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第四节圆周运动1知道什么是匀速圆周运动，知道它是变速运动。2理解线速度、角速度、转速、周期等概念，会对它们进行定量计算。3理解掌握vr和2n等公式。4熟悉同轴转动和皮带传动的特点。5理解匀速圆周运动的多解问题。1.线速度(1)定义：物体做圆周运动通过的弧长与所用时间的比值，v。(2)意义：描述做圆周运动的物体运动的快慢。(3)方向：线速度是矢量，方向与圆弧相切，与半径垂直。(4)匀速圆周运动定义：沿着圆周运动，并且线速度大小处处相等的运动。性质：线速度的方向是时刻变化的，所以是一种变速运动，匀速是指速率不变。2角速度(1)定义：物体做圆周运动转过的角度与所用时间的比值，。(2)角速度是矢量。(3)意义：描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢。(4)单位角的单位：弧长与半径的比值表示角的大小，称为弧度，符号：rad。角速度的单位：弧度每秒，符号是rad/s或rads1。3周期和转速(1)周期T：做圆周运动的物体转过一周所用的时间，单位：秒(s)。(2)转速n：单位时间内转过的圈数，单位：转每秒(r/s)或转每分(r/min)。(3)周期和转速的关系：T(n单位是r/s)。(4)周期和角速度的关系：T。4线速度与角速度的关系(1)在圆周运动中，线速度的大小等于角速度大小与半径的乘积。(2)公式：vr。判一判(1)做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的弧长相等。()(2)做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的位移相同。()(3)匀速圆周运动是一种匀速运动。()提示：(1)做匀速圆周运动的物体，线速度大小处处相等，根据svt，相等时间内通过的弧长相等。(2)做匀速圆周运动的物体相等时间内通过的位移大小相等，但方向可能不同。(3)匀速圆周运动的线速度方向是时刻变化的，故是一种变速运动。想一想若钟表的指针都做匀速圆周运动，秒针和分针的周期各是多少？角速度之比是多少？提示：秒针的周期T秒1 min60 s，分针的周期T分1 h3600 s。由 得 。课堂任务描述圆周运动的各物理量仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。活动1：闹钟和手表谁对？为什么？提示：都对。比较的内容不一样，闹钟比的是线速度，手表比的是角速度，线速度闹钟的大，角速度两者相等。活动2：闹钟所说的线速度是怎么得出的？利用手表的数据可以算出什么物理量？提示：闹钟所说的线速度是根据v计算出来的，s是秒针针尖在t时间转过的弧长。根据手表所说的秒针针尖转一周的时间可以计算其角速度，角速度，是秒针针尖在t时间转过的弧度。活动3：线速度和角速度有什么关系？提示：设物体做圆周运动的半径为r，t时间内转过的弧长为s，弧长对应的圆心角为(单位：rad)，则sr。而物体做圆周运动的线速度v，角速度，代入上式可得到：vr。活动4：讨论、交流、展示，得出结论。(1)描述圆周运动的物理量及其关系汇总注意：由vr知，r一定时，v；v一定时，；一定时，vr。(2)对匀速圆周运动的理解匀速的含义：a线速度v的大小不变，即速率不变。b转动角速度不变。F合0，a0：由于匀速圆周运动是曲线运动，速度的方向时刻发生变化，故匀速圆周运动是变速运动，其合外力和加速度一定不为零。例1做匀速圆周运动的物体，10 s内沿半径为20 m的圆周运动100 m，试求该物体做圆周运动时，(1)线速度的大小；(2)角速度的大小；(3)周期的大小。(1)线速度、角速度、周期的定义式各是什么？提示：v；T。(2)线速度、角速度、周期的关系式是什么？提示：vr，T。规范解答(1)依据线速度的定义式v可得：v m/s10 m/s。(2)依据vr得： rad/s0.5 rad/s。(3)依据得：T s4 s。完美答案(1)10 m/s(2)0.5 rad/s(3)4 s重视各物理量的定义和联系物体在做匀速圆周运动时(设其轨道半径为r)，我们可以用多个物理量(如线速度v、角速度、周期T等)来描述物体运动的快慢。这些物理量之间的关系可以从它们的定义出发得到：vr，。关于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是()A因为在相等的时间内通过的圆弧长度相等，所以线速度恒定B如果物体在0.1 s内转过30角，则角速度为300 rad/sC若半径r一定，则线速度与角速度成反比D若半径为r，周期为T，则线速度为v答案D解析物体做匀速圆周运动时，线速度大小恒定，方向沿圆周的切线方向，在不断地改变，故A错误；角速度 rad/s rad/s，B错误；线速度与角速度的关系为vr，由该式可知，r一定时，v，C错误；由线速度的定义可得，在转动一周时有v，D正确。课堂任务同轴转动和皮带传动问题仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。活动1：图甲、乙中A、B两点有什么物理量是相同的？提示：图甲A、B两点在自行车的同一条链条上，这决定了A、B两点的线速度大小是相等的。同一条链条上的所有点的线速度大小都一样。图乙的两个齿轮相同时间必定走过相同弧长，故图乙的A、B两点线速度大小相等。它们和图甲的A、B是类似的，同理还有皮带传动、摩擦小轮，由于边缘始终没有相对位移，相同时间必定走过相同弧长，我们可以总结为“同线的线速度相等”。活动2：图甲中B、C两点有什么物理量是相同的？提示：B、C的转轴相同，B转多少转，C一定同时转多少转，所以B、C角速度是相等的。我们称为“同轴转动”。活动3：讨论、交流、展示，得出结论。常见的传动装置及其特点例2如图所示的皮带传动装置，主动轮O1上两轮的半径分别为3r和r，从动轮O2的半径为2r，A、B、C分别为轮边缘上的三点，设皮带不打滑，求：(1)A、B、C三点的线速度大小之比vAvBvC_。(2)A、B、C三点的角速度之比ABC_。(1)A、B、C三点中，哪两点的角速度相等？哪两点的线速度大小相等？提示：A、B两点的角速度相等，B、C两点的线速度大小相等。(2)A、B两点的线速度与它们的半径成_；B、C两点的角速度与它们的半径成_。提示：正比反比规范解答(1)(2)完美答案(1)311(2)221识记传动装置的两个重要特点(1)固定在一起同轴转动的物体角速度相同。(2)不打滑的摩擦传动、齿轮传动、皮带传动的两轮边缘上各点线速度大小相等。一个圆环，以竖直直径AB为轴匀速转动，如图所示，求环上M、N两点的：(1)角速度之比；(2)线速度的大小之比。答案(1)11(2)1解析(1)M、N是同一环上的两点，它们与环具有相同的角速度，即MN11。(2)两点做圆周运动的半径之比rMrNsin60sin301，故vMvNMrMNrN1。课堂任务圆周运动的周期性造成多解仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。活动1：对准A就能在最高点直接射中A吗？提示：不能，飞镖要做平抛运动，在竖直方向会向下运动。活动2：飞镖射中A时A转动到哪个位置？提示：A做的是圆周运动，而飞镖在初速度所在竖直平面内做平抛运动，故射中A时A必定转到最低点的位置。活动3：飞镖射中A时A一定转动半圈吗？提示：不一定，飞镖射中A时A可能转动半圈，也可能是一圈半、两圈半总之是半圈的奇数倍。活动4：讨论、交流、展示，得出结论。圆周运动的周期性和多解性：匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同的运动，其中一个做匀速圆周运动，另一个做其他形式的运动。因匀速圆周运动具有周期性，使得一个事件可能在前一个周期中发生，也可能在后一个周期中发生，这就要求我们在确定做匀速圆周运动物体的周期时，必须把各种可能都考虑进去。处理这类问题时，关键要把一个物体的运动时间t，与圆周运动的周期T建立起联系，这样才能较快地解决问题。例3如图所示，一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘L，且对准圆盘上最高点A点水平抛出，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘绕垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速转动，角速度为。若飞镖恰好击中A点，则下列关系正确的是()AdvL2gBL(12n)v0(n0,1,2,3)Cv0Dd2g2(12n)2(n0,1,2,3)(1)飞镖击中A所需要的时间是多少？提示：飞镖做平抛运动，飞镖击中A所需要的时间就是飞镖水平方向运动到A所在的竖直平面所需要的时间，即飞镖平抛时间：t。(2)A被击中时，A转过的时间用角速度表示应该为多少？提示：A被击中时，转过角度是半圈的奇数倍，即(2n1)(n0,1,2,3)，则A点转动的时间t。规范解答依题意飞镖做平抛运动的同时，圆盘上A点做匀速圆周运动，恰好击中A点，说明A正好在最低点被击中，则A点转动的时间t，平抛的时间t，则有(n0,1,2,3)，B正确。平抛的竖直位移为d，则dgt2，联合t得dvL2g，A错误。dgt2联合t解得d2g2(2n1)2(n0,1,2,3)，D错误。v0不是圆盘的线速度，v0与不满足vr，C错误。完美答案B解决圆周运动多解问题的关键(1)知道两个运动的时间相等。(2)会利用运动规律列出两个运动的时间表达式。如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，求小球的初速度及圆盘转动的角速度的大小。答案R 2n (n1,2,3)解析设球在空中运动时间为t，此圆盘转过角，则Rvt，hgt2故初速度vR ，t，由题意知n2(n1,2,3)又因为t，则圆盘角速度2n (n1,2,3)。A组：合格性水平训练1(对匀速圆周运动的认识)对于做匀速圆周运动的物体，下列说法中不正确的是()A相等的时间内通过的路程相等B相等的时间内通过的弧长相等C相等的时间内通过的位移相等D在任何相等的时间里，连接物体和圆心的半径转过的角度都相等答案C解析匀速圆周运动是指线速度大小不变的圆周运动，因此在相等时间内通过的路程相等，弧长相等，转过的角度也相等，A、B、D正确；相等时间内通过的位移大小相等，方向不一定相同，故C错误。2(角速度、周期和转速)(多选)一精准转动的机械钟表，下列说法正确的是()A秒针转动的周期最长B时针转动的转速最小C秒针转动的角速度最大D秒针的角速度为 rad/s答案BCD解析秒针转动的周期最短，角速度最大，A错误，C正确；时针转动的周期最长，转速最小，B正确；秒针的角速度为 rad/s rad/s，故D正确。3.(线速度与角速度)如图所示是一个玩具陀螺，a、b和c是陀螺上的三个点，当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度稳定旋转时，下列表述正确的是()Aa、b和c三点的线速度大小相等Ba、b和c三点的角速度大小相等Ca、b的角速度比c的大Dc的线速度比a、b的大答案B解析同一玩具陀螺上的三点绕同一竖直轴转动，因此角速度相同，B正确，C错误；c的半径最小，故它的线速度最小，a、b的半径相同，二者的线速度大小相等，A、D错误。4.(传动问题)如图所示，甲、乙、丙三个齿轮(齿未画出)的半径分别为r1、r2、r3，并且r1r2r3。若甲齿轮的角速度为1，则丙齿轮的角速度为()A. B. C. D.答案A解析甲、乙、丙三个齿轮边缘上各点的线速度大小相等，即r11r22r33，所以3，A正确。5(同轴转动和皮带传动问题)如图所示是自行车传动结构的示意图，其中A是半径为r1的大齿轮，B是半径为r2的小齿轮，C是半径为r3的后轮，假设脚踏板的转速为n r/s，则自行车前进的速度为()A. B. C. D.答案C解析前进速度即为后轮的线速度，由于同一个轮上的各点的角速度相等，A、B两轮边缘上各点的线速度大小相等，可得1r12r2，32，又12n，v3r3，所以v。C正确。6.(传动问题)如图所示的齿轮传动装置中，主动轮的齿数z124，从动轮的齿数z28，当主动轮以角速度顺时针转动时，从动轮的运动情况是()A顺时针转动，周期为B逆时针转动，周期为C顺时针转动，周期为D逆时针转动，周期为答案B解析主动轮顺时针转动，从动轮逆时针转动，两轮边缘的线速度大小相等，由齿数关系知主动轮转一周时，从动轮转三周，故T从T主，B正确。7(描述圆周运动的物理量)发动机的曲轴每分钟转2400周，求：(1)曲轴转动的周期与角速度；(2)距转轴r0.2 m的点的线速度大小。答案(1) s80 rad/s(2)16 m/s解析(1)由于曲轴每秒钟转40(周)，周期T s；而每转一周角度为2 rad，因此曲轴转动的角速度240 rad/s80 rad/s。(2)已知r0.2 m，因此这一点的线速度vr800.2 m/s16 m/s。8.(同轴转动和皮带传动问题)如图所示为皮带传动装置，皮带轮的圆心分别为O、O，A、C为皮带轮边缘上的点，B为AO连线上的一点，RBRA，RCRA，当皮带轮匀速转动时，皮带与皮带轮之间不打滑，求A、B、C三点的角速度大小之比、线速度大小之比。答案223212解析由题意可知，A、B两点在同一轮上，因此AB，又皮带不打滑，所以vAvC，故可得CA，所以ABCAAA223。又vBRBBRAA，所以vAvBvCvAvAvA212。9(描述圆周运动的各物理量间的关系)地球半径R6400 km，站在赤道上的人和站在北纬60上的人随地球转动的角速度分别是多大？他们的线速度分别是多大？答案7.3105 rad/s7.3105 rad/s467.2 m/s233.6 m/s解析画出地球自转示意图，如图所示，设赤道上的人站在A点，北纬60上的人站在B点，地球自转角速度固定不变，A、B两点的角速度相同，有AB rad/s7.3105 rad/s依题意可知，A、B两处站立的人随地球自转做匀速圆周运动的半径分别为：RAR，RBRcos60，则由vr可知，A、B两点的线速度分别为：vAARA7.31056400103 m/s467.2 m/svBBRB7.31056400103 m/s233.6 m/s即赤道上和北纬60上的人随地球转动的角速度都为7.3105 rad/s，赤道上和北纬60上的人随地球转动的线速度分别为467.2 m/s和233.6 m/s。B组：等级性水平训练10. (线速度与角速度)两个小球固定在一根长为L的杆的两端，绕杆上的O点做圆周运动，如图所示。当小球1的速度为v1时，小球2的速度为v2，则转轴O到小球2的距离是()A. B.C. D.答案B解析两球在同一杆上，旋转的角速度相等，均为，设两球的转动半径分别为r1、r2，则r1r2L。又知v1r1，v2r2，联立得r2，B正确。11.(皮带传动问题)(多选)如图所示为某一皮带传动装置，主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2。已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是()A从动轮做顺时针转动B从动轮做逆时针转动C从动轮的转速为nD从动轮的转速为n答案BC解析主动轮顺时针转动时，皮带带动从动轮逆时针转动，A项错误，B项正确；由于两轮边缘线速度大小相同，根据v2rn，可得两轮转速与半径成反比，所以C项正确，D项错误。12.(圆周运动的综合问题)如图所示，半径为R的圆轮在竖直面内绕过O点垂直于圆轮的轴匀速转动，轮上a、b两点与O的连线相互垂直，a、b两点均粘有一个小物体，当a点转至最低位置时，a、b两点处的小物体同时脱落，经过相同时间落到水平地面上，圆轮最低点距地面高度为R。(1)试判断圆轮的转动方向(说明判断理由)；(2)求圆轮转动的角速度大小。答案(1)见解析(2) 解析(1)由题意知，a点处物体做平抛运动，若与b点处物体下落的时间相同，则b点处物体必须做竖直下抛运动，故知圆轮转动方向为逆时针方向。(2)a平抛：Rgt2b竖直下抛：2Rv0tgt2由得v0又因由解得。13.(圆周运动的多解问题)如图所示，小球Q在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，当Q球转到图示位置时，O点正上方有另一小球P在距圆周最高点h处开始自由下落，要使两球在圆周最高点相碰，则Q球的角速度应满足什么条件？答案(4n1) (n0,1,2,3)解析设P球自由下落到圆周最高点的时间为t，由自由落体运动规律可得hgt2，解得t。经过时间t，Q球由图示位置转至最高点，才能与P球在圆周最高点相碰，其做匀速圆周运动，设周期为T，有t(4n1)(n0,1,2,3)两式联立再由T得，(4n1)。所以(4n1) (n0,1,2,3)。- 17 -
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