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word导数的根底知识一导数的定义：2.利用定义求导数的步骤：求函数的增量：；求平均变化率：；取极限得导数：下面内容必记二、导数的运算：1根本初等函数的导数公式与常用导数运算公式：； ； 法如此1：；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).法如此2：(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号)法如此3：(口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)2复合函数的导数求法：换元，令，如此分别求导再相乘回代题型一、导数定义的理解题型二：导数运算1、，如此2、假如，如此3.=ax3+3x2+2 ，如此a=三导数的物理意义1.求瞬时速度：物体在时刻时的瞬时速度就是物体运动规律在 时的导数，即有。2.Vs/(t)表示即时速度。a=v/(t) 表示加速度。四导数的几何意义：函数在处导数的几何意义，曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是：。题型三用导数求曲线的切线注意两种情况：1曲线在点处切线：性质：。相应的切线方程是：2曲线过点处切线：先设切点，切点为 ,如此斜率k=，切点 在曲线上，切点在切线上，切点坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=，确定切线方程。例题在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程；解析：1当x0=-1时，k有最小值3，此时P的坐标为-1，-14故所求切线的方程为3x-y-11=0五函数的单调性：设函数在某个区间内可导，1该区间内为增函数； 2该区间内为减函数；注意：当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正或负时，在这个区间上仍是递增或递减的。3在该区间内单调递增在该区间内恒成立；4在该区间内单调递减在该区间内恒成立；题型一、利用导数证明或判断函数f(x)在某一区间上单调性：步骤： 1求导数 (2)判断导函数在区间上的符号(3)下结论该区间内为增函数； 该区间内为减函数；题型二、利用导数求单调区间求函数单调区间的步骤为：1分析 的定义域； 2求导数 3解不等式，解集在定义域内的局部为增区间4解不等式，解集在定义域内的局部为减区间题型三、利用单调性求参数的取值转化为恒成立问题思路一.1在该区间内单调递增在该区间内恒成立；2在该区间内单调递减在该区间内恒成立；思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，如此中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。注意：假如函数fx在a，c上为减函数，在c，b上为增函数，如此x=c两侧使函数x变号，即x=c为函数的一个极值点，所以例题假如函数，假如如此( )A. a b c B. c b a C. c a b D. b a 0,ex-a0,exa,xlna.f(x)的单调递增区间为(lna,+).2fx在R内单调递增，0在R上恒成立.ex-a0，即aex在R上恒成立.aexmin，又ex0，a0.3 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.=0,即e0-a=0,a=1.例2. 函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，假如x=时，y=f(x有极值.1求a,b,c的值；2求y=f(x在-3，1上的最大值和最小值.解 1由f(x)=x3+ax2+bx+c,得=3x2+2ax+b,当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0 当x=时，y=f(x)有极值，如此=0,可得4a+3b+4=0 由解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,f(1)=4.1+a+b+c=4.c=5.2由1可得f(x)=x3+2x2-4x+5,=3x2+4x-4,令=0,得x=-2,x=.当x变化时，y,y的取值与变化如下表：x-3(-3,-2)-21 y+0-0+y8单调递增13单调递减单调递增4y=fx在-3，1上的最大值为13，最小值为例3.当 ，证明不等式.证明：，如此，当时。在内是增函数，即，又，当时，在内是减函数，即，因此，当时，不等式成立.点评：由题意构造出两个函数，.利用导数求函数的单调区间或求最值，从而导出是解决此题的关键.七定积分求值1定积分的概念 设函数在区间上连续，如此：分割：等分区间；近似代替：取点；求和：；取极限：；在轴上方的面积取正，下方的面积取负 变速运动路程； 变力做功 4定积分的性质性质1 其中k是不为0的常数 性质2性质3 定积分对积分区间的可加性 函数是上的一个原函数，即如此导数各种题型方法总结一关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、别离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法5、二次函数区间最值求法：1对称轴重视单调区间与定义域的关系 2端点处和顶点是最值所在二分析每种题型的本质，你会发现大局部都在解决“不等式恒成立问题以与“充分应用数形结合思想，创建不等关系求出取值X围。三同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的根底一、根底题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；1、此类问题提倡按以下三个步骤进展解决：第一步：令得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，2、常见处理方法有三种：第一种：别离变量求最值-用别离变量时要特别注意是否需分类讨论0,=0,0第二种：变更主元即关于某字母的一次函数-谁的X围就把谁作为主元；例1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，假如在区间D上，恒成立，如此称函数在区间D上为“凸函数，实数m是常数，1假如在区间上为“凸函数，求m的取值X围；2假如对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数，求的最大值.解:由函数 得1在区间上为“凸函数，如此 在区间0,3上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于解法二：别离变量法：当时, 恒成立, 当时, 恒成立等价于的最大值恒成立，而是增函数，如此(2)当时在区间上都为“凸函数如此等价于当时 恒成立变更主元法 再等价于在恒成立视为关于m的一次函数最值问题-22例2：设函数 求函数fx的单调区间和极值； 假如对任意的不等式恒成立，求a的取值X围.二次函数区间最值的例子解：3aaa3a令得的单调递增区间为a,3a令得的单调递减区间为，a和3a，+当x=a时，极小值= 当x=3a时，极大值=b. 由|a，得：对任意的恒成立如此等价于这个二次函数的对称轴放缩法即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。上是增函数. 9分于是，对任意，不等式恒成立，等价于 又点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴重视单调区间与定义域的关系第三种：构造函数求最值题型特征：恒成立恒成立；从而转化为第一、二种题型例3；函数图象上一点处的切线斜率为，求的值；当时，求的值域；当时，不等式恒成立，某某数t的取值X围。解：， 解得由知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减又的值域是令思路1：要使恒成立，只需，即别离变量思路2：二次函数区间最值二、函数在某个区间上的单调性求参数的X围解法1：转化为在给定区间上恒成立， 回归根底题型解法2：利用子区间即子集思想；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集； 做题时一定要看清楚“在m,n上是减函数与“函数的单调减区间是a,b，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集例4：，函数如果函数是偶函数，求的极大值和极小值；如果函数是上的单调函数，求的取值X围解：. 是偶函数，. 此时， 令，解得：. 列表如下：(,2)2(2,2)2(2,+)+00+递增极大值递减极小值递增可知：的极大值为，的极小值为. 函数是上的单调函数，在给定区间R上恒成立判别式法如此解得：. 综上，的取值X围是. 例5、函数 I求的单调区间； II假如在0，1上单调递增，求a的取值X围。子集思想I 1、 当且仅当时取“=号，单调递增。 2、a-1-1单调增区间： 单调增区间：II当 如此是上述增区间的子集：1、时，单调递增 符合题意2、，综上，a的取值X围是0，1。 三、根的个数问题提型一 函数f(x)与g(x)或与x轴的交点=即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图即解导数不等式和“趋势图即三次函数的大致趋势“是先增后减再增还是“先减后增再减；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式组；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式组即可；例6、函数，且在区间上为增函数（1） 某某数的取值X围；（2） 假如函数与的图象有三个不同的交点，某某数的取值X围解：1由题意在区间上为增函数，在区间上恒成立别离变量法即恒成立，又，故的取值X围为2设，令得或由1知，当时，在R上递增，显然不合题意当时，随的变化情况如下表：极大值极小值由于，欲使与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实根，故需，即，解得综上，所求的取值X围为根的个数知道，局部根可求或。例7、函数1假如是的极值点且的图像过原点，求的极值；2假如，在1的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点？假如存在，求出实数的取值X围；否如此说明理由。高1考1资1源2网解：1的图像过原点，如此，又是的极值点，如此-12设函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点，等价于有含的三个根，即：整理得：即：恒有含的三个不等实根计算难点来了：有含的根，如此必可分解为，故用添项配凑法因式分解， 十字相乘法分解：恒有含的三个不等实根等价于有两个不等于-1的不等实根。题型二：切线的条数问题=以切点为未知数的方程的根的个数例7、函数在点处取得极小值4，使其导数的的取值X围为，求：1的解析式；2假如过点可作曲线的三条切线，某某数的取值X围1由题意得：在上；在上；在上因此在处取得极小值，由联立得：，2设切点Q，过令，求得：，方程有三个根。需：故：；因此所某某数的X围为：题型三：在给定区间上的极值点个数如此有导函数=0的根的个数解法：根分布或判别式法例8、解：函数的定义域为当m4时，f (x) x3x210x，x27x10，令 ， 解得或.令 ， 解得可知函数f(x)的单调递增区间为和5，单调递减区间为x2(m3)xm6, 1要使函数yf (x)在1，有两个极值点,x2(m3)xm6=0的根在1，根分布问题：如此， 解得m3例9、函数，1求的单调区间；2令x4fxxR有且仅有3个极值点，求a的取值X围解：1当时，令解得，令解得，所以的递增区间为，递减区间为.当时，同理可得的递增区间为，递减区间为.2有且仅有3个极值点=0有3个根，如此或，方程有两个非零实根，所以或而当或时可证函数有且仅有3个极值点其它例题：一最值问题与主元变更法的例子.定义在上的函数在区间上的最大值是5，最小值是11.求函数的解析式；假如时，恒成立，某某数的取值X围.解： 令=0,得因为，所以可得下表：0+0-极大因此必为最大值,因此， ， 即，等价于， 令，如此问题就是在上恒成立时，某某数的取值X围，为此只需，即， 解得，所以所某某数的取值X围是0，1.二根分布与线性规划例子例：函数() 假如函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行,求的解析式；() 当在取得极大值且在取得极小值时, 设点所在平面区域为S, 经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两局部, 求直线L的方程.解：().由, 函数在时有极值 ,又在处的切线与直线平行, 故 . 7分 () 解法一: 由 与在取得极大值且在取得极小值, 即 令, 如此 故点所在平面区域S为如图ABC, 易得, , , , , 同时DE为ABC的中位线, 所求一条直线L的方程为:另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两局部, 设直线L方程为,它与AC,BC分别交于F、G, 如此 , 由 得点F的横坐标为:由 得点G的横坐标为:即 解得: 或 (舍去) 故这时直线方程为:综上,所求直线方程为:或 .12分() 解法二: 由 与在取得极大值且在取得极小值, 即 令, 如此 故点所在平面区域S为如图ABC,易得, , , , , 同时DE为ABC的中位线, 所求一条直线L的方程为:另一种情况由于直线BO方程为:, 设直线BO与AC交于H , 由 得直线L与AC交点为:, , 所求直线方程为: 或三根的个数问题例 函数的图象如下列图。求的值；假如函数的图象在点处的切线方程为，求函数f ( x )的解析式；假如方程有三个不同的根，某某数a的取值X围。解：由题知：由图可知函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且= 0得依题意= 3 且f ( 2 ) = 5解得a = 1 , b = 6 所以f ( x ) = x3 6x2 + 9x + 3依题意f ( x ) = ax3 + bx2 ( 3a + 2b )x + 3 ( a0 )= 3ax2 + 2bx 3a 2b由= 0b = 9a假如方程f ( x ) = 8a有三个不同的根，当且仅当满足f ( 5 )8af ( 1 ) 由得 25a + 38a7a + 3a3 所以当a3时，方程f ( x ) = 8a有三个不同的根。 12分四根的个数问题例：函数 1假如函数在处取得极值，且，求的值与的单调区间； 2假如，讨论曲线与的交点个数 解：12分令得令得的单调递增区间为，单调递减区间为5分2由题得即令6分令得或7分当即时此时，有一个交点；9分当即时，,当即时,有一个交点；当即时，有两个交点； 当时，有一个交点13分综上可知，当或时，有一个交点； 当时，有两个交点14分五简单切线问题函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数 假如函数在处有极值，求的解析式； 假如函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，某某数的取值X围15 / 15
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