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4匀变速直线运动的速度与位移的关系知识内容匀变速直线运动的速度与位移的关系考试要求d课时要求1.会从vv0at，xv0tat2推导出v2v022ax. 2.理解v2v022ax的意义及正、负号的含义.3.能用v2v022ax解决简单问题.4.根据已知条件，会选择公式或联立方程求解相关问题.速度与位移的关系式1.公式：v2v022ax.2.推导：速度公式vv0at.位移公式xv0tat2.由以上两式可得：v2v022ax.3.匀变速直线运动的常用推论：推论1：中间时刻的瞬时速度.推论2：匀变速直线运动中，在连续相等的时间T内的位移之差为一恒定值，即xx2x1aT2.1.判断下列说法的正误.(1)公式v2v022ax适用于所有的直线运动.()(2)确定公式v2v022ax中的四个物理量的数值时，选取的参考系应该是统一的.()(3)因为v2v022ax，v2v022ax，所以物体的末速度v一定大于初速度v0.()(4)在公式v2v022ax中，a为矢量，与规定的正方向相反时a取负值.()2.汽车以10 m/s的速度行驶，刹车的加速度大小为3 m/s2，则它向前滑行12.5 m后的瞬时速度为_ m/s.答案5一、关系式v2v022ax的理解和应用如果你是机场跑道设计师，若已知飞机的加速度为a，起飞速度为v，则跑道的长度至少为多长？答案解析由v2v022ax得，跑道长度至少为x.1.适用范围：速度与位移的关系v2v022ax仅适用于匀变速直线运动.2.公式的矢量性：v2v022ax是矢量式，v0、v、a、x都是矢量，应用解题时一定要先设定正方向，取v0方向为正方向：(1)若加速运动，a取正值，减速运动，a取负值.(2)x0，位移的方向与初速度方向相同，x0则为减速到0，又返回到计时起点另一侧的位移.(3)v0，速度的方向与初速度方向相同，v0则为减速到0，又返回过程的速度.注意：应用此公式时，注意符号关系，必要时对计算结果进行分析，验证其合理性.3.公式的特点：不涉及时间，v0、v、a、x中已知三个量可求第四个量.例1某航母跑道长200 m，飞机在航母上滑行的最大加速度为6 m/s2，起飞需要的最低速度为50 m/s.那么，飞机在滑行前，需要借助弹射系统获得的最小初速度为()A.5 m/s B.10 m/s C.15 m/s D.20 m/s答案B解析由v2v022ax得：v0 m/s10 m/s.解答匀变速直线运动问题时巧选公式的基本方法(1)如果题目中无位移x，也不让求x，一般选用速度公式vv0at；(2)如果题目中无末速度v，也不让求v，一般选用位移公式xv0tat2；(3)如果题目中无运动时间t，也不让求t，一般选用导出公式v2v022ax.例2猎豹是目前世界上陆地奔跑速度最快的动物，速度可达每小时110多公里，但不能维持长时间高速奔跑，否则会因身体过热而危及生命.猎豹在一次追击猎物时可认为由静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为7.5 m/s2，经过4 s速度达到最大，然后匀速运动保持了4 s仍没追上猎物，为保护自己它放弃了这次行动，然后以大小3 m/s2的加速度做匀减速运动直到停下，设猎豹此次追捕始终沿直线运动.求：(1)猎豹奔跑的最大速度可达多少？(2)猎豹从开始做匀减速运动直到停下的位移是多少？答案(1) 30 m/s(2) 150 m解析(1)设猎豹奔跑的最大速度为v.对于加速过程，有：va1t17.54 m/s30 m/s.(2)对于减速过程，根据速度位移公式得：x m150 m.二、匀变速直线运动的常用结论例3一质点做匀变速直线运动的vt图象如图1所示已知一段时间内的初速度为v0，末速度为v，求：图1(1)这段时间内的平均速度(用v0、v表示)(2)中间时刻的瞬时速度.(3)这段位移中间位置的瞬时速度.答案见解析解析(1)因为vt图象与t轴所围面积表示位移，t时间内质点的位移可表示为xt平均速度 由两式得.(2)由题图可知中间时刻的瞬时速度的大小等于梯形中位线的长度，即：.(3)对前半位移有v022a对后半位移有v22a两式联立可得.三个平均速度公式及适用条件(1)，适用于所有运动.(2)，适用于匀变速直线运动.(3)，即一段时间内的平均速度，等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，适用于匀变速直线运动.针对训练1一质点做匀变速直线运动，初速度v02 m/s,4 s内位移为20 m，求：(1)质点4 s末的速度大小；(2)质点2 s末的速度大小答案(1)8 m/s(2)5 m/s解析(1)利用平均速度公式4 s内的平均速度，代入数据解得，4 s末的速度v48 m/s(2)2 s末的速度v2 m/s5 m/s.例4物体做匀变速直线运动，加速度为a，从某时刻起T时间内的位移为x1，紧接着第二个T时间内的位移为x2.试证明：xaT2.答案见解析解析证明：设物体的初速度为v0自计时起T时间内的位移x1v0TaT2在第2个T时间内的位移x2v02Ta(2T)2x1v0TaT2.由两式得连续相等时间内的位移差为xx2x1v0TaT2v0TaT2aT2，即xaT2.(1)匀变速直线运动中，在连续相等的时间T内的位移之差为一恒定值，即xx2x1aT2.(2)应用判断物体是否做匀变速直线运动如果xx2x1x3x2xnxn1aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动.求匀变速直线运动的加速度利用xaT2，可求得a 针对训练2一个做匀加速直线运动的物体，在前4 s内经过的位移为24 m，在第2个4 s内经过的位移是60 m，则这个物体的加速度和初速度各是多少？答案2.25 m/s21.5 m/s解析(方法一)由公式xaT2得：a m/s22.25 m/s2，由于v4 m/s10.5 m/s，而v4v04a，得v01.5 m/s.(方法二)物体在8 s内的平均速度等于中间时刻(即第4 s末)的瞬时速度，则v4 m/s10.5 m/s，且v4v04a，物体在前4 s内的平均速度等于第2 s末的瞬时速度v2 m/s6 m/s，而v2v02a，联立解得a2.25 m/s2，v01.5 m/s.1.(速度位移公式的应用)如图2所示，物体A在斜面上由静止匀加速滑下x1后，又匀减速地在水平平面上滑过x2后停下，测得x22x1，则物体在斜面上的加速度a1与在水平平面上的加速度a2的大小关系为()图2A.a1a2 B.a12a2C.a1a2 D.a14a2答案B解析设匀加速运动的末速度为v，对于匀加速直线运动阶段有：v22a1x1，对于匀减速运动阶段，采用逆向思维有：v22a2x2，联立两式解得2，即a12a2.2.(速度位移公式的应用)如图3所示，某高速列车在某段距离中做匀加速直线运动，速度由5 m/s增加到10 m/s时位移为x.则当速度由10 m/s增加到15 m/s时，它的位移是()A.x B.x C.2x D.3x图3答案B解析由v2v022ax得102522ax,1521022ax，两式联立可得xx，故B正确.3.(平均速度公式的应用)(2018嘉兴市第一学期期末)一辆汽车从静止开始由甲地出发，沿平直公路开往乙地，汽车先做匀加速直线运动，接着做匀减速直线运动，开到乙地刚好停止，其速度时间图象如图4所示，那么0t和t3t两段时间内()图4A.加速度大小之比为31B.位移大小之比为13C.平均速度大小之比为21D.平均速度大小之比为11答案D解析两段的加速度大小分别为a1，a2，A错.两段的位移x1vt，x2vt，B错.两段的平均速度12，C错，D对.4.(位移差公式xaT2的应用)(多选)如图5所示，物体做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB2 m，BC3 m，且物体通过AB、BC、CD所用的时间均为0.2 s，则下列说法正确的是()图5A.物体的加速度为20 m/s2B.物体的加速度为25 m/s2C.CD4 mD.CD5 m答案BC解析由匀变速直线运动的规律，连续相等时间内的位移差为常数，即xaT2可得： a m/s225 m/s2，故A错误，B正确；根据CDBCBCAB，可知CD4 m，故C正确，D错误.一、选择题1.关于公式x，下列说法正确的是()A.此公式只适用于匀加速直线运动B.此公式适用于匀减速直线运动C.此公式只适用于位移为正的情况D.此公式不可能出现a、x同时为负值的情况答案B解析公式x适用于匀变速直线运动，既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动，既适用于位移为正的情况，也适用于位移为负的情况，B正确，A、C错误；当物体做匀加速直线运动，且规定初速度的反方向为正方向时，a、x就会同时为负值，D错误.2.某飞机着陆时的速度是60 m/s，随后匀减速滑行，如果飞机的加速度大小是2 m/s2.为了使飞机能够安全地停下来，则滑道的长度至少为()A.900 m B.90 mC.1 800 m D.180 m答案A解析根据v22ax得，x900 m，选项A正确.3.在交通事故分析中，刹车线的长度是很重要的依据，刹车线是汽车刹车后，停止转动的轮胎在地面上滑动时留下的痕迹.在某次交通事故中，汽车刹车线的长度是14 m，假设汽车刹车时的速度大小为14 m/s，则汽车刹车时的加速度大小为()A.7 m/s2 B.17 m/s2C.14 m/s2 D.3.5 m/s2答案A解析设汽车开始刹车时的方向为正方向，由02v022ax得a7 m/s2，A正确.4.两个小车在水平面上做加速度相同的匀减速直线运动，若它们的初速度之比为12，则它们运动的最大位移之比为()A.12 B.14C.1 D.21答案B解析由0v022ax得，故()2，B正确.5.一小车从A点由静止开始做匀加速直线运动，如图1所示，若到达B点时速度为v，到达C点时速度为2v，则ABBC等于()图1A.11B.12C.13D.14答案C6.一辆汽车从车站由静止开始做匀加速直线运动，一段时间之后，司机发现一乘客未上车，便立即刹车做匀减速直线运动.已知汽车从启动到停止一共经历了10 s，前进了25 m，在此过程中，汽车的最大速度为()A.2.5 m/s B.5 m/sC.7.5 m/s D.10 m/s答案B解析设汽车的最大速度为vm，加速时间为t1，减速时间为t2，加速阶段的平均速度1减速阶段的平均速度2x1t12t2(t1t2)vmt，解得vm5 m/s.7.(多选)一质点从静止开始做匀加速直线运动，第3 s内的位移为2 m，那么()A.这3 s内的平均速度是1.2 m/sB.第3 s末的瞬时速度是2.2 m/sC.质点的加速度是0.6 m/s2D.质点的加速度是0.8 m/s2答案AD解析第3 s内的平均速度即为2.5 s时的速度，即v2.5 m/s2 m/s，所以加速度a m/s20.8 m/s2，所以C错误，D正确；第3 s末的瞬时速度是vat30.83 m/s2.4 m/s，B错误；这3 s内的平均速度是 m/s1.2 m/s，A正确.8.(2017浙江4月学考6)汽车以10 m/s的速度在马路上匀速行驶，驾驶员发现正前方15 m处的斑马线上有行人，于是刹车礼让，汽车恰好停在斑马线前，假设驾驶员反应时间为0.5 s.汽车运动的vt图如图2所示，则汽车的加速度大小为()图2A.20 m/s2 B.6 m/s2C.5 m/s2 D.4 m/s2答案C解析根据速度时间图象可知，在驾驶员反应时间内，汽车的位移为x1vt5 m，所以汽车在减速阶段的位移x2xx110 m，由运动学公式得出0v22ax2，a5 m/s2，故加速度大小为5 m/s2，C正确.9.一小球沿斜面以恒定的加速度滚下并依次通过A、B、C三点，已知6 m，10 m，小球通过AB、BC所用的时间均为2 s，则小球经过A、B、C三点时的速度分别为()A.2 m/s,3 m/s,4 m/sB.2 m/s,4 m/s,6 m/sC.3 m/s,4 m/s,5 m/sD.3 m/s,5 m/s,7 m/s答案B解析aT2，a m/s21 m/s2vB m/s4 m/s由vBvAaT，得vAvBaT(412) m/s2 m/s，vCvBaT(412) m/s6 m/s，B正确.10.(多选)一质点做匀加速直线运动，第3 s内的位移是2 m，第4 s内的位移是2.5 m，那么以下说法正确的是()A.第2 s内的位移是2.5 mB.质点的加速度是0.125 m/s2C.第3 s末的瞬时速度是2.25 m/sD.第4 s末的速度为2.75 m/s答案CD解析由xaT2，得a m/s20.5 m/s2，x3x2x4x3，所以第2 s内的位移x21.5 m，A、B错误；第3 s末的速度等于第34 s内的平均速度，所以v32.25 m/s，C正确；v4v3at2.75 m/s，D正确.二、非选择题11.(2018宁波市诺丁汉大学附中期中)汽车刹车后，停止转动的轮胎在地面上发生滑动产生明显的滑动痕迹，即常说的刹车线.由刹车线长短可以得知汽车刹车前的速度大小，因此刹车线的长度是分析交通事故的一个重要依据.若某汽车刹车后至停止的加速度大小为7 m/s2，刹车线长为14 m，求：(1)该汽车刹车前的初始速度v0的大小；(2)该汽车从刹车至刚停下来所用的时间t0；(3)在此过程中汽车的平均速度大小.答案(1)14 m/s(2)2 s(3)7 m/s解析(1)由题意根据运动学公式v2v022ax得v022ax，解得v0 m/s14 m/s.(2)方法一由vv0at0得t0 s2 s.方法二(逆过程)由xat02得t0 s2 s.(3) m/s7 m/s.12.(2018温州市十五校联考)如图3所示，无人机完成航拍任务后，悬停在距离地面高度H80 m处，控制动力系统，让无人机以8 m/s2的加速度竖直向下运动，经过2 s后再次控制动力系统，让无人机竖直向下做匀减速直线运动，落地时速度恰好为零.试求：图3(1)下落过程中的最大速度；(2)匀减速运动过程中加速度大小；(3)整个下落过程中的平均速度大小.答案见解析解析(1)vma1t1，由于a18 m/s2，t12 s，代入解得：vm16 m/s.(2)匀加速下落的高度为h116 m，匀减速下落的高度为h2Hh1(8016) m64 m，设匀减速运动过程中加速度大小为a2，a22 m/s2.(3)匀减速运动过程中经历时间t28 s，整个下落过程中的平均速度大小为8 m/s(或者8 m/s)12
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