数列的极限讲解PPT课件

引例引例设有半径为设有半径为 R 的圆的圆 ,用其内接正用其内接正 n 边形的面边形的面积积An 逼近圆面积逼近圆面积 S . 刘徽割圆术刘徽割圆术(公元三世纪公元三世纪)概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣于不可割，则与圆周合体而无所失矣”第1页/共30页R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS上一页目录下一页退 出第2页/共30页2 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211 X第一天截下的杖长为第一天截下的杖长为;212122 X为为第二天截下的杖长总和第二天截下的杖长总和;2121212nnXn 天截下的杖长总和为天截下的杖长总和为第第nnX211 1上一页目录下一页退 出第3页/共30页一、数列极限的定义定义定义:按自然数按自然数, 3 , 2 , 1编号依次排列的一列数编号依次排列的一列数 ,21nxxx (1)称为称为无穷数列无穷数列,简称简称数列数列.其中的每个数称为数其中的每个数称为数列的列的项项,nx称为称为通项通项(一般项一般项).数列数列(1)记为记为nx.例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n上一页目录下一页退 出第4页/共30页注意：注意： 1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整标函数数列是整标函数).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,333,33, 3 上一页目录下一页退 出第5页/共30页 随着随着n 趋于无穷趋于无穷, 数列的数列的通项有以下通项有以下两种两种变变化趋势化趋势:时的变化趋势：时的变化趋势：当当观察上述数列观察上述数列 n可以看到可以看到,(1)通项无限趋近于通项无限趋近于 一个确定的常数一个确定的常数;(2) 通项不趋近于任何确定的常数通项不趋近于任何确定的常数.第6页/共30页问题问题: 当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?nxn. 1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn 问题问题: “无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它刻划它. 1nxnnn11)1(1 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:上一页目录下一页退 出第7页/共30页,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n,10011 nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,1000011 nx有有,100001给定给定,10000时时只要只要 n,100011 nx有有, 0 给定给定,)1(时时只要只要 Nn.1成立成立有有 nx上一页目录下一页退 出第8页/共30页定义定义 如果对于任意给定的正数 ( (不论它多么小),),总存在正数N, ,使得对于Nn 时的一切nx, ,不等式 axn都成立, ,那末就称常数a是数列nx的极限, ,或者称数列nx收敛于a, ,记为 ,limaxnn 或).( naxn如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：注意：;. 1的无限接近的无限接近与与刻划了刻划了不等式不等式axaxnn . 2有关有关与任意给定的正数与任意给定的正数 N上一页目录下一页退 出第9页/共30页x1x2x2 Nx1 Nx3x几何解释几何解释: 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当NaaxNnn :定义定义N 其中其中;:每一个或任给的每一个或任给的 .:至少有一个或存在至少有一个或存在 ., 0, 0lim axNnNaxnnn恒有恒有时时使使上一页目录下一页退 出第10页/共30页数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.例例1. 1)1(lim1 nnnn证明证明证证1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任给任给,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,时时则当则当Nn 1)1(1nnn就有就有. 1)1(lim1 nnnn即即注意：注意：上一页目录下一页退 出第11页/共30页例例2.lim),(CxCCxnnn 证明证明为常数为常数设设证证Cxn CC ,成立成立 ,0 任给任给所以所以,0 ,n对于一切自然数对于一切自然数.limCxnn 说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.小结小结: 用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是关键是任意给任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 上一页目录下一页退 出第12页/共30页例例3. 1, 0lim qqnn其中其中证明证明证证, 0 任给任给,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,时时则当则当Nn ,0 nq就有就有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq则则, 10 q若若,lnlnqn 上一页目录下一页退 出第13页/共30页例例4.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求证求证且且设设证证, 0 任给任给.limaxnn 故故,limaxnn ,1 axNnNn时恒有时恒有使得当使得当axaxaxnnn 从而有从而有aaxn a1 上一页目录下一页退 出第14页/共30页例例4-1证证. 1lim1 nnaa时，时，证明当证明当注意到注意到. 1 na, 0 为了使为了使 1na. 1 na, 01 nna 令令于是于是 a =nn)1( nnnn 1nnnn 1nan 因此因此,an , aN取取则当则当n N 时时,有有nna 1nna 1. . 1lim nna即即只要使只要使, na 第15页/共30页二、收敛数列的性质1、有界性有界性定义定义: 对数列对数列nx, 若存在正数若存在正数M, 使得一切自使得一切自然数然数n, 恒有恒有Mxn 成立成立, 则称数列则称数列nx有界有界,否则否则, 称为无界称为无界.例如例如,;1 nnxn数列数列.2nnx 数列数列数轴上对应于有界数列的点数轴上对应于有界数列的点nx都落在闭区间都落在闭区间,MM 上上.有界有界无界无界上一页目录下一页退 出第16页/共30页收敛数列的有界性收敛数列的有界性 nx如果数列如果数列收敛收敛,那么数列那么数列 nx一定有界一定有界.问题问题 对于无限多项对于无限多项，.), 2, 1( nxn如何求如何求 M ？ M可取可取.1,.,max21 axxxN第17页/共30页定理定理1 1 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .证证,limaxnn 设设由定义由定义, 1 取取, 1, axNnNn时恒有时恒有使得当使得当则则. 11 axan即有即有,1,1,max1 aaxxMN记记,Mxnn 皆有皆有则对一切自然数则对一切自然数 .有界有界故故nx注意：注意：有界性是数列收敛的有界性是数列收敛的必要条件必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .上一页目录下一页退 出关系关系： 收敛收敛 有界有界 nx nx注注第18页/共30页极限的唯一性极限的唯一性第19页/共30页2、唯一性、唯一性定理定理2 2 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. .证证,lim,limbxaxnnnn 又又设设由定义由定义,使得使得., 021NN ;1 axNnn时恒有时恒有当当;2 bxNnn时恒有时恒有当当 ,max21NNN 取取时有时有则当则当Nn )()(axbxbann axbxnn .2 .时才能成立时才能成立上式仅当上式仅当ba 故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.上一页目录下一页退 出第20页/共30页例例5.)1(1是发散的是发散的证明数列证明数列 nnx证证,limaxnn 设设由定义由定义,21 对于对于,21,成立成立有有时时使得当使得当则则 axNnNn),21,21(, aaxNnn时时即当即当区间长度为区间长度为1.,1, 1两个数两个数无休止地反复取无休止地反复取而而 nx不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的的区间内区间内., ,但却发散但却发散是有界的是有界的事实上事实上nx上一页目录下一页退 出第21页/共30页 3、保号性 定理3 若 =a,a0（或a0），则N0,当nN时, 0（或 0）.limnnxnxnx证证 由极限定义由极限定义 ，对，对 ， ，当，当时，时， ，即，即 ，故当，故当 时时 ， .类似可证类似可证 的情形的情形.02a 0N nN 2naxa 322naxa nN 02nax 0a上一页目录下一页退 出第22页/共30页3、子数列的收敛性、子数列的收敛性 的子数列（或子列）的子数列（或子列）的一个数列称为原数列的一个数列称为原数列到到中的先后次序，这样得中的先后次序，这样得这些项在原数列这些项在原数列保持保持中任意抽取无限多项并中任意抽取无限多项并定义：在数列定义：在数列nnnxxx,21nixxxx,21knnnxxx .knxxxkxxkknnnnkkk 项，显然，项，显然，中却是第中却是第在原数列在原数列而而项，项，是第是第中，一般项中，一般项在子数列在子数列注意：注意：例如，例如，上一页目录下一页退 出第23页/共30页定理定理4 4 收敛数列的任一子数列也收敛且极限收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同相同证证 的任一子数列的任一子数列是数列是数列设数列设数列nnxxk,limaxnn ., 0, 0 axNnNn恒有恒有时时使使,NK 取取,时时则当则当Kk .NnnnKkk . axkn.limaxknk 证证毕毕上一页目录下一页退 出第24页/共30页定义定义5 数列数列xn的项若满足的项若满足x1x2xnxn+1,则称则称数列数列xn为为单调增加数列单调增加数列; 若满足若满足x1x2xnxn+1,则称数列则称数列xn为为单调单调减少数列减少数列; 当上述不等式中等号都不成立时当上述不等式中等号都不成立时,则分别称则分别称xn 是是严格单调增加和严格单调减少数列严格单调增加和严格单调减少数列.收敛准则收敛准则 单调增加且有上界的数列必有极限单调增加且有上界的数列必有极限;单调减少有下界的数列必有极限单调减少有下界的数列必有极限.三、收敛准则上一页目录下一页退 出第25页/共30页.)11(,)111()11(,111,11)1()(1()(,0.)11(.)11(5111111是单调增加的是单调增加的即数列即数列得得代入代入取取即即有有时时当当单调增加且有上界单调增加且有上界只需证明只需证明证证收敛收敛证明数列证明数列例例nnnnnnnnnnnnnnnnnnbnabnabnaabanbabbaabababann 上一页目录下一页退 出第26页/共30页enennnnnnnnnnbnannnnnnnnnn)11 (lim,)11()11(,)11(, 2 , 1, 4)211 (4)211 ()1211 (, 2 , 1, 4)211 (, 2)211 (,1,2112122即的极限记为将收敛由收敛准则可知有界即数列成立对一切所以又由于从而得代入取上一页目录下一页退 出第27页/共30页五、小结数列数列: :研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限: :极限思想、精确定义、几何意义极限思想、精确定义、几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质: :有界性、唯一性、子数列的收敛性有界性、唯一性、子数列的收敛性.上一页目录下一页退 出第28页/共30页一、一、 利用数列极限的定义证明利用数列极限的定义证明: : 1 1、231213lim nnn； 2 2、19.999. 0lim n二、二、 设数列设数列nx有界，又有界，又0lim nny， 证明：证明：0lim nnnyx. .练练 习习 题题上一页目录下一页退 出第29页/共30页感谢您的观看。第30页/共30页