第2课时角的平分线的判定

第2课时 角的平分线的判定【知识与技能】1.掌握角的平分线的判定.2.会利用三角形角平分线的性质.【过程与方法】通过学习角的平分线的判定，发展学生的推理能力，培养学生分析、归纳问题的能力.【情感态度】锻炼数学应用意识和用数学解决实际问题的能力，体验数学的应用价值.【教学重点】角平分线的判定.【教学难点】三角形的内角平分线的应用.一、情境导入，初步认识问题1我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？【教学说明】如图所示，已知PDOA于D，PEOB于E，PD=PE，那么能否得到点P在AOB的角平分线上呢？事实上，在RtOPD和RtOPE中，我们利用HL可得到RtOPDRtOPE.所以AOP=BOP，即点P在AOB的角平分线上.二、思考探究，获取新知三角形内角平分线是角平分线的延伸，那如何利用它来解题呢？例1 如图O是ABC内的一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE.若A=70,求BOC的度数. 【分析】由OD=OE=OF,且ODBC、OEAC、OFAB知，O是ABC的三角平分线的交点，所以1=2、3=4.要求BOC的度数，只要求出1+3的度数，即只要求出2（1+3）=ABC+ACB的度数即可，在ABC中，运用三角形的内角和定理，即可得出BOC的度数.解:OFAB,ODBC,且OF=OD,BO平分ABC,即1=2,同理可得3=4.BOC=180-(1+3)=180-(ABC+ACB)=180-(180-A)=90+A=125.【教学说明】求三角形中角的度数，要善于运用角平分线的性质. 例2如图,D、E、F是ABC的三条边上的点，且CE=BF,SDCE=SDBF，求证：AD平分BAC. 【分析】由已知条件可知DCE和DBF的两底CE=BF,且它们的面积相等，所以这两底上的高应该相等.因此过点D作DMAB,DNAC,垂足分别为M和N，则DM=DN.由角平分线的判定定理可知，AD平分BAC.【证明】如图，过点D作DMAB于点M，作DNAC于点N. SDCE=SDBF,即CEDN=BFDM.又CE=BF,DN=DM,点D在BAC的平分线上，即AD平分BAC.例3 如图所示，在ABC中，AC=BC，ACB=90,D是AC上一点，且AEBD并交BD的延长线于点E，又AE=BD.求证：BD是ABC的平分线. 【分析】要证明BD是ABC的平分线，即证明1=2,可构造全等三角形，延长AE、BC交于F，根据条件证明ABEFBE即可.【证明】延长AE、BC交于点F.AEBD,ACB=90,2+F=FAC+F=90,即2=FAC.在BDC与AFC中， ,BDCAFC(ASA),BD=AF.又AE=BD,AE=AF,AE=EF.在ABE和FBE中， ,ABEFBE(SAS).1=2.即BD是ABC的平分线.例4 (青海西宁中考)八年级（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示），设计了如下方案：方案一：AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P置于射线OA,OB之间.移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是AOB的平分线.方案二：AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON,将角尺的直角顶点P介于射线OA，OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M，N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是AOB的平分线.（1）方案一、方案二是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由；（2）方案一中，在PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PMOA,PNOB.此方案是否可行？请说明理由.解：（1）方案一不可行，理由:缺少三角形全等的条件.方案二可行.证明：在OPM和OPN中， OPMOPN(SSS).AOP=BOP.OP是AOB的平分线.（2）此方案可行.理由：PM=PN,且PMOA,PNOB,P在AOB的角平分线上，OP是AOB的平分线.三、运用新知，深化理解1.如图，已知DBAE于点B，DCAF于点C，且DB=DC,BAC=40,ADG=130,则DGF=_. 第1题图 第2题图2.如图，以ABC的两边AB,AC为边分别向外作等边ABD和等边ACE，连接BE,CD交于点O，求证：OA平分DOE.【答案】1.1502.证明：过点A分别作AMDC于点M，ANBE于点N.ABD、ACE是等边三角形，AD=AB,AE=AC,DAB=EAC=60，DAC=BAE,DACBAE，DC=BE,又SDAC=SBAE,AM=AN.又AMDC,ANBE,OA平分DOE.四、师生互动，课堂小结1.三角形的三条角平分线的交点有且只有一个，且一定在三角形的内部.2.证明三线共点的证明思路：先设其中的两线交于一点，再证明该交点也在第三条直线上.3.在三角形内部，要找一点到三边距离相等时，只要作出两个角的角平分线，其交点即是.4.角平分线的判定与性质的关系：由角平分线的判定方法知这个结论的逆命题也是正确的，即在三角形内，到三角形三边的距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.1.布置作业：从教材“习题12.3”中选取部分题.2.完成练习册中本课时的练习.本课时教学应重视以下几点；1.努力体现数学与生活的联系，从实际中学习新知，使学生认识这种学习方法.2.课堂中，可采用口答、动手做做等方式组织学生比赛，教师依据具体情形予以点评指点，查漏补缺，使学生全方位从本质上理解知识