概率论第二章习题解答

概率论第二章习题1考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔付20万元，若投保人因其它原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末自下而上，则公司无需传给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其它原因死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分崣上。解设赔付金额为X，则X是一个随机变量，取值为20万，5万，0，其相应的概率为0.0002；0.0010；0.9988，于是得分布律为X20（万）5万00.00020.00100.99882.（1）一袋中装有5只球，编号为1,2，3,4，5。在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律（2）将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，试求X的分布律。解（1）在袋中同时取3个球，最大的号码是3,4，5。每次取3个球，其总取法：，若最大号码是3，则有取法只有取到球的编号为1,2，3这一种取法。因而其概率为若最大号码为4，则号码为有1,2，4；1，3,4； 2，3，4共3种取法，其概率为若最大号码为5，则1，2,5；1,3，5；1，4,5；2,3，5；2,4，5；3,4，5共6种取法其概率为一般地，其中为最大号码是的取法种类数，则随机变量X的分布律为X345（2）将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，则样本点为S（1,1），（1,2），（1,3），（6,6），共有36个基本事件，X的取值为1,2，3,4，5,6，最小点数为1，的共有11种，即（1,1，），（1,2），（2,1），（1,6），（6,1），；最小点数为2的共有9种，即（2,2），（2,3），（3,2），（3,6），（6,3），；最小点数为3的共有7种，；最小点数为4的共有5种，；最小点数为5的共有3种，；最小点数为6的共有1种，于是其分布律为123456 3设在15只同类型的产品中有2只次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品的次数，（1）求X的分布律；（2）画出分布律的图形。解从15只产品中取3次每次任取1只，取到次品的次数为0，1，2。在不放回的情形下，从15只产品中每次任取一只取3次，其总的取法为： ，其概率为若取到的次品数为0，即3次取到的都是正品，其取法为其概率为若取到的次品数为1，即有1次取正品，2次取到次品，其取法为其概率为若取到的次品数为2，其概率为。于是其分布律为X012（2）分布律图形略。4进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为，失败的概率为（），（1）将试验进行到出现一次成功为止，以X表示所需要的试验次数，求X的分布律。（此时称X服从以为参数的几何分布。）。（2）将试验进行到出现次成功为止，以Y表示所需要的试验次数，求Y的分布律。（此时称Y服从以，为参数的巴斯卡分布或负二项分布。）解（1）X的取值为，对每次试验而言，其概率或为1，或为所以其分布律为1 2 3 4 n (2)Y的取值为，对每次试验而言，其概率或为1，或为所以其分布律为 5.一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞往了房间，它只能从开着的窗子飞出去，鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。（1）以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律。（2）户主声称，他养的一只鸟是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以Y表示这只聪明鸟为了飞出房间试飞的次数，如房主所说的是确实的，试求Y的分布律。（3）求试飞次数X小于Y的概率；求试飞次数Y小于X的概率。解（1）X服从的几何分布，其分布律为12 3 (2)Y所有可能的取值为1,2，3.方法一方法二由于鸟飞向扇窗是随机的，鸟飞出指定窗子的尝试次数也是等可能的，即即Y的分布律为1 2 3 (3) 6.一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？（2）至少有3个设备被使用的概率是多少？（3）至多有3个设备被使用的概率是多少？（4）至少有1个设备被使用的概率是多少？解设对每个设备的观察为一次试验，则试验次数为5且各次试验相互独立，于是（1）恰有2个设力被使用，即：（2）至少有3个设备被使用，即：（3）至多有3个设备被使用，即：（4）至少有一个设备被使用，即7设事件A在每次试验中发生的概率为0.3，A发生不少于3次时指示灯发出信号，（1）进行5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）进行7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。解设A发生的次数为X，则，设B“指示灯发出信号”（1）或同理可得（2）或8.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，今各投3次，求（1）两人投中的次数相等的概率；（2）甲比乙投中次数多的概率。解记甲投中的次数为X，乙投中的次数为Y，则，同理，若记A为事件“两人投中次数相等”，B为事件“甲比乙投中的次数多”，则又所以9.有一大批产品，其验收方案如下，先作第一次检验：从中任取10件，经检验无次品，接受这批产品，次品大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品。若产品的次品率为10%，求（1）这批产品经第一次检验就能接受的概率。（2）需作第二次检验的概率。（3）这批产品按第二次检验的标准被接受的概率。（4）这批产品在第一次检验未能作决定且第二次检验时被通过的概率。（5）这批产品被接受的概率解设X为“第一次检验出的次品数”，Y为“第二次检验出的次品数”，则，（1）这批产品第一次检验后接收，即没有发现次品，也就是X0，而（2）需作第二次检验，即第一次检验发现次品数为1或2件：（3）这批产品按第二次检验的标准接收，即在第二次取出的5件产品中没有次品：（4）这批产品在第一次检验未能作决定且第二次检验时被通过，即：（两事件相互独立）（5）.10.有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯，如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。（1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒，他连续试验10次，成功3次，试推断他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的）解（1）可看作是古典概型问题，总挑法数为，则成功一次的挑法为，于是试验成功一次的概率的为.（2）设成功的次数为X，则因为能成功3次的概率特别小，所以可以认为他确有区分的能力。11尽管在几何教科书已经讲过仅用直尺和园规三等分任意角是还可能的，但是每一年总是有一些“发明者”撰写关于仅用园规和直尺将角三等分的文章。设某地区每年撰写此类文章的篇数X服从参数为6的泊松分布，求明年没有此类文章的概率。解泊松分布当时，明年没有此类文章，即，于是明年没有此类文章的概率12一电话总机每分钟收到的呼唤次数X服从参数为4的泊松分布。求（1）某一分钟恰有8次的概率。（2）某一分钟呼唤次数大于3的概率。解（1）当，时，某一分钟恰有8次的概率（2）当时，某一分钟呼唤次数大于3的概率13.某一公安局在长度为的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）。（1）求某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率；（2）求某一天中午2时至下午5时至少收到1次紧急的概率。解因为，所以（1）某一天中午12时至下午3时，即，则，对应的泊松分布为，从而某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率（2）求某一天中午2时至下午5时，即，对应的泊松分布为，从而某一天中午2时至下午5时至少收到1次紧急的概率（查表时），于是方法二.14某人家中在时间间隔（小时）内接到电话的次数服从参数为的泊松分布。（1）若他外出计划用时10分钟，问其间有电话铃响一次的概率是多少？（2）若他希望外出时没有电话的概率至少为0.5，问他外出应控制最长的时间是多少？解（1）若他外出计划用时10分钟，则，其间有电话铃响一次的概率（2）若他希望外出时没有电话的概率至少为0.5，即，时，即，或 （min）15保险公司承保了5000张相同年龄，为期一年的保险单每人一份。在合同的有效期内若投保人死亡，则需赔付3万元。设在一年内，该年龄段的死亡率为0.0015，且各投保人是否死亡是相互独立。求保险公司对这批投保人的赔付总额不超过30万元的概率（利用泊松定理计算。）解设在合同有效期内死亡的投保人为随机变量X，根据题设条件知死亡的投保人不超过10人，即，因此这可以看作是，的二项分布，其概率为应用泊松定理，此时，（查表得）0.8622。 16有一繁忙的汽车站，每天有大量的汽车通过。设一辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001，在某天的该时间段内有1000辆汽车通过，问出事故的车辆数不小于2的概率是多少？（利用泊松定理计算）解设在该时间段内出事故的汽车数为随机变量X，则这可以看作是，的二项分布，其概率为设，泊松定理，（查表：，）0.0047。17（1）设X服从（01）分布，其分布律为（），求X的分布函数并作图形。（2）求第2题（1）中随机变量的分布函数。解（1）当时，；当时，则；当，则即（图形略）。（2）第2题（1）“在袋中同时取3个球，最大的号码是3,4，5X的分布律为X345其分布函数为18 在区间上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标。设这个质点落在区间上上中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例。试求X的分布函数。解当时，；当时，其中为常数，特别地当时，质点落在区间上上中任意小区间内的概率为1，所以，即，所以当时， ；当时，综合得。19.以X表示某商店从早晨开始营业直到第一个顾客到达的等待时间（以分计），X的分布函数是求下述概率：（1）p至多3分钟；（2）p至少4分钟；（3）p3分钟至4分钟；（4）p至多3分钟或至少4分钟；（5）p恰好2.5分钟。解（1）（2）（3）（4）（5）20设随机变量X的分布函数为（1）求，；（2）求概率密度。解（1）注意对连续型随机变量而言，其中是任意实数。（2）因为，应用分段函数求导数的方法，得概率密度为21设随机变量的分布函数为（1）（2）求X的分布函数，并画出（2）中和的图形。解（1）当时，；当时，；同理，当时，所以（2）同理可得，即22.（1）由统计物理学知，分子运动的速度的绝对值X服从马克斯韦尔（Maxwall）分布，其概率密度为其中，为Boltzmann常数，T为绝对温度，是分子的质量。试确定常数A。（2）研究了英格兰在18751951年间，在矿山发生导致10人或10人以上死亡的事故的频繁程度，得知相继两次事故之间的时间（以日计）服从指数分布，其概率密度为求分布函数，并求概率。解（1）由密度函数的性质有（注意：）故.（2）当时，当时，.故。或.23某种型号的器件的寿命X（以小时计）具有概率密度现有一大批这种器件（设各器件损坏与否相互独立），任取5只，问其中至少有2只的寿命大于1500小时的概率是多少？解（）先求这种器件的寿命大于1500小时的概率：。（）求任取5只，至少有2件的寿命大于1500小时的概率设Y“器件的寿命大于1500小时”，则。 24.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（min）服从指数分布，其概率密度为某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月要到银行5次。以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求。解()该顾客在窗口未等到服务而离开的概率为()顾客未行到服务而离开银行的次数的概率由已知条件可知，故，.25设K在区间（0,5）服从均匀分布，求的方程有实根的概率。解因为K的分布密度为而方程有实根，即其判别式即，解得或。因为K在（0，5）内服从均匀分布，所以只有在区间（0，5）内，所以所给方程有实根的概率为。26.设，求（1），；（2）确定使得。解（1）.（2）因为，由得即所以。27.某地区18岁的女青年的血压（收缩压，以mm-Hg计）服从。在该地区任选一18岁的女青年，测量她的血压X（1）求，；（2）确定最小的，使解（1）（2）要使，必须，即，亦即故，或，即最小的值为129.74。28由某机器生产的螺栓的长度（）cm服从参数，的正态分布。规定长度在10.050.12内为合格品，求一为不合格品的概率。解（方法一）设的长度为X，则，一个螺栓不合格，即或。其概率为，而所以（方法二）设A“螺栓合格”，则所以不合格的概率为。29一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为，的正态分布，若要求，允许最大为多少？解得，查表知所以，最大为。30设在一电路中，电阻两端的电压V服从，今独立测量了5次，试确定有2次测量值落在区间118，122之外的概率。解（）求测量值落在区间118，122之外的概率设A“测量值X落在区间118，122之内”则所以测量值落在区间118，122的概率为（2）求在5次独立测量中有2次测量值区间118，122之外的概率设测量值落在区间之外的次数为Y，则故所求的概率为31某人上班，自家中去办公楼要经过一交通指示灯。这一指示灯有80%的时间亮红灯，此时他在指示灯旁等待直到绿灯亮，等待时间在区间0，30（秒）服从均匀分布。以表示他等待的时间，求的分布函数，画出的图形。并问是否为连续型随机变量？是否为离散型随机变量？（要说明理由）。解（1）求随机变量的分布函数若他到达交通指示灯旁时亮绿灯，则其等待时间；若他到达交通指示灯旁时亮红灯，则等待时间设“指示灯亮绿灯”，对于固定的，由全概率公式，有其中，（即该人到达指示灯旁时亮绿灯，当然他可以过去，也即他等待的时间为0，在0.30秒）内）； （等待时间在0.30内均匀分布）。当时，当时，（亮红灯的时间为80%）所以时，当时于是的分布函数的分布函数为（）（图形略）。（）说明随机变量的由于分布函数在处不连续，故随机变量不是连续型随机变量，又因为不存在一个可列的点集，使得在这个集上的取值的概率为1，故也不是离散型随机变量。这样的随机变量称为混合型随机变量。32设，都是概率密度函数，求证，（）也是一个密度函数。解要证明一个函数是密度函数，主要是要验证。因为，所以即也是一个概率密度函数。33设随机变量的分布律为21013 求的分布律。解的取值为0,1，4,9，故其分布律为0149 34.设随机变量X在（0,1）上服从均匀分布。（1）求的概率密度；（2）求的概率密度。解由题设知，X的概率密度为（1）由积分函数的求导法则，得，所以。（2）由得，由定理得的概率密度为或因为，知，即的取值必为非负，故当时，是不可能事件，所以，当时，从而故.35设，求（1）的概率密度。（2）求的概率密度。（3）求的概率密度。解（1）因为，所以不取负值，故当时，又当时，由有所以（2）因为，即在1，内取值。所以当时，；当时，注意到，故当时，或故当时，所以，。（3）因为，所以当时，；当时，由于，有因此，当时时，故的概率密度为36（1）设随机变量的概率密度为，求的概率密度。（2）设随机变量的概率密度为求的概率密度。解（1）由解得反函数，且，由定理：代入得（2）因为，所以当时，；当时，所以，故。37.设随机变量的概率密度为求的概率密度。解因为在上，则当时，当时，则概率密度为.38.设电流I是一个随机变量，它均匀分布在9A11A之间。若此电流通过2欧的电阻，在其上消耗的功率。求W的概率密度。解由题设知I的概率密度为且的取值为162W242（因为，）。其分布函数为故39某物体的温度是随机变量，且有，已知，试求的概率密度。解（）求的分布函数（注意：）所以，即