxy2cyx222axy222xy2c2c2a2abxy多项式解答14结论结论2：二次多项式对应于二次多项式对应于均匀应力分布。均匀应力分布。第14页/共105页多项式解答结论结论2：二次多项式对应于二次多项式对应于均匀应力分布。均匀应力分布。xy020( , )2x yy试求图示板的应力函数。试求图示板的应力函数。例：例：xy00 xyyx0),(2. 二次多项式二次多项式多项式解答15第15页/共105页3. 三次多项式三次多项式（1）3223dycxyybxax其中其中: a、b、c 、d 为待定系数。为待定系数。检验检验(x,y) 是否满足双调和方程，显然有是否满足双调和方程，显然有（2）0, 0, 02244444yxyx04(可作为应力函数可作为应力函数 )(假定：假定：fx =fy = 0)（3）由式（由式（2-24）计算应力分量：）计算应力分量：cybxyxxy222dycxyx6222axbyxy6222结论结论3：三次多项式对应于三次多项式对应于线性应力分布。线性应力分布。多项式解答多项式解答16第16页/共105页讨论：讨论：3,ay取(0)xyff可算得：可算得：0 xy6xay0yxy12h2hll图示梁对应的边界条件：图示梁对应的边界条件：:2hy 0, 0 xyy: lx6,0 xxyaymin3ahmax3ahMM3ay可见：可见： 对应于矩形截面梁的对应于矩形截面梁的纯弯曲问题纯弯曲问题应力分布。应力分布。常数常数 a 与弯矩与弯矩 M 的关系：的关系：220hhxdy(1)由梁端部的边界条件：由梁端部的边界条件：2260hhay ay多项式求解多项式解答17第17页/共105页(2)Mdyyhhx222226hhay dyM32ahM32()Mah或yIMxyhMx312yhMx)12/(3此结果与材力中结果相同，此结果与材力中结果相同，说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。多项式求解多项式解答18xy12h2hllmin3ahmax3ahMM220hhxdy(1)由梁端部的边界条件：由梁端部的边界条件：2260hhay ay第18页/共105页多项式求解0 xydyx60yxy12h2hllMMyIMxdh3mindh3max说明：说明：(1)组成梁端力偶组成梁端力偶 M 的面力的面力须须线性分布线性分布，且中心处为零，且中心处为零，结果才是结果才是精确的精确的。(2)若按其它形式分布，如：若按其它形式分布，如：则此结果不精确，有误差；则此结果不精确，有误差；但按圣维南原理，仅在两端误差较但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。大，离端部较远处误差较小。(3)当当 l 远大于远大于 h 时，误差较小；反之误差较大。时，误差较小；反之误差较大。多项式解答19第19页/共105页4. 四次多项式四次多项式（1）432234eydxyycxybxax检验检验(x,y) 是否满足双调和方程是否满足双调和方程（2）42228cxy ax2444ey2444代入：代入：04得得033eca024824eca多项式求解432234eydxyycxybxax可见，对于函数：可见，对于函数：其待定系数，须满足下述关系才能作为应函数：其待定系数，须满足下述关系才能作为应函数：033eca多项式解答20第20页/共105页（3）应力分量：应力分量：yxxy222343dycxybx22yx22xy221262eydxycx221262axbxycy 应力分量为应力分量为 x、y 的二次函数。的二次函数。（4）特例：特例：44eyax 212eyx0 xy212axy（须满足：（须满足：a + e =0）多项式求解多项式解答214. 四次多项式四次多项式432234eydxyycxybxax第21页/共105页总结 多项式应力函数多项式应力函数 的性质的性质（1） 多项式次数多项式次数 n 4 时，则系数可以任意选取，总可满足时，则系数可以任意选取，总可满足 。04多项式次数多项式次数 n 4 时，则系数时，则系数须满足须满足一定条件，才能满足一定条件，才能满足 。04多项式次数多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。越高，则系数间需满足的条件越多。（2） 一次多项式，对应于一次多项式，对应于无体力和无应力状态；无体力和无应力状态；任意应力函数任意应力函数(x,y)上加上上加上或减去一个或减去一个一次多项式一次多项式，对应力无影响。，对应力无影响。二次多项式二次多项式，对应，对应均匀应力均匀应力状态，即全部应力为常量；状态，即全部应力为常量；三次多项式三次多项式，对应于对应于线性分布应力线性分布应力。（3） （4） 用多项式构造应力函数用多项式构造应力函数(x,y) 的方法的方法 逆解法（只能解决简单逆解法（只能解决简单直直线应力边界线应力边界问题）。问题）。多项式解答总结22第22页/共105页（1）讨论：讨论：常数00 xEIMyuxx当当 x = x0 =常数常数xEIMyuxyl1hMM u 关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。常数00 xEIMyuxxyu0|xx说明：说明： 同一截面上的各铅垂线同一截面上的各铅垂线段转角相同。段转角相同。横截面保持平面横截面保持平面 材力中材力中“平面假设平面假设” 成立。成立。23矩形梁的纯弯曲0uyxyEIMu02222vxxEIMyEIMv(f)第23页/共105页（2）常数EIMxv22102222vxxEIMyEIMv将下式中的第二式对将下式中的第二式对 x 求二阶导数：求二阶导数：0uyxyEIMu说明：说明：在微小位移下，梁纵向纤维的曲在微小位移下，梁纵向纤维的曲率相同。即率相同。即EIMxv221 材料力学中的挠曲线微分方程材料力学中的挠曲线微分方程24矩形梁的纯弯曲第24页/共105页（1）两端简支）两端简支02222vxxEIMyEIMv0uyxyEIMu(f)其边界条件：其边界条件：000yxu000yxv将其代入将其代入(f)式，有式，有0202vlEIMl00u00vEIMl2将其代回将其代回(f)式，有式，有ylxEIMu)2( 22)(2yEIMxxlEIMv(3-3)梁的挠曲线方程：梁的挠曲线方程：xxlEIMvy)(20 与材力中结果相同与材力中结果相同00ylxv位移边界条件的利用25位移边界条件的利用第25页/共105页位移边界条件的利用（2）悬臂梁）悬臂梁02222vxxEIMyEIMv0uyxyEIMu(f)边界条件边界条件0lxv0lxu22hyh由式（由式（f）可知，此边界条件无法满足。）可知，此边界条件无法满足。边界条件改写为：边界条件改写为：0, 000ylxylxvu（中点不动）（中点不动）00ylxxv（轴线在端部不转动）（轴线在端部不转动）h/2h/226位移边界条件的利用第26页/共105页h/2h/2代入式（代入式（f），有），有00u0202vllEIM0lEIM可求得：可求得：00uEIMlv220EIMlyxlEIMu)( 222)(2yEIMxlEIMv位移边界条件的利用27位移边界条件的利用第27页/共105页位移边界条件的利用yxlEIMu)( 222)(2yEIMxlEIMv(3-4)挠曲线方程：挠曲线方程：20)(2|xlEIMvy与材料力学中结果相同与材料力学中结果相同h/2h/228位移边界条件的利用第28页/共105页h/2h/2说明：说明：（1）求位移的过程：求位移的过程：（a）将应力分量代入物理方程）将应力分量代入物理方程)(1xyyE)(1yxxEGxyxy（b）再将应变分量代入几何方程）再将应变分量代入几何方程xvyuxyxuxyvy（c）再利用位移边界条件，确定常数。）再利用位移边界条件，确定常数。位移边界条件的利用29位移边界条件的利用第29页/共105页（2） 若为平面应变问题，则将材料常若为平面应变问题，则将材料常数数E、作相应替换。作相应替换。（3）若取固定端边界条件为：若取固定端边界条件为：h/2h/20, 000ylxylxvu（中点不动）（中点不动）00ylxyu（中点处竖向线段转角为零）（中点处竖向线段转角为零）00u得到：得到：0202vlEIMl0EIMl求得：求得：00uEIMlv220EIMl此结果与前面情形相同。此结果与前面情形相同。（为什么？为什么？）位移边界条件的利用30位移边界条件的利用第30页/共105页应力函数的确定xyllqlql1yzh/2h/2q(1)分析：分析：y 主要由弯矩引起；主要由弯矩引起；x 主要由剪力引起；主要由剪力引起；xy由由 q 引起（挤压应力）。引起（挤压应力）。又又 q =常数，图示坐标系和几何对称，常数，图示坐标系和几何对称，不随不随 x 变化。变化。y推得：推得：)(yfy(2)由应力分量表达式确定应力函数由应力分量表达式确定应力函数 的形式：的形式：),(yx)(22yfxy积分得：积分得：)()(1yfyxfx)()()(2212yfyxfyfx(a)(b)(),(),(21yfyfyf 任意的待定函数任意的待定函数31简支梁受均布载荷 - 应力函数的确定第31页/共105页xyllqlql1yzh/2h/2q(3)由由 确定：确定：04)(),(),(21yfyfyf)(22)2(224yfyx044x)()()(2)4(2)4(1)4(244yfyxfyfxy代入相容方程：代入相容方程：444224442yyxx0)(2)()()(2)2()4(2)4(1)4(2yfyfyxfyfx应力函数的确定32应力函数的确定第32页/共105页xyllqlql1yzh/2h/2q方程的特点：方程的特点：关于关于 x 的二次方程，且要求的二次方程，且要求 l x l 内方程均成立。内方程均成立。由由“高等代数高等代数”理论，须有理论，须有x 的一、二次的系数、自由项同时为零。即：的一、二次的系数、自由项同时为零。即：0)()4(yf0)(2)()2()4(2yfyf0)()4(1yf对前两个方程积分：对前两个方程积分：GyFyEyyf231)(DCyByAyyf23)(c) 此处略去了此处略去了f1(y)中的常数项中的常数项对第三个方程得：对第三个方程得：)(2)()2()4(2yfyfBAy412积分得：积分得：23452610)(KyHyyByAyf(d)33应力函数的确定第33页/共105页GyFyEyyf231)(DCyByAyyf23)(c)23452610)(KyHyyByAyf(d)()(1yfyxfx)()()(2212yfyxfyfx(a)(b)将将(c) (d) 代入代入 (b) ，有，有)()(223232GyFyEyxDCyByAyx)610(2345KyHyyByA(e)此处略去了此处略去了f2(y)中的一次项和常数项中的一次项和常数项式中含有式中含有9个待定常数。个待定常数。34应力函数的确定xyllqlql1yzh/2h/2q第34页/共105页应力分量的确定22yxKHyByAyFEyxBAyx2622)26()26(223222xyDCyByAy23yxxy2)23()23(22GFyEyCByAyx(f)(g)(h)35应力函数的确定xyllqlql1yzh/2h/2q22yyf yx22xxf xy2xyx y (2-24)第35页/共105页（1）对称条件的应用：）对称条件的应用：xyllqlql1yzh/2h/2q由由 q 对称、几何对称：对称、几何对称：yx, x 的偶函数的偶函数xy x 的奇函数的奇函数由此得：由此得：026 FEy0232GFyEy要使上式对任意的要使上式对任意的 y 成立，须有：成立，须有：0GFE36对称条件与边界条件的应用第36页/共105页（2）边界条件的应用：）边界条件的应用：(a) 上下边界（主要边界）：上下边界（主要边界）：; 0,2xyhy;,2qhyy; 0,2yhy024823DChBhAhqDChBhAh248230432CBhhA0432CBhhA由此解得：由此解得：,23hqA, 0B2qDhqC23代入应力公式代入应力公式xyllqlql1yzh/2h/2q37对称条件与边界条件的应用第37页/共105页xyllqlql1yzh/2h/2q(b) 左右边界（次要边界）：左右边界（次要边界）：（由于对称，只考虑右边界即可。）（由于对称，只考虑右边界即可。）, lx 未知22hyhlxxy022hyhlxx 难以满足，需借助于圣维南原理。难以满足，需借助于圣维南原理。静力等效条件：静力等效条件：轴力轴力 N = 0；弯矩弯矩 M = 0；剪力剪力 Q = ql；qldyQhhlxxy22022dyNhhlxx022dyyMhhlxx38对称条件与边界条件的应用第38页/共105页0K02Kh0)2646(223323hhdyKHyyhqylhq0)646(24322232dyHyyhqyhqlhhhqhqlH1032qldylhqyhqlhh)236(2223qldyQhhlxxy22022dyNhhlxx022dyyMhhlxx39对称条件与边界条件的应用xyllqlql1yzh/2h/2q第39页/共105页KHyyhqyxhqx26463323223233qyhqyhqyxhqxyhqxy23623( i )( j )( k )qllyhqyhqlhy223232362可见，这一条件自动满足。可见，这一条件自动满足。40对称条件与边界条件的应用xyllqlql1yzh/2h/2q0KhqhqlH1032第40页/共105页xyllqlql1yzh/2h/2q)534()(622223hyhyqyxlhqx22112hyhyqy22346yhxhqxyxyxy)()(103)(3222qxlhq三次抛物线三次抛物线q截面上的应力分布：截面上的应力分布：41对称条件与边界条件的应用(p)第41页/共105页与材料力学结果比较xyllqlql1yzh/2h/2q)534()(622223hyhyqyxlhqx(p)22112hyhyqy22346yhxhqxy材力中几个参数材力中几个参数：截面宽：截面宽：b=1 ,3121hI截面惯矩：截面惯矩：静矩：静矩：2822yhS弯矩：弯矩：)(222xlqM剪力：剪力：qxQ将其代入式将其代入式 ( p ) ，有，有53422hyhyqyIMx22112hyhyqybIQSxy（3-6）42与材料力学结果比较第42页/共105页比较，得：比较，得：（1）xxy第一项与材力结果相同，为主要项。第一项与材力结果相同，为主要项。第二项为修正项。当第二项为修正项。当 h / la），圆孔半径为），圆孔半径为 a，在无限远处受有均匀拉应力在无限远处受有均匀拉应力 q 作用。作用。求：孔边附近的应力。求：孔边附近的应力。孔边应力集中问题的求解孔边应力集中问题的求解第79页/共105页（2）问题的求解）问题的求解 问题分析问题分析坐标系：坐标系：就外边界（直线），宜用直角坐标；就外边界（直线），宜用直角坐标；就内边界（圆孔），宜用极坐标。就内边界（圆孔），宜用极坐标。),(rA 取一半径为取一半径为 r =b (ba），在其），在其上取一点上取一点 A 的应力：的应力：OxybAqxArrrA由应力转换公式：由应力转换公式：2sin2cos22xyyxyxr2cos22qq2cos2sin2xyyxr2sin2q原问题转化为：原问题转化为：无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。rrb孔边应力集中问题的求解孔边应力集中问题的求解第80页/共105页rr新问题的边界条件可表示为：新问题的边界条件可表示为：xyba内边界内边界0arr0arr外边界外边界2cos22qqbrr2sin2qbrr（a）问题问题12qbrr0brr2cos2qbrr2sin2qbrr（b）（c）2qrba2cos2qr2sin2qrba问题问题2将外边界条件（将外边界条件（a）分解为两部分：）分解为两部分：孔边应力集中问题的求解孔边应力集中问题的求解第81页/共105页问题问题12qrba 问题问题1的解：的解：内边界内边界0arr0arr外边界外边界2qbrr0brr（b） 该问题为轴对称问题，其解为该问题为轴对称问题，其解为2112222qbarar2112222qbara0r 当当 ba 时，有时，有2122qrar2122qra0r（d）求解孔边应力集中问题的求解第82页/共105页 问题问题2的解：的解：rrba问题问题2（非轴对称问题）（非轴对称问题）内边界内边界0arr0arr外边界外边界2cos2qbrr2sin2qbrr（c）2sin2qr2cos2qr 由边界条件（由边界条件（c），可假设：），可假设： 为为 r 的某一函数的某一函数乘以乘以 ； 为为r 的某一函数乘以的某一函数乘以 。 r2cosr2sin 又由极坐标下的应力分量表达式：又由极坐标下的应力分量表达式：22211rrrrrrr1 可假设应力函数为：可假设应力函数为：2cos)(rf 将其代入相容方程：将其代入相容方程：011222222rrrr求解孔边应力集中问题的求解第83页/共105页02cos)(9)(9)(2)(32223344drrdfrdrrfdrdrrfdrdrrfd0)(9)(9)(2)(32223344drrdfrdrrfdrdrrfdrdrrfd 与前面类似，与前面类似，令：令：)ln(rtert或有有0)(16)(4)(4)(223344dttdfdttfddttfddttfd 该方程的特征方程：该方程的特征方程：01644234特征根为：特征根为：, 41, 22, 0324方程的解为：方程的解为：tttDeCBeAetf224)(2241)(rDCBrArrf2cos)(rf2cos1224rDCBrAr孔边应力集中问题的求解孔边应力集中问题的求解第84页/共105页2cos1224rDCBrArrrba问题问题22sin2qr2cos2qr 相应的应力分量：相应的应力分量：22211rrrr2cos)642(42rDrCB22r2cos)6212(42rDBArrrr12sin)6226(422rDrCBAr 对上述应力分量应用边界条件（对上述应力分量应用边界条件（c）, 有有内边界内边界0arr0arr外边界外边界2cos2qbrrsin2qarr（c） （e）孔边应力集中问题的求解孔边应力集中问题的求解第85页/共105页孔边应力集中问题的求解rrba问题问题22sin2qr2cos2qr264242qbDbCB26226422qbDbCBAb064242aDaCB06226422aDaCBAa求解求解A、B、C、D，然后，然后令令 a / b = 0，得，得, 0A,4qB,2qaC 44qaD代入应力分量式（代入应力分量式（e）, 有有2cos31244raq2cos)31)(1 (22222raraqr2sin)31)(1 (22222raraqrr （f）孔边应力集中问题的求解第86页/共105页将将问题问题1和和问题问题2的解相加的解相加, 得全解：得全解：2cos312124422raqraq2cos)31)(1 (2)1 (2222222raraqraqr2sin)31)(1 (22222raraqrr （4-19）讨论：讨论： （1）沿孔边，沿孔边，r = a，环向正应力：，环向正应力：)2cos21 ( q3q2qq0q906045300（2）沿沿 y 轴，轴， =90，环向正应力：，环向正应力：)23211 (4422raraq1.04q1.07q1.22q3q4a3a2aar),(rAb 基尔斯（基尔斯（G. Kirsch）解）解孔边应力集中问题的求解孔边应力集中问题的求解第87页/共105页（3） 沿沿 x 轴，轴， =0，环向正应力：，环向正应力：) 123(22222raraq, ar ; q,3ar 0（4）若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力 q1、q2 作用作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2求解孔边应力集中问题的求解第88页/共105页（4）若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力 q1、q2 作用作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2叠加后的应力：叠加后的应力：2cos3121244212221raqqraqq2cos)31)(1 (2)1 (22222212221raraqqraqqr2sin)31)(1 (2222221raraqqrr （4-19）孔边应力集中问题的求解孔边应力集中问题的求解第89页/共105页（5） 任意形状薄板（或长柱）受面力任意形状薄板（或长柱）受面力 作用，在距边界较远处有一小孔。作用，在距边界较远处有一小孔。只要知道无孔的应力，就可计算孔边的应力，如：只要知道无孔的应力，就可计算孔边的应力，如：qqqqqqqq 45孔边应力集中问题的求解孔边应力集中问题的求解第90页/共105页用半逆解法求解。（1）假设应力F为单位宽度上的力，按量纲分析，应力 应为:。rF 半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力,0dd2dd122443fffr（2）推测 应为).(rf （3）代入 ，得04 rrr第91页/共105页cos,(422)0rr2Fr 。当当F垂直于边界垂直于边界时，时， ，应力解答应力解答为为0半平面体在边界上受集中力2(coscossinsin ),( )0rrFar 。相应的直角坐标系中的相应的直角坐标系中的应力应力 如式如式(4-23)所示。所示。xyyx,FxyOr2223)(2yxxFx2222)(2yxxyFy2222)(2yxyxFxy （4-24） 直角坐标表示的应力分量第92页/共105页边界沉陷计算PxyOrMM点的下沉量：2 uIEFrEF)1 (ln2 由于常数 I 无法确定，所以只能求得的相对沉陷量。为此，在边界上取一基准点B，如图所示。BsM点相对于基准点B的沉陷为srrruu22IEFrEF)1 (ln2IEFsEF)1 (ln2rsEFln2简化后得：（4-25）符拉芒（A. Flamant）公式对平面应变情形：rsEFln)1 (22边界沉陷计算第93页/共105页应力分量abxxdyxxqd2223)(2abyydyxyxqd2222)()(2abxyxydyxyxqd2222)()(2（4-26）式中，需将分布力集度 q 表示成 的函数，再进行积分。应力分量qddP OdMdP 作用在距原点 时，2223)(2yxxqddx2222)()(2yxyxqddxy第94页/共105页基本方程1. 平衡方程平衡方程rr1rrrr0rk021krrrrr（41）2. 几何方程几何方程rurrurrur1ruruurrr1（42）3. 物理方程物理方程)(1rrE)(1rErrrEG)1 (21 平面应力情形平面应力情形（43）4. 边界条件边界条件,rsruuuusrrrsslmfrsslmf位移边界条件：位移边界条件：应力边界条件：应力边界条件：基本方程第95页/共105页按应力求解基本步骤（1） 由问题的条件求出满足式（由问题的条件求出满足式（46）的应力函数）的应力函数),(r0112222224rrrr（46）（2） 由式（由式（45）求出相应的应力分量：）求出相应的应力分量：rr,（45）22r22211rrrrrrr1（3） 将上述应力分量将上述应力分量rr,满足问题的边界条件：满足问题的边界条件：位移边界条件：位移边界条件：,rsruuuus应力边界条件：应力边界条件：rrrsslmfrsslmfuur,为边界上已知位移，为边界上已知位移，,rff为边界上已知的面力分量。为边界上已知的面力分量。（位移单值条件）（位移单值条件）按应力求解基本步骤第96页/共105页平面轴对称问题的求解方法逆解法DCrrBrrA22lnln（411）CrBrAr2)ln21 (2CrBrA2)ln23(20rr应力函数：应力函数：应力分量：应力分量：位移分量：位移分量：cossin4KIHrEBru（4-12）sincos)1(2KICrBrrBrrAEur)31()1(ln)1(2)1(1平面轴对称问题的求解方法逆解法第97页/共105页圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题原问题的转换：原问题的转换：问题问题12qrba2cos2qr2sin2qrba问题问题2轴对称问题轴对称问题非轴对称问题非轴对称问题2cos)(rf2cos1224rDCBrAr非轴对称问题的求解方法半逆解法第98页/共105页4. 半平面问题半平面问题PxyOrxyOrMqxyOrqxyOraa)(xqxyOr)(rf)()(2fr)(3fr非轴对称问题的求解方法半逆解法非轴对称问题的求解方法半逆解法第99页/共105页第七章 空间问题的基本理论第100页/共105页目录 平衡微分方程 物体内任一点的应力状态 主应力 最大与最小的应力 几何方程及物理方程 轴对称问题的基本方程提 要第101页/共105页空间问题结论总结0yxxzxxfxyz0yzyxyyfyzx0yzxzzzfzxy(7-1),xuxyzwvyz(7-8),yvyzxuwzx,zwzxyvuxy),(1zyxxE2(1)yzyzE1(),yyzxE2(1)zxzxE1(),zzxyE2(1)xyxyE(7-12)( 7-9 )( )svv 。( )suu 。( )sww 。()xyxzxsxl mnf()xyxzxsym nlf()xyxzxszn lmf(7-5)xyz(7-10)xyz 1 2E第102页/共105页第八章 空间问题的解答第103页/共105页 按位移求解空间问题 半空间体受重力及均布压力 半空间体在边界上受法向集中力 按应力求解空间问题 等截面直杆的扭转 扭转问题的薄膜比拟 椭圆截面杆的扭转 矩形截面杆的扭转104提 要第104页/共105页感谢您的观看！第105页/共105页
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