导数的基本概念及性质应用

-导数的根本概念及性质应用考点：1、掌握导数的根本概念及运算公式，并能灵活应用公式求解 2、能运用导数求解单调区间及极值、最值 3、理解并掌握极值及单调性的实质，并能灵活应用其性质解题。能力：数形结合方法：讲练结合新授课：一、 知识点总结：导数的根本概念与运算公式、 导数的概念函数y =的导数，就是当0时，函数的增量y与自变量的增量的比的极限，即说明：分子和分母中间的变量必须保持一致、 导函数函数y = 在区间( a, b )内每一点的导数都存在，就说在区间( a, b )内可导，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做的导函数，记作或， 函数的导函数在时的函数值，就是在处的导数。、 导数的几何意义设函数y =在点处可导，则它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点处的切线斜率。、 求导数的方法根本求导公式导数的四则运算复合函数的导数设在点*处可导，y =在点处可导，则复合函数在点*处可导，导数性质：1、函数的单调性设函数y在*个区间内可导，假设0，则为增函数；假设0则为减函数。求可导函数单调区间的一般步聚和方法。确定函数的定义区间求，令0，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根。把函数的连续点即的无定义点的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成假设干个小区间。确定在各小开区间内的符号，根据的符号判定函数在各个相应小开区间内的增减性。说明：原函数单调性与导函数单调性无关，只与导函数正负号有关2可导函数的极值极值的概念设函数在点附近有定义，且对附近的所有点都有或，则称为函数的一个极大小值点。称为极大小值点。求可导函数极值的步骤。求导数求方程0的根检验在方程0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，则函数y在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，则函数y在这个根处取得极小值。说明：极值点的导数为0，导数为0的点不一定是极值点隐含条件，说明*点是极值点，相当于给出了一个0的方程3函数的最大值与最小值设y是定义在区间a ,b 上的函数，y在(a ,b )内有导数，求函数y在a ,b 上的最大值与最小值，可分两步进展。求y在(a ,b )内的极值。将y在各极值点的极值与、比拟，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。假设函数y在a ,b 上单调增加，则为函数的最小值，为函数的最大值；假设函数y在a ,b 上单调减少，则为函数的最大值，为函数的最小值。说明：极大值小于等于最大值，极小值大于等于最小值二、 例题讲解题型一导数的概念【例1】设f(*)在点*0处可导，a为常数，则等于( )/(*0/(*0/(*0【变式】设在处可导题型二导数的几何意义、物理意义【例2】1求曲线在点1，1处的切线方程； 2运动曲线方程为，求t=3时的速度。分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(*)在处的导数就是曲线y=f(*)在点处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数。题型三利用导数求单调区间【例3】求以下函数单调区间1234题型四：利用导数求函数的最极值【例4】求函数在闭区间-3，0上的极值、最大值、最小值题型五：原函数图像与导函数图像【例5】 1、设f (*)是函数f(*)的导函数，y=f (*)的图象 如右图所示，则y=f(*)的图象最有可能的是(A)(B)(C)(D)2、函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如下图，则函数在开区间内有极小值点 A1个B2个C3个D 4个题型六：利用极值的本质及单调性求解析式【例6】函数在处取得极值。(I)讨论和是函数的极大值还是极小值；(II)过点作曲线的切线，求此切线方程。【例7】函数在点处取得极大值5，其导函数的图象经过点1，0，2，0如下图.求： 1的值；2a、b、c的值.【例8】函数f*=*3+a*2+b*+c，当*=1时，取得极大值7；当*=3时，取得极小值求这个极小值及a、b、c的值【例9】的图象经过点，且在处的切线方程是1求的解析式；2求的单调递增区间题型七：含参数的讨论【例10】1如果函数f(*)=*3+a*的图象上各点处的切线斜率都为正数，则实数a的取值范围是( )A.(0,+)B.0,+)C.(3,+)D.3,+) 2如果函数f(*)=*3+a*的图象上有平行于*轴的切线，则实数a的取值范围是_【例11】函数在区间上都是增函数，在0，4上是减函数.1求b的值； 2求a的取值范围题型八：综合应用【例12】平面向量，假设存在不同时为的实数和，使且，试确定函数的单调区间例题答案：【例1】解：应选(C)【变式】：-1【例2】1，即曲线在点1，1处的切线斜率k=0 因此曲线在1，1处的切线方程为y=1 2。【例3】1时，2，3，4 定义域为【例4】略，注意强调学生的步骤完整性【例5】1、C 2、 A【例6】分析：1分析*=1处的极值情况，关键是分析*=1左右*的符号.2要分清点A0，16是否在曲线上.解：1*=3a*2+2b*3，依题意，1=1=0，即解得a=1，b=0.f*=*33*，*=3*23=3*+1*1.令*=0，得*=1，*=1.假设*，11，+，则*0，故f*在，1上是增函数，f*在1，+上是增函数.假设*1，1，则*0，故f*在1，1上是减函数.所以f1=2是极大值，f1=2是极小值.2曲线y=*33*，点A0，16不在曲线上，设切点M*0，y0，则y0=*033*.*0=3*023，切线方程为yy0=3*021*0.代入A0，16得16*03+3*0=3*0210*0.解得*0=2，M2，2，切线方程为9*y+16=0.评述：过点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键【例7】解：函数的增减变化如下表：*12 +0 -0 +极大极小1在*=1处由增变减，故为极大值，即=1.2由于，【例8】解：f*=3*2+2a*+b据题意，1，3是方程3*2+2a*+b=0的两个根，由韦达定理得a=3，b=9f*=*33*29*+cf1=7，c=2极小值f3=3333293+2=25极小值为25，a=3，b=9，c=2【例9】解：1的图象经过点，则，切点为，则的图象经过点得2单调递增区间为【例10】1A 2(- ，0【例11】解：由条件知是函数的极值点.，令，得.已求，.令，得.由条件知为极大值点，则应为极小值点.又知曲线在区间0，4上是减函数. ，得【例12】解：由得所以增区间为；减区间为。三、 课堂演练：1. 假设曲线y=f*在点*0，f*0处的切线方程为2*y1=0，则Af*00 Bf*00Ba0 Ca=1Da=7. 与直线2*6y+1=0垂直，且与曲线y=*3+3*21相切的直线方程是_8.a为实数，。求导数；假设，求在2，2 上的最大值和最小值；假设在(，2)和2，+上都是递增的，求a的取值范围1-6AAADAA，7.3*+y+2=08. 解：由原式得由 得,此时有.由得或*=-1 , 又所以f(*)在2,2上的最大值为最小值为解法一:的图象为开口向上且过点(0,4)的抛物线,由条件得即2a2.所以a的取值范围为2,2. 解法二:令即 由求根公式得: 所以在和上非负.由题意可知,当*-2或*2时, 0,从而*1-2,*22, 即 解不等式组得2a2.a的取值范围是2,2.四、 课堂小结：导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察根本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值。知识点需要熟悉，但是更重要的是掌握其本质，并能灵活应用于各种题型。五、 课下作业： 1、函数的递增区间是 A BCD2、,假设,则的值等于 A B C D 3、 函数在区间上的最小值为 ABCD 4、 曲线在点处的切线倾斜角为_； 5、函数的单调递增区间是_。答案：1、C； 2、D； 3、D； 4、； 5、. z.