函数模型及其在解决实际问题中的应用教育类毕业论文

毕业论文函数模型及其在解决实际问题中的应用Function Model and Its Application inSolving the Practical Problems 姓 名： 学 号： 系 别： 专 业： 年 级： 指导教师： 2021年1月4日摘要 本文论述了数学模型的概念、函数模型及其解题步骤，并对中学常见的函数建模类型归类分析，包括一次函数模型、二次函数模型、三角函数模型、指数函数模型以及对数函数模型，同时针对建立函数模型提出几点考前须知。 关键词：函数模型；实际问题；应用AbstractThis article discussed the concept of mathematical models and function model, as well as steps of solving problem in function model. Some common types in middle school were analyzed in this paper, including linear function model, quadratic objective function mode, trigonometric function model, exponential function model and logarithm functions model. At the same time, aiming at the construction of function model, some points for attention were put forward.Keywords: function model; practical problems; application目 录中英文摘要I引言11函数模型1 2应用函数模型解题的步骤12.1读懂题意， 加深理解12.2引进数学符号，建立函数模型22.3求解函数模型22.4复原模型23函数模型在中学数学中的应用23.1幂函数模型2一次函数模型33.1.2二次函数模型43.2三角函数模型53.3指数函数、对数函数模型74考前须知9结束语 10参考文献 11致谢 12引言2001年，2003年相继公布了?全日制义务教育数学课程标准实验稿?和?普通高中数学课程标准实验?，新课程标准下强调数学与人的开展和现实生活之间的联系，因此重视开展数学应用教学活动是十分有必要的。数学模型的思想方法在真正意义上将“学数学与“用数学紧密结合在了一起，因而数学模型的思想方法在今后的数学教学中必然起着不可替代的作用，它必定不可防止地成为解决问题的“新武器。数学模型是近些年开展起来的新学科，随着课改的深入开展，实际情景问题应运而生，并迅速开展成为命题的亮点、热点。纵观近几年的中考题和高考题，不难发现应用题的分数比重加大了，这些应用题多是围绕数学建模，考察学生应用数学解决实际问题的能力，其中不乏建立函数模型解决实际问题的题目。函数是中学最重要的根底内容之一，因此建立函数模型的思想方法成为解题的重要手段。本文就针对中学中建立函数模型这一思想方法以及它的实际应用展开讨论。1函数模型现在数学模型还没有一个统一的准确的概念，不过可以给出如下定义：所谓数学模型就是研究者依据研究目的，将所研究的客观事物的过程和现象的主要特征、主要关系，采用形式化的数学语言，概括或近似地表达出来的一种结构1。这里所说的结构必须是数学结构，也就是经过数学抽象后，保存下来的用数学符号、数字和数学概念等描述的纯关系的简化结构。在一定意义上，数学模型是对实际问题的抽象反映，它可能完整地反映了实际问题，但也可能实际问题中的某些局部在模型中表达不出来，此时数学模型近似地反映这些概括的特征。可见，实际问题是数学模型的现实原型，通过对实际问题进行数学抽象转化为数学模型，再在所得的模型上进行逻辑推理、数学演算，得出相应的数学结果，最后将得到的结果返回到实际问题中去，形成解答实际问题的最终答案。数学模型可以分为许多种，比方方程或不等式模型，平面几何模型，空间几何模型等等，其中函数模型是解决实际问题非常重要的一种思想方法。在中学数学中，函数占据着举足轻重的地位。数学和生活是相通的，其中函数就是刻画现实世界变量之间关系的一种非常重要的模型。当实际问题中的事物存在某种联系时，可以用某种关系将事物之间的这种联系表示出来，探索出来的这种关系往往是现实问题中的规律，而在数学中，所探索出来的数量关系或变化规律其实就是各种函数所构成的函数模型2。因此，建立函数模型实际上就是将实际问题中的数量关系抽象为数学函数关系，并确定变量的限制条件，构造相应的函数模型，再通过对函数模型的研究，使实际问题得以解决的一种过程。2 应用函数模型解题的步骤在应用函数模型解答实际问题时，一般要按照以下几步进行：2.1读懂题意，加深理解认真审题，弄清实际问题的根本情形，尤其要搞懂题目所涉及的一些实际问题中的名词术语，比方实际生活中的利率、利润、打折、保险金、保险费、纳税率、折旧率等概念。在明白实际背景之后，要加深对问题的理解，仔细分析问题中对象的属性、特征以及实际问题中的数量关系。2.2引进数学符号，建立函数模型舍去问题中修饰的语句，提取有用的信息，明确所要研究的实际问题中的关键性的对象和对象间关系，然后进行数学抽象，并用有关的数学概念、符号和表达式去刻画对象及对象间的数量关系，建立函数模型。2.3求解函数模型在所得函数模型的根底上，运用恰当的函数的性质或方程的观点，如函数的单调性、最值定理等进行逻辑推理、数学演算，得出相应的结果。2.4复原模型对模型得出的结果进行验证或评估，再将结果返回到实际问题中去，分析所得到的结果是否满足现实原型，由于实际问题可能存在条件的限定，所以必要时需要对结果进行取舍，最后得到实际问题的答案。用函数解决实际问题的步骤，可以用下列图进行更直观地表示：求出合理验证不合理抽象分析列 出解的合理性解释实际问题数学问题量、未知量、等量关系函数的解函数模型还 原图13 函数模型在中学数学中的应用函数是中学数学最重要的工具性知识之一，其涉及的内容十分广泛。在生产、生活实际中，有大量的实际问题必须依赖函数模型加以解决，比方经济中的利润最值问题，生物中的细胞分裂问题，测量问题等。虽然这些现实问题都可以通过函数模型得以解决，但是具体问题具体分析，不同的实际问题，还是需要运用不同的函数模型。下面具体分析各类函数模型在中学数学中的应用。3.1幂函数模型幂函数模型是指一类通过幂函数建立起来的数学模型。形如的函数叫做幂函数。在气象学、工程学等科学与生产实践中都蕴含着幂函数关系，这是一种应用十分广泛的函数模型。随着指数的不同，幂函数会表现出一些特殊的性质，就中学阶段而言，一次函数模型和二次函数模型是运用得最多也是最重要的两类幂函数模型。下面针对这两类特殊的幂函数模型作具体介绍。3.1.1一次函数模型一次函数模型：能用一次函数表达的数学模型叫做一次函数模型。一次函数是中学阶段一种重要的函数，它的解析式是，由解析式可以发现一次函数具有一些性质：函数值的改变量与相应自变量的改变量成正比，且比例为，所以当时，一次函数在上单调递增，当时，函数在上单调递减。近年来中考出现的实际应用设计题中的许多是通过构建一次函数模型来解决的。一次函数的解决题大致可以分为两类：一类是以行程问题为背景，考察路程与时间或速度在不同阶段的函数关系，这类试题一般会给出路程-时间或路程-速度的函数图象，需要考生数形结合，得出函数解析式。另一类是决策问题，探求最优解。这类题目往往与方程、不等式组结合在一起，需要灵活运用不等式组及一次函数的性质，确定自变量的值，进而对问题作出合理决策。有关一次函数的实际问题的自变量的取值范围总是隐藏在题目的条件中或需要用不等式来确定自变量的范围，有关一次函数的应用题知识面覆盖比拟大，包括一次函数的图象、性质、概念、解析式以及与方程、不等式结合建立一次函数模型。下面就以决策问题为例，来说明如何运用一次函数模型解答实际问题。例1 某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元，厂方在开展促销活动期间，先后向客户提供两种优惠方案:买一套西装送一条领带；西装和领带都按定价的90%付款，某商店老板现要购置西装20套，领带条。请你帮老板制定最省钱的购置方案3。解析 这是一道结合实际设计的商品经济问题，其背景是所熟知的购置问题。由题可知，问题是要设计出最省钱的购置方案，因此必须先要进行购置方案的设计，题目已经给出了两种优惠方案，。但是要注意第种方案的设计：同时选择，两种方案，具体说就是先按照方案购置20套西装，使免费得到的领带最多，再按方案购置余下的领带。根据三个方案，可以很容易地表示出购置总价钱与购置西装、领带之间的数量关系：方案需付费为：20套西装的总价钱+20条以外的领带的价钱，方案需付费为：西装和领带的总价钱90%；方案需付费为：20套西装的总价钱+20条以外的领带的总价钱90%。到此就会发现，这是一道建立一次函数模型解应用题的题目。将数量关系转化为数学符号，建立一次函数模型。方案需付费为：20020+-2040=元；方案需付费为：20020+400.9=36+3600元；方案需付费为：20020+-20400.9=36+3280元。接着根据三个一次函数，判断当自变量20变化时，选择什么方案最省钱。比拟方案和方案，无论取何值3600+3636+3280恒成立。所以方案比方案更省钱。这样问题就转化为了方案与方案的比拟。设。当时，可得，即当时，方案比方案更省钱。综合上面的讨论，可以得出结论：某商店老板要购置西装20套，领带条时，选择方案最省钱。总结 此题考查的知识点是一次函数模型的应用。解决问题时要先读懂题意，找到所求的量的等量关系，建立一次函数模型，然后根据自变量的变化范围，通过不等式确定购置方案。一般从实际生活中观测得到的数据间存在线性关系时，用一次函数加以解决。3.1.2二次函数模型二次函数模型即用二次函数表达的函数模型。二次函数的解析式有三种：一般式为；顶点式为，顶点为；交点式与轴为 。二次函数的图象是一条抛物线，具有对称性，并且这一函数在实数域上的单调性是有增有减的。运用二次函数的有关知识解决实际问题，是中考的热点之一，例如求销售利润的最值问题、几何图形变换中建立函数关系式的问题、以抛物线形为根底的实际问题都需要在实际的情景中去理解、分析所给的一系列数据，舍弃与解题无关的因素，建立数学模型。有关二次函数的应用题按照是否需要建立平面直角坐标系可以分为两类，一类不需要建立平面直角坐标系，这类题目关键是要求出二次函数的解析式，二次函数的解析式分为顶点式，一般式和交点式，要根据实际问题所给的条件选择适宜的解析式，接着只需运用二次函数的主要性质 ,如单调性、奇偶性、对称性、最值等，必要时结合二次函数图形求解出函数模型。另一类就是必须建立平面直角坐标系。这类题呈现的方式主要是以抛物线为根底的实际问题，如拱桥问题，首先要将拱桥抽象为抛物线，然后结合实际问题中的条件，建立坐标系求出抛物线的解析式。平面直角坐标系选择的一般原那么是使得出的二次函数的解析式最简单，因此要学会巧妙地选择直角坐标系的位置。综上可知不管是哪类二次函数模型题最终都是通过二次函数解析式来解决问题的。而且多数模型的答案与二次函数的顶点有关。下面就常见的篱笆圈地问题谈谈解题思路和方法。图2例2 如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为 ， 1要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少？ 2如果中间有是大于1的整数道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少？ 比拟12的结果，你能得到什么结论4？解析 这是中学常见的面积最值问题。问题1是要确定矩形的长，使矩形面积最大。根据矩形面积公式：矩形的面积=长宽，这样就找到了此题的函数关系式，然后根据函数的性质及自变量取值范围，求面积的最大值。现在关键是用数学符号将这一函数模型表示出来。题中已设长为，而长的篱笆即图形的周长，由图可以推出，矩形的宽可表示为。问题2类似于问题1，只不过在求长方形鸡场的宽时要记得50长的篱笆包括鸡场的长和条宽，因此此时长方形鸡场的宽表示为，完整解题如下:解 1依题意得即鸡场的长为25时，鸡场的面积到达最大，为2依题意得结论 由12两个问题可以看出，无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙，要使鸡场面积到达最大，长都要是25总结 利用二次函数可以解决实际生活中的许多求最大或最小值的问题。此题借助二次函数，进行数学建模，从而解决面积最值问题所以在处理相关图形面积最值问题时，一般是利用图形的面积公式，找出函数关系，建立模型，此时十分重要也是极易遗忘的是考虑自变量的取值范围，最后在自变量的取值范围内根据函数的性质、图像等求出函数最值。二次函数模型应用十分广泛，在中学数学中，二次函数模型经常是在解决用料最省、造价本钱最低、利润最大、物价、产量等问题时建立起来的。3.2三角函数模型能够用三角函数表达的数学模型即三角函数模型。比方正弦函数的解析式可表示为，其余五个三角函数的解析式与正弦函数类似。三角函数最显著的性质就是周期性和对称性，因此三角函数模型通常是用来描述客观世界中具有周期性变化现象的数学模型。在数学和其他学科领域中，三角函数模型具有非常广泛的应用,它是高中数学乃至高等数学的重要根底知识之一。将实际问题转化为与三角函数有关的问题，常见的形式有：求出三角函数的解析式；画出三角函数的图像以及利用函数的性质进行解题。这类题型常常与航海、测量角度、摆动、振动等问题联系在一起，也会涉及一些几何图形，题中常会出现坡度、仰角、俯角、视角、方向角和方位角等术语。解三角函数模型常出现的情形是：实际问题抽象后，量与未知量集中在一个、两个甚至几个三角形中，再使用正弦定理、余弦定理或三角函数的相关性质如周期性、最值、单调性、对称性等解题。为了解题方便，应尽量将或未知量集中在一个三角形中，而且通常设角为变量，之后再建立解三角形的数学模型。当然三角函数模型并不是只局限于以角为自变量，生活中许多实际问题中的事物之间也存在三角函数关系，这时就需要利用三角函数模型才能得以解决。下面以一个具体实例来表达三角函数模型的应用。图3OABEFHG例3 某一房地产开发商买了一块地，地形如下图AOB,近似如扇形，扇形AOB的半径约为R，中心角AOB约为60度，现在开发商准备把此地建设成为一个矩形的小区，即图中的EFGH，为了充分地利用土地，请问F选在什么位置时，矩形EFGH的面积最大，并求出这个最大值5 。解析 此题通过开发商建小区这个背景引入数学扇形、矩形、中心角等术语，可见这又是一道结合实际求矩形面积最值的问题，因此很自然立刻想到应该要构造矩形的面积函数，那么如何选择自变量才便于表达矩形的面积成了解决本道题的关键。同样是有关面积最值题目，此题不同于例2，如果仍以长或宽为自变量是无法解决问题的。其实题目中的“中心角60度已在暗示此题可能要用到三角函数。为了更直观地理解题意，此题需要结合图形，如图，可以很清楚发现连结OF可以构造出直角三角形，直角三角形是中学作用非常大的图形之一，此题就可以通过设角为自变量，用角表示出边，进而表示出矩形的面积函数。具体解答过程如下：解 如图，连结OF，设，那么在中，在中，由正弦定理可知，又设矩形EFGH的面积为S，那么 又，由余弦函数图像可知当，即时，矩形EFGH面积最大时，F为弧AB的中点，最大面积为总结 此题设角为变量，列出了一个关于正弦的三角函数，再通过和角公式、差角公式、正余弦有界定理等三角知识求出最值。简而言之就是研究面积与角之间的函数关系，建立三角函数模型。由本道题可以发现，在解答有关三角函数问题时，应尽量设角为自变量，并尽可能构造直角三角形，比方添加辅助线，甚至直接作高线，因为直角三角形是较为熟知的几何图形，直角三角形特殊的性质可以使边角关系很容易地找出，从而构造出应变量与自变量之间的函数关系，最终建立三角函数模型。其次，有时建立三角函数模型图形是必不可少的工具，图形的直观性会让解题者更快地找出边角关系。3.3指数函数、对数函数模型在数学中指数函数模型是指一类能用指数函数表达的数学模型，形如的函数叫做指数函数。类似地，对数函数模型：指能用对数函数表达的函数模型，形如的函数叫做对数函数。由于指数函数与对数函数互为反函数，在这里不妨将两者放在一起讨论。考虑底数时的情况：指数函数增长的特点是随着自变量的增大函数值增大的速度越来越快，而对数函数增长的特点恰恰相反，它随着自变量的增大，函数值增加的速度越来越小6。对应地，当时，也可以得出相似的结论，只不过此时两个函数都是单调递减的。在一定程度上指数函数、对数函数是具有相似性的，但是相似之中又存在某些差异，致使二者在实际问题中的应用也有所区别。由于指数函数这种爆炸性增长方式的特点，使得指数函数模型多适用于细胞分裂、人口增长、银行利润增长、银行储蓄等经济生活和社会生活问题中。而对数函数的增长方式常被形象地称为能量渐失，因此在价格与利润，收入与本钱、人口等生产、生活及航天等领域对数函数模型有着比拟广泛的应用。有关这两个函数模型构造的应用题中，题型一般可以分为给定函数模型和不给定函数模型这两类。如果是给定函数模型的题目难度一般不是很大，只需能够应用这两种函数的性质，套用相关公式，对问题进行定量分析就行了。如果是不给定函数模型的题目，比方以下给出的例4，就需要先建立相关函数模型。在建立函数模型方面，有的可以通过分步骤找规律得出函数关系式，有的那么须通过题目所给数据进行绘制局部函数图象，由图象的直观性以及的熟悉的函数图象来猜想可能是哪种函数模型，比方处理人口问题时，就必须先根据题目所给的数据绘出局部图像，看看类似于学过的哪种函数的图像，将可能的这几种函数进行误差比拟，最后确定出具体的误差最小的那个函数。要注意的是建立的函数模型与实际数据可能还会有一点点误差，但这是不可防止的，这样的模型称之为近似模型。例4 有按复利计算利息的一种储蓄，设本金为1000元，每期利率为2.25%。不计利息税。1计算10期后的本利和是多少？2计算存款几期后本利和超过2000元？解析 这是一道以银行储蓄为背景的应用题，涉及到建立指数函数模型，但要马上建立起指数函数模型难度还是相当大的，不妨先分析下题目：现有本金1000元，要求10期后的本利和，这里就又涉及到“复利、“本利和、“利息等专业术语。要知道利息=本金利率，本利和=本金+利息，接着可以先试着考虑1、2、3期后的本利和，看看有什么规律。至于第2题显然与第1联系，因此关键解决第1问。解 11期后的本利和为 2期后的本利和为3期后的本利和为 设本利和为y，存期为，由前面3期的本利和变化规律可以推断，如此不断进行下去，本利和与存期之间的函数关系为。这样分步骤就能很容易理解最终的本利和的函数式是怎么得到的。那么10期后的本利和，即当时，所以10期后的本利和约为元。2第二题求几期后本利和超过2000元，根据第一题已得出的指数模型：本利和与存期之间的函数关系为可知，第二问所要求的恰好对应于指数函数中的，那么只要反解出即可得到第二问的函数关系。又由于指数函数与对数函数互为反函数，所以本问题的解题思路其实就是由第一问得到的指数函数模型建立出第二问的对数函数模型，即存期与本利和之间的函数关系为。需要解决的问题是存款几期后本利和超过2000元，可以先求出当时的理论值，代入可得，结合实际意义，存期为整数，再依据对数函数底数大于1时为严格单调递增的，所以存款32期后本息和才会超过2000元。总结 此题是以复利储蓄为实际背景的数学应用题，要解答本道题需要先建立指数函数模型，为此，必不可少的步骤是进行列举前几期本利和，从而找出本利和与存期之间的函数关系。一旦构造出指数函数模型，那么后面的问题只需运用指数函数、对数函数的有关性质就可以迎刃而解了。4 考前须知函数模型方法近年来方兴未艾 ,成为许多领域应用数学认识世界的最有效工具之一。用函数模型解决实际问题这局部内容，非常注重贴近实际生活，实际生活中的问题是复杂多变的，因此实际情景问题取材是十分广泛的，这些实际背景一般为学生所熟悉或是某些社会热点，如商品经济，环保问题，工程问题等，在这些情景中掺杂着一些数学知识。随着新课程改革的进一步深入，实际情景问题可以说已经成为必考题，这些题型要求学生对一些实际例子做出判断、决策，建立相应的函数模型，而建立函数模型是解决这一类实际情景问题的关键所在，同时也是考生解题的难中之难，因此要建立正确的函数模型，应注意以下几点：1耐心读题实际情景问题是以一定的实际背景呈现的题目，需要综合运用所学知识加以灵活处理。因此这类题目一般需要用较长的字符来描述这一背景，很多考生看到如此长的题目马上就潜意识进入一个解题误区:认定篇幅长的题目就是难题。这样一下子信心就全没了，以至于题目还没读就已经放弃，这是解答实际背景题的一大弊病！纯粹的数学式的题目与实际情景问题相比，相信大局部学生更有欲望去解答前者的题目，毕竟似乎前者还有数学的味道，而后者却让他们无从下手。但是必须强调的是题目长并不代表题目难，题目越长意味着提供的信息越多，这对解题应该是十分有利的，同时实际情景问题需要以一定的背景为根底，自然数据、文字会比拟多，所以解题的第一步必是不要放弃看题！2正确分析题意蕴含函数模型思想的题目能较好地考查学生的综合能力，解题的方法是细致分析题目，准确理解题意。要正确解答一道数学题，前提是正确理解题目，这就要求学生通览全题后，能够说出题目的要素、条件，解释句子甚至形成解题轮廓。对于需要建立函数模型解答的题目，读懂题意是十分关键的，因为这类问题贴近生活实际，新颖独特，知识覆盖面广，自然不可防止涉及一些名词术语，包括经济学、生物学、物理等方面的。比方银行存款的实际问题中经常会涉及“利息、“本金、“利率等术语，就需要考生知道“利息=本金利率。很多考生由于对生活中的一些名词术语感到生疏，以至于不知题目所云。数学来源于生活，所以要克服名词术语的障碍，需要学生多关注生活，开拓知识面。3注意实际问题的数学化要运用函数模型解题的实际应用题不仅数据、变量符号都比拟多，而且这些数据、变量、数量关系都隐蔽在“生活实际中。函数，形式简练但十分抽象，要将这些普通的语言转换为抽象的数学语言，提取数量关系，建立函数模型是解答函数模型类实际情景问题的困难环节。因此在平时学习和日常生活中，应加强数学语言的练习，提高数感、符号感。对于一个具体的函数建模题目，首先应判断这个实际问题与哪块函数知识有关，这就要考验学生的知识功底以及做题的熟练程度。在平时的练习中，应善于将各类函数模型的题型归纳分类，这样当面对新题目时能更快地找到正确的思路建立正确的函数模型。建立模型时要注意自变量的选择，一个函数关系可能有多种自变量的选择，但是不同的自变量可能建立起繁简程度不同的函数式，所以选择适宜的自变量，尽量让函数关系简单化。模型一旦建立起来，接下来关键的就是解模，解模时一定要注意自变量的范围。在没有实际背景下地函数模型自变量的范围一般会比拟不受限制，可是这是一道情景设计问题，实际不会像理论那么理想，因此定义域可能会受到一定的限制，甚至值域也会受到限制，因此将结果返回实际问题中时，必须慎重检查。 结束语用函数模型解决实际问题，就是要把实际问题抽象为数学问题，然后分析其中的量、未知量以及等量关系，由此列出函数关系建立相应的函数模型，通过推理演算并反复检验得出合理的解，最后将所得结果返回到实际问题中，使这个结果在实际问题中能得到合理的解释，从而解决了实际问题。数学建模是培养学生实际应用能力的重要途径，是数学教育改革开展的方向。在学习过程中，应讲究学习方法，在生活中应培养自觉地数学化意识，有意识地善于将生活语言转换为数学语言。函数建模是一种解决实际问题非常实用的思想方法，现在函数模型已经广泛应用于生活的方方面面，如投资买卖、银行储蓄、股票、测量、乘车、运动等。在学科运用方面，函数模型又与生物、物理、化学、美学等挂钩，是许多学科必要的根底知识，尤其随着现在计算机技术的开展，函数模型的作用与日俱增。在数学应用领域随处可见数学模型的影子，而函数模型是数学模型重要分类之一，在将来的应用中，函数模型一定会有更广阔的应用，因此应重视函数模型的开发与利用。参考文献：1钱珮玲.数学思想方法与中学数学M.北京:北京师范大学出版社,1999：56-57.2樊艳梅.函数-一种实用的模型 J.珠海城市职业技术学院学报,20212:68-69.3于志洪.构建一次函数模型解方案设计题J.中学课程辅导,20067:18-19.4肖斌.构造二次函数模型解应用问题J.中学生理科月刊,2000(10):17-18.5丁旭生.三角函数的应用问题赏析J.数学爱好者,2007(1):48-49.6胡大波.函数的模型及其应用知识点的解读J.中学生数理化,2021(9):4-5.