第六章静定结构的位移计算PPT课件

AAAPAxAyt 第1页/共57页铁路工程技术规范规定: (1) 刚度要求在工程上，吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度 1/700 和1/900跨度高层建筑的最大位移 1/1000 高度。 最大层间位移 1/800 层高。(2) 超静定、动力和稳定计算(3）施工要求第2页/共57页（3）理想联结 (Ideal Constraint)。（principle of superposition)(1) 线弹性 (Linear Elastic),(2) 小变形 (Small Deformation), (Dummy-Unit Load Method)第3页/共57页 (Principle of Virtual Work)一、功(Work)、实功(Real Work)和虚功(Virtual Work)力力作用点沿力方向上的位移力在自身所产生的位移上所作的功PPW21力在非自身所产生的位移上所作的功tPWPCtt第4页/共57页 (Principle of Virtual Work)一、功(Work)、实功(Real Work)和虚功(Virtual Work)1P11122P21221P2P12位移状态（虚力状态）（虚位移状态）（1）属同一体系；（2）均为可能状态。即位移 应满足变形协调条件； 力状态应满足平衡条件。 （3）位移状态与力状态完全无关；第5页/共57页 (Principle of Virtual Work)二、广义力(Generalized force)、广义位移(Generalized displacement) P PWMW MABMMMMMMWBABA)(PPABPPPPWBABA)(P1 P2 第6页/共57页（1）质点系的虚位移原理具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的必要和充分条件是：1PF2NF1NF2PF1m2mfi ri=0对于任何可能的虚位移，作用于质点系的主动力所做虚功之和为零。也即第7页/共57页（2）刚体系的虚位移原理 去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是： 对于任何可能的虚位移，作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零。P0 AX2/PYB 2/PYA 23/2023222 PPP第8页/共57页原理的表述： 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功We，恒等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和Wi。也即恒有如下虚功方程成立We =Wi（3）变形体的虚功原理第9页/共57页 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功We,恒等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和Wi。变形体虚功原理的证明: xq1.利用变形连续性条件计算 所有微段的外力虚功之和 W微段外力分为两部分体系外力相互作用力微段外力功分为两部分体系外力功dWe相互作用力功dWn微段外力功 dW= dWe+dWn所有微段的外力功之和: W=dWe+dWn =dWe =We2.利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和 W微段外力功分为两部分在刚体位移上的功dWg在变形位移上的功dWi微段外力功 dW= dWg+dWi所有微段的外力功之和: W=dWi =Wiabab微段位移分为两部分刚体位移变形位移baab baba 故有We=Wi成立。abab b第10页/共57页 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功We,恒等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和Wi。变形体虚功原理的证明: xq1.利用变形连续性条件计算 所有微段的外力虚功之和 W微段外力分为两部分体系外力相互作用力微段外力功分为两部分体系外力功dWe相互作用力功dWn微段外力功 dW= dWe+dWn所有微段的外力功之和: W=dWe+dWn =dWe =We2.利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和 W微段外力功分为两部分在刚体位移上的功dWg在变形位移上的功dWi微段外力功 dW= dWg+dWi所有微段的外力功之和: W=dWi =Wiabab微段位移分为两部分刚体位移变形位移baab baba 故有We=Wi成立。abab b几个问题:1. 虚功原理里存在两个状态： 力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调条件。因此原理仅是必要性命题。2. 原理的证明表明:原理适用于任何 (线性和非线性)的变形体，适用于任何结构。3. 原理可有两种应用： 实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态，将平衡问题化为几何问题来求解。 实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态，将位移分析化为平衡问题来求解。第11页/共57页Wi 的计算:Wi =N+Q+Mds微段外力: 微段变形可看成由如下几部分组成:（4）变形体虚功方程的展开式MdMM NdNN QdQQqds微段剪切ds微段拉伸dsds微段弯曲对于直杆体系，由于变形互不耦连，有:We =N+Q+Mds外力功也就等于内力功，即第12页/共57页 1）虚功原理用于虚设的协调位移状态与实际的平衡力状态之间。例. 求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。解：去掉A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态.ABaC(a)bPX(b)PX C (c)直线待分析平衡的力状态虚设协调的位移状态0CXPX由外力虚功总和为零，即：baCX/将代入得:abPX/通常取xX 1单位位移法(Unit-Displacement Method)(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是实际受力状态的平衡方程(2)虚位移与实际力状态无关,故可设(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。(4)用几何法来解静力平衡问题0 BM1 x第13页/共57页例. 求 A 端支座发生竖向位移 c 时引起C点的竖向位移 . 2）虚功原理用于虚设的平衡力状态与实际的协调位移状态之间。解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之点（C点）沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载。ABaCbAC c1ABCAY由 求得： 0BMabYA/ 01cYAacb/解得： 这是单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method)它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出，故也称为Maxwell-Mohr Method(1)所建立的虚功方程,实质上是几何方程。(2)虚设的力状态与实际位移状态无关，故可设单位广义力 P=1(3)求解时关键一步是找出虚力状态的静力平衡关系。(4)是用静力平衡法来解几何问题。虚功方程为：第14页/共57页单位位移法的虚功方程 平衡方程单位荷载法的虚功方程 几何方程 第一种应用一些文献称为“虚位移原理”，而将第二种应用称为“虚力原理”。更确切的说法为，两种应用的依据是上述两原理的必要性命题。上述两原理都是充分、必要性命题，它们和虚功原理是有区别的。 虚位移原理:一个力系平衡的充分必要条件是:对 任意协调位移,虚功方程成立. 虚力原理:一个位移是协调的充分必要条件是:对 任意平衡力系,虚功方程成立”。第15页/共57页 3.3 荷载作用产生的位移计算一.单位荷载法kiP1P求k点竖向位移.由变形体虚功方程:变形协调的位移状态(P)平衡的力状态(i)We =Wi We =P iPWi =NiP +QiP +MiP ds iP =NiP +QiP +MiP ds 适用于各种杆件体系(线性,非线性).第16页/共57页 3.3 荷载作用产生的位移计算一.单位荷载法kiP1P求k点竖向位移.变形协调的位移状态(P)平衡的力状态(i)iP =NiP +QiP +MiP ds -适用于各种杆件体系(线性,非线性).对于由线弹性直杆组成的结构，有：EIMGAQkEANPPPPPP , ,dsEIMMGAQkQEANNiPPPipii 适用于线弹性直杆体系,第17页/共57页qPQPM1 PiQiMxl dsEIMMGAQkQEANNiPPPipii 例 1：已知图示粱的E 、G,求A点的竖向位移。解：构造虚设单位力状态.0)(, 0)(xNxNPi)()(, 1)(xlqxQxQPi1Px2/)()(,)(2xlqxMlxxMPilhbqAdxEIxlqGAkxlql2)()(03)(8242EIqlGAqkl)(5 . 2/,10/1/, 5/6,12/,3钢砼GElhkbhIbhAGAqklEIqlQM2,8:24设24GAlEIkMQ1001MQ 对于细长杆,剪切变形对位移的贡献与弯曲变形相比可略去不计.第18页/共57页例 2：求曲梁B点的竖向位移(EI、EA、GA已知)ROBAP解：构造虚设的力状态如图示RddsNPNQPQRMPRMiPiPiPsin,sincos,cossin,sinP=1RPRPMPNPQdsEIMMGAQkQEANNiPPPipii )(4443EIPRGAkPREAPR)(5 . 2/,10/1/, 5/6,12/,3钢砼GERhkbhIbhAEAPRGAkPREIPRNQM4,4,4:3设12001MN4001MQ 小曲率杆可利用直杆公式近似计算;轴向变形,剪切变形对位移的影响可略去不计第19页/共57页 3.3 荷载作用产生的位移计算一.单位荷载法1.梁与刚架二.位移计算公式dsEIMMiPip 2.桁架dsEANNiPip EAlNNiP3.组合结构 EIlNNdsEIMMiPiPip4.拱dsEANNEIMMiPiPip第20页/共57页解：例:求图示桁架(各杆EA相同)k点水平位移.Paak100PPP2NP11122NiEAlNNiPkx)()21 (2222) 1)() 1)(1EAPaaPaPaPEA练习:求图示桁架(各杆EA相同)k点竖向位移.aaPk1110200P2PNPNiEAlNNiPkx)()221 (2)2)(2(11EAPaaPaPEA第21页/共57页例: 1)求A点水平位移 3.3 荷载作用产生的位移计算一.单位荷载法二.位移计算公式 所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位广义力在所求广义位移上做功.三.单位力状态的确定PAB2)求A截面转角3)求AB两点相对水平位移4)求AB两截面相对转角1P1P1P1P第22页/共57页 在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍计算位移的图乘法. EIsMMPiPd (Graphic Multiplication Method and its Applications)刚架与梁的位移计算公式为：第23页/共57页一、图乘法sEIMMPdsMMEIPd1xMxEIPdtan1 xxMEIPdtan ccyEIxEI 1tan(对于等截面杆)(对于直杆) xMMEIPd1)tan( xM 图乘法求位移公式为: EIycip 图乘法的适用条件是什么?第24页/共57页例. 试求图示梁B端转角.解:sEIMMPBdEIycABP2/ l2/ lEIBAB1M4/Pl1MPMi)(1612142112EIPlPllEI为什么弯矩图在杆件同侧图乘结果为正?第25页/共57页例. 试求图示结构B点竖向位移.解:sEIMMPBydEIycPlMPMi)(34)3221(13EIPlllPlllPlEI1lPEIBEIll第26页/共57页二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法C2nl2)1(nln1nhl h二次抛物线第27页/共57页M图21EIqlqllEIB3224121)8132(1（ ）PM图281qlBAq1例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角B解:第28页/共57页三、图形分解B求1ABmkN 20mkN 40m10EI4020MPMiABmkN 20ABmkN 4040203/23/1)(3500)3120102132401021(1EIEIB第29页/共57页三、图形分解B求1ABmkN 20mkN 40m10EI4020MPMi3/22/1)(3500)21201032201021(1EIEIB)(3500)322020(110211EIEIB 当两个图形均为直线图形时,取那个图形的面积均可.第30页/共57页)(16)431212214212243221221(12EIPlPllPlllPllEIB4/PlMP三、图形分解B求1Mi)(16)21421(12EIPlPllEIB 取 yc的图形必须是直线,不能是曲线或折线.AB2/ lEI2/ lP2/1能用 Mi图面积乘MP图竖标吗?第31页/共57页三、图形分解B求1ABmkN 20mkN 40m10EIMPMi)(100)203260(110211EIEIB)(100)21102032601021(1EIEIB402060204020)(100)31102032401021(1EIEIB第32页/共57页三、图形分解B求1MPMi)(24) 13242121832(1322EIqlqllqllEIBAB4/2qllEIq42ql8/2qlq8/2ql第33页/共57页三、图形分解C求C截面竖向位移MPMi)(404819)16332323421163218)4/(432163323234321163218)4/3(4332(142222EIqllqllllqllqllllqlEIB16/3l8/2ql4/3l4/ lABEIqC1P32/32qlq32/32ql4/3lq32/32qlq32/32ql4/ lq32/32ql8/) 4/3 (2lq8/) 4/(2lq第34页/共57页三、图乘法小结1. 图乘法的应用条件：（1）等截面直杆，EI为常数；（2）两个M图中应有一个是直线；（3） 应取自直线图中。cy2. 若 与 在杆件的同侧， 取正值；反之，取负值。cycy3. 如图形较复杂，可分解为简单图形.第35页/共57页 例 1. 已知 EI 为常数，求C、D两点相对水平位移 。CD 三、应用举例AlqBhq8/2qlh11hMPiM)(12832132EIqhlhlqlEIEIycCD 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图CD第36页/共57页 例 2. 已知 EI 为常数，求铰C两侧截面相对转角 。C三、应用举例解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图AlqBlClq4/ql4/qlMP110l /11iM)(2421832132EIqlqlEIEIycCD4/2ql4/2ql第37页/共57页 例 3. 图示梁EI 为常数，求C点竖向位移。三、应用举例iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(1285)48224328331(1322EIqllqllllqlEIEIycC8/2ql)(241221231132EIqllqllEIEIycc第38页/共57页32/2ql 例 4. 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。三、应用举例iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(38417)2318221232222122132232(14222EIqllqlllqlllqllEIEIycc8/2qlq8/2ql2/2ql2/2ql8/2ql第39页/共57页 例 4. 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(38417)2218223242212438231(14222EIqllqlllqlllqllEIEIycc8/2qlq8/2ql2/qlq8/2ql4/2ql2/ql8/2ql8/2ql第40页/共57页4. 5 静定结构温度变化时的位移计算变形体虚功方程为:We =Wi We =1kPWi =MikPds kP =MikPds 其中:荷载作用求K点竖向位移./EIkPPMWe =1kP温度作用求K点竖向位移.Wi =Nit + Qit +Mikt ds 关键是计算微段的温度变形第41页/共57页设温度沿杆件截面高度线性变化，杆轴温度 ，上、下边缘的温差 ,线膨胀系数为 .0tt12tttstutdd0 hththtthhtt211212110 )(微段的温度变形分析hsttdd 无剪应变hsMtsNthstMstNdskMQNiiitttKydddd)(iitii00若,/ 221hhh2120/)(ttt第42页/共57页MiithtlNt)(0温度引起的位移计算公式:hsMtsNtiitddi0对等 截 面 直 杆:上式中的正、负号：若 和 使杆件的同一边产生拉伸变形，其乘积为正。 Mt 第43页/共57页例： 刚架施工时温度为20 ，试求冬季外侧温度为 -10 ，内侧温度为 0 时A点的竖向位移 。已知 l=4 m, ,各杆均为矩形截面杆，高度 h=0.4 mC0C0C0Ay 510 解：构造虚拟状态CtCt0001030202522002010)(,)()(iiAyhtlNt0lMi1Nil )(125llhllh10121101)(.m0050第44页/共57页例： 求图示桁架温度改变引起的AB杆转角.解：构造虚拟状态lNtiAB0Ni41aat)/(a4ttttaABa21a210a/1a/1a/1a/1a/1)( t 4第45页/共57页1c2c3cKKKC1K1R2R3R变形体虚功方程为:We =Wi We =1kC+R1 C1 +R2 C2+R3 C3Wi =0 其中:计算公式为:iiicCR第46页/共57页例1：求?CxCBAP=11AX1CY1AY解：构造虚设力状态1c2c3cCBAll)()111 (321321CCCCCCCx第47页/共57页解：构造虚设力状态( )rad .)(00750211BxByiiAhlcR例 2：已知 l=12 m , h=8 m , m 04. 0Bx m 06. 0By ?A , 求第48页/共57页制造误差引起的位移计算)(.)(mmA272348118每个上弦杆加长8mm,求由此引起的A点竖向位移.118/mm4886m11A1118/118/118/第49页/共57页线弹性结构的互等定理1. 功的互等定理:方法一22212111112121 PPPW11 11 2P12 22 2第 I 状态12 2P11 21 222 12 2P22 2第 状态11121222222121 PPPW由W1=W 2212121 PP先加广义力P1后再加广义力P2先加广义力P2后再加广义力P1第50页/共57页线弹性结构的互等定理1. 功的互等定理:方法一22212111112121 PPPW先加广义力P1,后加广义力P2。11 11 2P12 22 2第 I 状态12 2P11 21 222 12 2P22 2第 状态先加广义力P2,后加广义力P1。11121222222121 PPPW由W1=W 2212121 PP功的互等定理第51页/共57页方法二由虚功原理12 2P2第 II 状态第 I 状态21 12112 PWsEIMMEANNGAQQkd)(21212121221 PWsEIMMEANNGAQQkd)(121212212121 PP第52页/共57页212121 PP2. 位移互等定理:12212P/122PP /2第 II 状态第 I 状态21121P/12 2P2第 II 状态第 I 状态21 121212PP/2112 第53页/共57页1212P2第 II 状态第 I 状态212112 单位广义力是量纲为一的量；互等不仅是指数值相等，且量纲也相同。如图示长 l ，EI 为常数的简支梁EIlB16221 EIlfc16212 第 II 状态12PACBCf第 I 状态B AC11PB跨中第54页/共57页3. 反力互等定理:由功的互等定理有：111221rr1221rr第55页/共57页4. 反力位移互等定理:2112 r第56页/共57页感谢您的观看！第57页/共57页