2018-2019学年高中物理 第5章 万有引力定律及其应用 第1节 万有引力定律及引力常量的测定学案 鲁科版必修2

第1节万有引力定律及引力常量的测定学习目标核心提炼1.了解开普勒三定律的内容。2.掌握万有引力定律的内容、表达式及适用条件，并会用其解决简单的问题。3.了解引力常量G，知道其测定方法及意义。4.会用万有引力定律计算天体质量。4个定律开普勒第一、二、三定律，万有引力定律1种方法“月地”检验1个常量万有引力常量G6.671011 m3/(kgs2)一、行星运动的规律阅读教材第8990页“行星运动的规律”部分，知道开普勒行星运动定律的内容。开普勒行星运动的三个定律定律名称内容对应图示第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上第二定律(面积定律)太阳与任何一个行星的连线(矢径)在相等的时间内扫过的面积相等第三定律(周期定律)行星绕太阳运行轨道半长轴r的立方与其公转周期T的平方成正比。数学表达式：k思维拓展如图1所示为地球绕太阳运动的示意图及春分、夏至、秋分、冬至时地球所在的位置。图1(1)太阳是否在轨道平面的中心？夏至、冬至时地球到太阳的距离是否相同？(2)一年之内秋、冬两季比春、夏两季为什么要少几天？答案(1)不是不相同(2)秋、冬两季比春、夏两季地球运动的快。二、万有引力定律阅读教材第9093页“万有引力定律”部分，知道万有引力定律的内容及表达式。1.万有引力定律内容自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的方向沿两物体的连线，引力的大小F与这两个物体质量的乘积m1m2成正比，与这两个物体间距离r的平方成反比公式FG，G6.671011_m3/(kgs2)，r指两个质点间的距离，对于匀质球体，就是两球心间的距离条件适用于两质点间的相互作用2.“月地”检验证明了地球与物体间的引力和天体间的引力具有相同性质，遵循同样的规律。思维拓展天体是有质量的，人是有质量的，地球上的其他物体也是有质量的。请思考：图2(1)任意两个物体之间都存在万有引力吗？“两个物体之间的距离r”指物体哪两部分间的距离？(2)地球对人的万有引力与人对地球的万有引力大小相等吗？答案(1)都存在质心间距离(2)相等三、引力常量的测定及其意义阅读教材第9395页“引力常量的测定及其意义”部分，知道引力常量的测定方法，了解其意义。1.测定：在1798年，英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验，较精确地测出了引力常量。2.意义：使万有引力定律能进行定量运算，显示出其真正的实用价值。3.知道G的值后，利用万有引力定律可以计算出天体的质量，卡文迪许也因此被称为“能称出地球质量的人”。对开普勒定律的认识要点归纳1.从空间分布上认识：行星的轨道都是椭圆，不同行星轨道的半长轴不同，即各行星的椭圆轨道大小不同，但所有轨道都有一个共同的焦点，太阳在此焦点上。因此开普勒第一定律又叫焦点定律。2.对速度大小的认识(1)如图3所示，如果时间间隔相等，即t2t1t4t3，由开普勒第二定律，面积SASB，可见离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率越大。因此开普勒第二定律又叫面积定律。图3(2)近日点、远日点分别是行星距离太阳的最近点、最远点，所以同一行星在近日点速度最大，在远日点速度最小。3.对周期长短的认识(1)行星公转周期跟轨道半长轴之间有依赖关系，椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长；反之，其公转周期越短。(2)该定律不仅适用于行星，也适用于其他天体。例如，绕某一行星运动的不同卫星。4.开普勒定律的近似处理：实际上，行星的轨道与圆十分接近，所以在中学阶段的研究中能够按圆处理。也就是说：(1)行星绕太阳运行的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。(2)对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度大小)不变，即行星做匀速圆周运动。(3)所有行星轨道半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。若用r表示行星轨道的半径，T代表公转周期，则k。精典示例例1 关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是()A.所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动B.行星绕太阳运动时，太阳位于行星轨道的中心处C.行星在椭圆轨道上绕太阳运动的过程中，其速度与行星和太阳之间的距离有关，距离小时速度小，距离大时速度大D.离太阳越近的行星运动周期越短解析不同行星绕太阳运动时的椭圆轨道不同，但有一个共同的焦点，即太阳位置，A、B均错误；由开普勒第二定律知行星离太阳距离小时速度大，距离大时速度小，C错误；运动的周期T与半长轴a满足k，D正确.答案D针对训练1 (2018金昌高一检测)行星的运动可看作匀速圆周运动，则行星绕太阳运动的轨道半径R的三次方与周期T的平方的比值为常量，即k，下列说法正确的是()A.公式k只适用于围绕太阳运行的行星B.围绕同一星球运行的行星或卫星，k值不相等C.k值与被环绕星球的质量和行星或卫星的质量都有关系D.k值仅由被环绕星球的质量决定解析公式k适用于所有环绕体围绕中心天体的运动，故A错误；围绕同一星球运行的行星或卫星，k值相等；围绕不同星球运行的行星或卫星，k值不相等，故B错误；常数k是由中心天体质量决定的，即仅由被环绕星球的质量决定，故C错误，D正确。答案D万有引力定律的理解及其应用要点归纳1.万有引力表达式FG的适用条件(1)两质量分布均匀的球体间的万有引力，可用公式计算，此时r是两个球体球心的距离。(2)个质量分布均匀球体与球外一个质点间的万有引力，可用公式计算，r为球心到质点间的距离。(3)两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，公式也适用。2.万有引力的“四性”特点内容普遍性万有引力是普遍存在于宇宙中任何有质量的物体(大到天体，小到微观粒子)间的相互吸引力，它是自然界中物体间的基本相互作用之一相互性两个物体相互作用的引力是一对作用力与反作用力，符合牛顿第三定律宏观性通常情况下，万有引力非常小，只有在质量巨大的天体间或天体与物体间，它的存在才有宏观的物理意义。在微观世界中，粒子的质量都非常小，粒子间的万有引力可以忽略不计特殊性两个物体间的万有引力，只与它们本身的质量、它们之间的距离有关，和所在空间的性质无关，和周围有无其他物体的存在无关精典示例例2 (多选)对于质量为m1和质量为m2的两个物体间的万有引力的表达式FG，下列说法正确的是()A.公式中的G是引力常量，它是由实验得出的，而不是人为规定的B.当两个物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大C.m1和m2所受引力大小总是相等的D.两个物体间的引力总是大小相等、方向相反的，是一对平衡力解析引力常量G是由英国物理学家卡文迪许运用构思巧妙的“精密”扭秤实验第一次测定出来的，所以选项A正确；两个物体之间的万有引力是一对作用力与反作用力，它们总是大小相等、方向相反，分别作用在两个物体上，所以选项C正确，D错误；公式FG适用于两质点间的相互作用，当两物体相距很近时，两物体不能看成质点，所以选项B错误。答案AC针对训练2 (多选)要使两物体间的万有引力减小到原来的，下列办法可以采用的是()A.使两物体的质量各减小一半，距离不变B.使其中一个物体的质量减小到原来的，距离不变C.使两物体间的距离增大为原来的2倍，质量不变D.使两物体间的距离和质量都减小为原来的解析由万有引力定律FG可知，A、B、C选项中两物体间的万有引力都将减少到原来的，而D选项中两物体间的万有引力保持不变，故应选A、B、C选项。答案ABC万有引力与重力的关系要点归纳1.地球表面上的重力与万有引力的关系图4如图4所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得FG。图中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力，F2就是物体的重力mg，故一般情况mgG。2.重力与纬度的关系(1)在赤道上：重力和向心力在一条直线上，Gm2Rmg(2)在两极上：F向0，Gmg(3)在一般位置：重力是万有引力的一个分力，Gmg。越靠近南北两极g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即mg。3.重力、重力加速度与高度的关系(1)地球表面物体的重力约等于地球对物体的万有引力，即mgG，所以地球表面的重力加速g。(2)地球上空h高度，万有引力等于重力，即mgG，所以h高度的重力加速度g。 精典示例例3 地球表面重力加速度为g，忽略地球自转的影响，在距地面高度为h的空中重力加速度是地面上重力加速度的几倍？已知地球半径为R。解析不计地球自转的影响，物体受到的重力等于物体受到的万有引力。设地球质量为M，物体质量为m，则地面上：mgG，h高处：mgG，解得：答案倍针对训练3 (2018佳木斯高一检测)某行星的质量与地球的质量比为a，半径比为b，则该行星表面与地球表面的重力加速度之比为()A. B. C.ab2 D.ab解析星球表面上万有引力与重力相等，在地球表面上mgG，某行星表面上mgG，由两式得，故B正确。答案B天体质量和密度的计算要点归纳1.天体质量的计算“自力更生法”“借助外援法”情景已知天体(如地球)的半径R和天体(如地球)表面的重力加速度g行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动思路物体的重力近似等于天体(如地球)与物体间的万有引力：mgG行星或卫星受到的万有引力充当向心力：Gm或Gm2r或Gmr结果天体(如地球)质量：M中心天体质量：M或M或M2.天体密度的计算(1)一般思路：若天体半径为R，则天体的密度，将质量代入可求得密度。(2)特殊情况卫星绕天体做半径为r的圆周运动，若天体的半径为R，则天体的密度，将M代入得：。当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则。已知天体表面的重力加速度为g，则。精典示例例4 我国航天技术飞速发展，设想数年后宇航员登上了某星球表面。宇航员从距该星球表面高度为h处，沿水平方向以初速度v抛出一小球，测得小球做平抛运动的水平距离为L，已知该星球的半径为R，引力常量为G。求：(1)该星球表面的重力加速度。(2)该星球的平均密度。思路探究(1)能否利用小球的运动情况求出该星球表面的重力加速度？(2)该星球表面的重力加速度与星球半径、星球质量的关系式为GM_。提示(1)小球做平抛运动，由Lvt及hgt2可以求得该星球表面的重力加速度g。(2)gR2解析(1)小球在星球表面做平抛运动，有Lvt，hgt2，解得g。(2)在星球表面满足mg又MR3，解得。答案(1)(2)求解天体质量的注意事项(1)计算天体质量的方法：M和M。不仅适用于计算地球和太阳的质量，也适用于其他中心星体。(2)注意R、r的区分。R指中心天体的球体半径，r指行星或卫星的轨道半径。若行星或卫星绕近中心天体轨道运行，则有Rr。针对训练4 过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的。该中心恒星与太阳的质量比约为()A. B.1 C.5 D.10解析根据Gmr得M，代入数据得恒星与太阳的质量比约为1.04，所以B项正确。答案B1.(物理学史的考查)(2016全国卷)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是()A.开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律B.开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C.开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D.开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律解析在天文观测数据的基础上总结出了开普勒天体运动三定律，找出了行星运动的规律，而牛顿发现了万有引力定律。答案B2.(对开普勒三定律的理解)关于开普勒对于行星运动规律的认识，下列说法正确的是()A.所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆B.所有行星绕太阳运动的轨道都是圆C.所有行星的轨道半长轴的二次方跟公转周期的三次方的比值都相同D.所有行星的公转周期与行星的轨道半径成正比解析由开普勒第一定律知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，选项A正确，B错误；由开普勒第三定律知所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，选项C、D错误。答案A3.(开普勒第三定律的应用)一颗小行星绕太阳做匀速圆周运动的半径是地球公转半径的4倍，则这颗小行星运转的周期是()A.4年 B.6年 C.8年 D.年解析根据开普勒第三定律，得，即T行T地1年8年，故选项C正确。答案C4.(对月地检验的理解)牛顿得出万有引力定律之前进行的月地检验是检验下列哪两个力属于同一性质力()A.太阳对地球的引力和太阳对其他行星的引力B.地球对太阳的引力和地球对月球的引力C.地球对其表面物体的引力和月球对表面物体的引力D.地球对月球的引力和地球对表面物体的引力解析月地检验是判断地球对月球的引力与地球对表面物体的引力是否为同一性质力，故选D。答案D5.(对万有引力定律的应用)航天员王亚平在“天宫一号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为()A.0 B. C. D.解析“天宫一号”飞船绕地球飞行时与地球之间的万有引力F引G，由于“天宫一号”飞船绕地球飞行时重力与万有引力相等，即mgG，故飞船所在处的重力加速度gG，故选项B正确，选项A、C、D错误。答案B6.(重力与高度的关系)(2018临沂高一检测)地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，若高空中某处的重力加速度为g，则该处距地球表面的高度为()A.(1)R B.RC.R D.2R解析设地球质量为M，则质量为m的物体在地球表面上重力mgG，在高度为h处的重力mgG。解以上两式得：h(1)R，A正确。答案A7.(天体质量和密度的计算)假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星。若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知万有引力常量为G。求：(1)该天体的密度；(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，该天体密度的另一表达式。解析(1)设卫星的质量为m，天体的质量为M，卫星贴近天体表面运动时有GmR，M，根据数学知识可知天体的体积为VR3故该天体的密度为(2)卫星距天体表面距离为h时，忽略自转有Gm(Rh)M答案(1)(2)基础过关1.如图1所示是行星m绕恒星M运行的示意图，下列说法正确的是()图1A.速率最大点是B点B.速率最小点是C点C.m从A点运动到B点做减速运动D.m从A点运动到B点做加速运动解析由开普勒第二定律可知A点速率最大，B点速率最小，故从A到B做减速运动，所以选项A、B、D错误，C正确。答案C2.月地检验的结果说明()A.地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同一种性质的力B.地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力不是同一种性质的力C.地面物体所受地球的引力，只与物体的质量有关D.月球所受地球的引力，只与月球的质量有关解析通过完全独立的途径得出相同的结果，证明地球表面上的物体受地球的引力和星球之间的引力是同一种性质的力，A正确，B错误；由万有引力公式FG知，引力与两个相互作用的星体的质量都有关系，C、D错误。答案A3.太阳系有八大行星，八大行星离太阳的远近不同，绕太阳运转的周期也不相同。下列反映周期与轨道半径关系的图象中正确的是()解析由开普勒第三定律知k，所以R3kT2，D正确。答案D4.(2018忻州高一检测)行星A、B的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半长轴分别为r1和r2，则A、B的公转周期之比为()A. B.C. D.无法确定解析由开普勒第三定律k得，所以，C正确。答案C5.某个行星的质量是地球质量的一半，半径也是地球半径的一半，那么一个物体在此行星表面上的重力是地球表面上重力的()A.倍 B.倍 C.4倍 D.2倍解析物体在某星球表面的重力等于万有引力G星GG2G2G地，故D正确。答案D6.两个大小相同的实心均质小铁球，紧靠在一起时它们之间的万有引力为F；若两个半径为小铁球2倍的实心均质大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为()A.2F B.4F C.8F D.16F解析设小铁球的半径为R，则两小球间：FGGG22R4，同理，两大铁球之间：FGG22(2R)416F。答案D7.火星半径是地球半径的一半，火星质量约为地球质量的，那么地球表面质量为m的人受到地球的吸引力约为火星表面同质量的人受到火星引力的多少倍？解析设火星半径为R，质量为M，则地球半径为2R，质量为9M。在地球表面人受到的引力FG，在火星表面人受到的引力FG；所以，即同质量的人在地球表面受到的引力是在火星表面受到的引力的倍。答案倍8.若地球绕太阳公转周期及其公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球公转周期和公转半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为()A. B. C. D.解析无论地球绕太阳公转还是月球绕地球公转，统一表示为Gmr，即M，所以，选项A正确。答案A能力提升9.(2018抚顺高一检测)未来世界中，在各个星球间进行远航旅行将成为一件小事。某一天，小华驾驶一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面做匀速圆周运动飞行，飞船只受到该行星引力的作用，已知万有引力常量为G，要测定该行星的密度，仅仅只需测出下列哪一个量()A.飞船绕行星运行的周期B.飞船运行的轨道半径C.飞船运行时的速度大小D.该行星的质量解析设行星的半径为R，质量为M，飞船的质量为m，飞船绕行星运行的周期为T，由万有引力提供向心力GmR，得M，行星的密度，只需测出飞船绕行星运行的周期即可测出其密度，故选项A正确。答案A10.(2018南昌高一检测)假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为()A. B.C. D.解析物体在地球的两极时，mg0G，物体在赤道上时，mgmRG，以上两式联立解得地球的半径R，地球的密度，故选项B正确，A、C、D错误。答案B11.一艘宇宙飞船飞近某一个不知名的行星，并进入该行星表面的圆形轨道，宇航员进行预定的考察工作。宇航员能不能仅用一只表通过测定时间来测定该行星的密度？如果可以，请说明理由并给出推导过程。解析使宇宙飞船靠近行星表面做匀速圆周运动，其轨道半径r近似等于行星自身的半径R，即rR设行星质量为M，宇宙飞船质量为m，若测出飞船运行的周期为T，则有mr联立解得M又行星的体积VR3所以即宇航员只需测出T就能求出行星的密度。答案见解析12.如图2所示为中国月球探测工程的标志，它以中国书法的笔触，勾勒出一轮明月和一双踏在其上的脚印，象征着月球探测的终极梦想。一位勤于思考的同学为探月宇航员设计了如下实验：在距月球表面高h处以初速度v0水平抛出一个物体，然后测量该平抛物体的水平位移为x。通过查阅资料知道月球的半径为R，引力常量为G，若物体只受月球引力的作用，请你求出：图2(1)月球表面的重力加速度g月；(2)月球的质量M；(3)环绕月球表面飞行的宇宙飞船的速率v是多少？解析(1)取水平抛出的物体为研究对象，有hg月t2，xv0t，联立解得g月。(2)取月球表面的物体m为研究对象，它受到的重力与万有引力相等，即mg月，得M。(3)环绕月球表面的宇宙飞船做匀速圆周运动半径为R，万有引力提供向心力，故有(m为飞船质量)，所以v。答案(1)(2)(3)16