mu导数在解物理题中的应用

导数知识在高中物理解题中的应用牟长兀（重庆市铝城中学,重庆401326）导数在中学物理中的应用主要体现在定义新物理量和求最值问题两个方面。1、利用导数定义或求解物理量中学物理内容里有一些物理量可以利用变化率来定义，如瞬时速度v=ds、合外力F=dt、瞬时功率P=巴-、电流强度I=电场强度E=（史-）n、感应电动势fn吐dtdtdtdxdt等等。从数学角度看，它们都是一种导数表达形式，或者说可以通过对另一物理量的函数式求导而得到一个新的物理量的定义。例如，在简谐运动中，当质点在正向最大位移处开始计时，则:质点的位移方程为：x=Acos3t质点的瞬时速度表达式为：dxV=dtAwsinvmsinwt质点的加速度表达式为：dva=dtAw2cosw=w2x=竺m.2k-w=m从上面的运算看，利用导数能简明地得到质点的速度和加速度的函数式，并能很方便地获得一些教材上无法讲解的新结论，从而拓宽了原有知识的深度和广度及应用范围，并且也拓展了解决物理问题的新途径。例1、（2003年上海高考题）如图所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨每米长的电阻为ro=0.10Q/m,导轨的端点P、Q用电阻可忽略的导线相连，两导轨间的B与时间t的关距离L=0.20m,有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面，已知磁感应强度系为B=kt，比例系数k=0.020T/s一根电阻不计的金属杆可在导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中保持与导轨垂直。在t=0时刻，金属杆紧靠在P、Q端，在外力作用下，杆以恒定的加速度从静止开始向导轨的另一端滑动。求在t=6.0s时金属杆所受的安培力分析：本题按常规解法是：设定磁场的一个方向，分析得到导体运动切割磁感线产生的电动势f与磁场变化所产生的电动势f方向相同，运用物理学中的叠加原理，求出回路中的总电动势f然后再根据回路中的总电阻R随时间的变化关系表达出总电阻，最后用电流强度公式与安培力公式求安培力。这里提供一种运用导数求回路总电动势的思路。因为金属杆从导轨的一端P、Q开始作匀加速直线运动，设经时间t时，金属杆的运动位移为x=at2/2，回路的磁通量二BS式中的B=kt,回路所围面积S=Lx=aLt2/2代入磁通量表达式中得=klat感应电动势=d32aklt,dt2回路总电阻R=2:2xr0=ar0t;回路电流I=3kl2r安培力F=BIL223kl=t=1.442rKf3N.2、在求解物理量的最值问题中的应用对于数学中的连续函数，我们可以通过求导数的方式求函数的最大值或最小值。对于一个物理问题，如果解题目标是求某个物理量的最大值或最小值，我们同样可以运用导数知识求解。具体步骤如下：（1）通过具体分析，应用物理规律将已知量和未知量之间建立一定的函数式；（2）求导数，并令导数为零得到独立方程，解此方程得到自变量或自变量的表达式；（3）将自变量代入原来的函数式中求出目标量的最大值或最小值。在这三个步骤中，（1）是最重要的一步，它体现的的是解题者对该题的准确理解和正确表述，只有解题者准确地把握了该题的物理过程、状态，各个物理哪些是已知量，哪些是未知量，各个物理之间的关系如何，才能得到。步骤（2）仅仅是多种运算方式中的一种而已，有时运用物理本学科所常用的一些解法可能更简明，但可能要运用一些技巧，这种技巧如果想不到，题目就解不出来；而用导数求解最值问题”其方法比较固定，不需要方法上的技巧，使解题者能很快地找到具体的运算技巧。例2、在电视节目中，我们常常能看到一种精彩的水上运动一一滑水板，（如图所示）运动员在快艇的水平牵引力作用下，脚踏倾斜滑板在水上匀速滑行，设滑板是光滑的，若运动员与滑板的总质量为m=70kg,滑板的总面积为S=0.12m2，水的密度为p=1.0X03kg/m3。理论研究表明：当滑板与水平方向的夹角为B（板前端抬起的角度）时，水对板的作用力大小为F=pSVin29,方向垂直于板面。式中v为快艇的牵引速度，S为滑板的滑水面积。求：为使滑板能在水面上滑行，快艇水平牵引快艇的最小速度。二-亠丁二分析：从电视节目中可以看到，滑水运动员在快艇牵引下的滑行过程中，在经常变换姿势，其实既是为了使运动具有观赏性，与水平方向间的夹角9与快艇的牵引速度v等都是相互联系的。要解决最小速度”问题，首先需要弄清SV、9等物理量之间函数关系。选取滑板与运动员作为研究对象，滑板与运动员共受三个力：重力弹力Fn（方向与滑板面垂直），绳子对运动员的拉力F。为使问题简化，受力如图所示。由物体平衡条件可得：Fncos9-mg=07FFn也是出于平衡的需要。滑板快艇牵引滑板的V、mg，水对滑板的不计水的阻力。又根据题设条件：Fn=pSsin2B可得牵引速度为在mg、p、S一定的条件下，v是B的函数。当B取一定值时v有最大值。设y=sin20coS则当y取最大值时，引牵速度最小。求y的导数并令其为零：dyd-23=2sin0coSsin0=0tan0=211J3cos(=-secd1tg笃3sin20=(.2)2=2/3.3Kmax=，代入速度表达式中得:9礼3点评：本题如果不运用导数求解。则需应用不等式abc25Ro(Ro+ioo)=o(Ro-ioo)(Ro-ioo)2R+r+R0所以Ro=iooQ,即Ro=R+r时，Pmax=1/16(W).当然，本题也可以应用等效电源方法处理：将定值电阻R看作电源内阻的一部分，则等效电源的电动势Ex=E=5V，内阻r/=r+R=iooQ.这样，外电阻Ro消耗的电功率即电源的输出功率，便于利用电源输出功率最大的条件进行运算。这时Ro消耗的最大热功率就等于等效电源的最大输出功率。即Ro=r/=iooQ时变阻器消耗的电功率最大例5、在设计屋顶时，为了使雨水尽可能快地流下，屋顶与水平面间的夹角应该是多少度？设雨水与屋顶的摩擦因系数为w分析：如图所示，设屋顶与水平面间的夹角为9,横梁长度为L,并视雨滴的运动为初速为零的匀加速直线运动。由牛顿第二定律可得雨滴沿屋顶下滑的加速度雨滴的位移S=1at2=g222(sinwcos)t,运动时间gcos31(sin上式中的分母最大时，雨滴的运动时间最短。设y=cos0（sin-血co）sin0(sin卩cos)(+cos(cos0+卩sin=0dv2222cos2(sin20+2卩sin0c00cos20sin20=cos20ctg29=(此即y取最大的条件)21y的最大值为ymax=sin0cos0(jcos0=sin.1(1-cos2j)2由三角函数之间的关系可得:sin20=111esc2v1ctg21IIcos20=-J所以ymax=丄C.1）.由此得到时间的最小值：tmin=2E例6、在真空中有两个点电荷，带电量均为+q,相距2a,如图所示。求两点电荷连线的中垂线上的最大电场强度及其位置。E2及解：画出两点电荷在连线中垂线上任意点P的电场强度E1、其矢量合成图，由点电荷在真空中的场强公式E1=kq/r2r=a/cos由式得E1=kqcosaaP点的场强大小E=2sina2kq2cos乂sin、2a求导数=7-(coSa2sifaco卫),并令=0得dacosa2sin2acos=0取正数解得tana=斗=-V2a所以y=a2（距O点的距离）由得及sin=1/csca=1/、1cot2：=1/.3222cosa=sinatana=2/3所以，中垂线上电场强度的最大值为Emax=4、3kq/9a2例7、如图所示，质量为m的小球用细线连接，细线的另一端固定在0点，小球可以在竖直平面内自由摆动。现将细线拉直并成至水平状态，让小球从静止开始摆下。试求小球的竖直分速度Vy的最大值。解：小球在任意位置时的速度为v,其竖直分量为vy=vsin01根据机械能守恒定律得mgLcos0=-mv22I122vy=,2gLcosvsin二=2gLsinvcos二；令f(0)=in0cos2=2sin0cos-cos0=0取正实数解得tan0=,2,sin0=,2/3；cos0=1/3。最后求出Vynax=2gL/3例8两个质量分别为mi、m-的滑块，用一轻弹簧连接后放在光滑水平面上，当给m-一个初速度V。，试证明：当两滑块速度相同时，弹簧的弹性势能最大。证明：设某时刻两滑块的速度大小分别为得mivo=mvi+m2V212m-v2由上两式得弹性势能Ep与w的函数关系为Ep=2v1-22m1(v0v1)V1、V2,根据系统的动量守恒和机械能守恒,求导数dEdv1二-m1V1(V-V1)(-1),m1V。m1亠m2dE并令=0可得V1dv1由和又可得到V2m1m1V。证毕