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计算题专项训练(一)(时间:40分钟分值:49分)1.(12分)(2018天津南开月考)如图所示,在光滑的水平地面上,相距l=10 m的A、B两个小球均以v0=10 m/s向右运动,随后两球相继滑上倾角为30的足够长的固定光滑斜坡,地面与斜坡平滑连接,取g=10 m/s2。求:(1)B球刚要滑上斜坡时A、B两球的距离;(2)A球滑上斜坡后经过多长时间两球相遇。答案:(1)7.5 m(2)2.5 s解析:(1)设A球滑上斜坡后经过t1时间B球滑上斜坡,则有l=v0t1,解得t1=1sA球滑上斜坡后做匀减速直线运动,加速度大小a=gsin30=5m/s2设这段时间内A球向上运动的位移为x,则x=v0t1-12at12代入数据解得x=7.5m。(2)B球刚要滑上斜坡时A球速度v1=v0-at1=5m/sB球滑上斜坡时,加速度与A相同,以A为参考系,B相对于A以v=v0-v1=5m/s做匀速运动,设再经过时间t2它们相遇,有t2=xv=1.5s则所求时间t=t1+t2=2.5s。2.(17分)如图所示,有一个可视为质点的质量为m=1 kg的小物块,从光滑平台上的A点以v0=2 m/s的初速度水平抛出,到达C点时,恰好沿C点的切线方向进入固定在水平地面上的光滑圆弧轨道,最后小物块滑上紧靠轨道末端D点的质量为m长=3 kg的长木板,已知木板上表面与圆弧轨道末端切线相平,木板下表面与水平地面之间光滑,小物块与长木板间的动摩擦因数=0.3,圆弧轨道的半径为R=0.4 m,C点和圆弧的圆心连线与竖直方向的夹角=60,不计空气阻力,g取10 m/s2。(1)求小物块刚要到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力;(2)若长木板长度l长=2.4 m,小物块能否滑出长木板?答案:(1)60 N,方向竖直向下(2)能解析:(1)物块到达C点的速度与水平方向的夹角为60,则vC=v0cos60=2v0=4m/s小物块由C到D的过程中,由动能定理得mgR(1-cos60)=12mvD2-12mvC2代入数据解得vD=25m/s小物块在D点时,由牛顿第二定律得FN-mg=mvD2R解得FN=60N由牛顿第三定律得小物块刚要到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力FN=FN=60N,方向竖直向下。(2)设小物块始终在长木板上,共同速度大小为v,小物块在木板上滑行的过程中,小物块与长木板组成的系统动量守恒,取向左为正方向由动量守恒定律得mvD=(m长+m)v解得v=52m/s设物块与木板的相对位移为l,由功能关系得mgl=12mvD2-12(m+m长)v2解得l=2.5ml长=2.4m,所以小物块能滑出长木板。3.(20分)如图所示,在平面直角坐标系中,第三象限里有一加速电场,一个电荷量为q、质量为m的带正电粒子(不计重力),从静止开始经加速电场加速后,垂直x轴从A(-4l,0)点进入第二象限,在第二象限的区域内,存在着指向O点的均匀辐射状电场,距O点4l处的电场强度大小均为E=qlB0216m,粒子恰好能垂直y轴从C(0,4l)点进入第一象限,如图所示,在第一象限中有两个全等的直角三角形区域和,均充满了方向垂直纸面向外的匀强磁场,区域的磁感应强度大小为B0,区域的磁感应强度大小可调,D点坐标为(3l,4l),M点为CP的中点。粒子运动轨迹与磁场区域相切时认为粒子能再次进入磁场。从磁场区域进入第二象限的粒子可以被吸收掉。(1)求加速电场的电压U;(2)若粒子恰好不能从OC边射出,求区域磁感应强度大小;(3)若粒子能到达M点,求区域磁场的磁感应强度大小的所有可能值。答案:(1)ql2B028m(2)24B049(3)825B0、1633B0、833B0、1641B0、2449B0解析:(1)粒子在加速电场中加速,根据动能定理有qU=12mv2粒子在第二象限辐射状电场中做半径为R的匀速圆周运动,则qE=mv24l联立解得v=qB0l2m,U=ql2B028m。(2)粒子在区域中运动的速度大小v=qB0l2m根据洛伦兹力提供粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力,有qB0v=mv2r,得半径r=mvqB0=l2若粒子在区域中的运动半径R较小,则粒子会从OC边射出磁场。恰好不从OC边射出时,作出对应的运动轨迹,如图满足O2O1Q=2,sin2=2sincos=2425,又sin2=rR-r解得R=4924r=4948l又R=mvqB,代入v=qB0l2m可得B=24B049。(3)若粒子由区域达到M点每次前进lCP2=2(R-r)cos=85(R-r)由周期性得lCM=nlCP2(n=1,2,3,),即52l=85n(R-r)R=r+2516nl4948l,解得n3n=1时R=3316l,B=833B0n=2时R=4132l,B=1641B0,n=3时R=4948l,B=2449B0若粒子由区域达到M点由周期性:lCM=lCP1+nlCP2(n=0,1,2,3,)即52l=85R+85n(R-r)解得:R=52+45n85(1+n)l4948l解得:n2625。当n=0时,R=2516l,B=825B0当n=1时,R=3332l,B=1633B0。- 4 -
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