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第五节向心加速度1理解向心加速度的概念。2知道向心加速度和线速度、角速度的关系式。3能够运用向心加速度公式求解有关问题。1.速度的变化量速度的变化量是指物体速度的增量，也叫速度变化。速度的变化量是矢量，有大小，也有方向。其运算规律遵循平行四边形定则(或三角形定则)。2对圆周运动中加速度的认识圆周运动的速度方向不断改变，一定是变速运动。必定有加速度。3向心加速度(1)定义：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫做向心加速度。(2)方向：向心加速度的方向总是沿着半径指向圆心，与该点的线速度方向垂直。向心加速度的方向时刻在改变。(3)大小：an。根据vr可得an2r。(4)作用效果：向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。(5)物理意义：向心加速度是描述线速度方向改变快慢的物理量，线速度方向变化的快慢体现了向心加速度的大小。判一判(1)做匀速圆周运动物体所受的合力总指向圆心。()(2)做匀速圆周运动物体的加速度总指向圆心。()(3)匀速圆周运动是加速度不变的运动。()提示：(1)做匀速圆周运动物体所受合力总是指向圆心的。(2)做匀速圆周运动物体所受合力总是指向圆心，根据牛顿第二定律，加速度也总指向圆心。(3)做匀速圆周运动物体的加速度总是指向圆心，所以其方向不断变化。想一想匀速圆周运动中，物体的加速度就是向心加速度吗？加速度一定指向圆心吗？在变速圆周运动中呢？提示：在匀速圆周运动中，物体的加速度就是向心加速度，加速度一定指向圆心；在变速圆周运动中，物体的加速度不是向心加速度，加速度不指向圆心，但向心加速度指向圆心。课堂任务向心加速度的理解仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。活动1：地球和小球的运动状态发生变化吗？若变化，变化的原因是什么？提示：地球和小球的速度方向不断发生变化，所以运动状态发生变化。运动状态发生变化的原因是受到力的作用。活动2：地球受到什么力的作用？这个力可能沿什么方向？地球的加速度沿什么方向？提示：地球受太阳引力的作用做匀速圆周运动，这个力只是在改变速度的方向，不改变速度大小，力应与速度垂直，故引力指向圆心，加速度也必然指向圆心。活动3：水平面上匀速圆周运动的小球受到几个力的作用？这几个力的合力沿什么方向？小球的加速度沿什么方向？提示：小球受重力、支持力和线的拉力，但重力、支持力合力为零。所以小球受到的合力就是线的拉力，方向指向圆心，故加速度也指向圆心。活动4：讨论、交流、展示，得出结论。(1)向心加速度的方向：总指向圆心，方向时刻改变。(2)向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度的作用只是改变速度的方向，对速度的大小无影响。(3)圆周运动的性质：不论向心加速度a的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动。例1(多选)关于向心加速度，以下说法中正确的是()A向心加速度的方向始终与线速度方向垂直B向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小C物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心D物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心(1)向心加速度的物理意义是什么？提示：加速度是表示速度变化快慢的物理量，向心加速度仅表示物体线速度方向变化的快慢，不表示物体线速度大小变化的快慢。(2)向心加速度方向为_。提示：始终指向圆心规范解答向心加速度的方向沿半径指向圆心，线速度方向则沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，只改变线速度的方向，物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；一般情况下，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不指向圆心。故A、B、D正确，C错误。完美答案ABD对向心加速度的理解(1)向心加速度只描述线速度方向变化的快慢，沿切线方向的加速度描述线速度大小变化的快慢。下列说法中正确的是()A向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢B向心加速度描述线速度方向变化的快慢C在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的D匀速圆周运动是匀变速曲线运动答案B解析匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变线速度的方向，A错误，B正确；匀速圆周运动中，向心加速度的大小不变，方向时刻变化，所以匀速圆周运动是变加速曲线运动，故C、D错误。课堂任务向心加速度的大小和方向仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。活动1：在直线运动中如何表示速度的变化量？提示：在直线运动中速度的变化量如图甲和图乙所示。甲表示加速运动，乙表示减速运动。活动2：如果速度的方向是变化的，如何表示速度的变化量？提示：在同一点作出物体在一段时间的始末两个速度矢量v1和v2，从初速度矢量v1的末端至末速度矢量v2的末端的有向线段v就是v1到v2速度的变化量，如图丙。活动3：设质点沿半径为r的圆周做匀速圆周运动，比如从A点运动到B点，极短的一段时间，速度变化量v的方向如何？提示：由于是匀速圆周运动，A点的速度v1和B点的速度v2大小是一样的，即长度是一样的。为了便于比较，将v1的起点移到B，同时保持v1的长度和方向不变，如图丙。如果我们把时间逐渐缩短，当时间趋于0时，v1、v2的夹角趋于0，此时速度变化量v的方向与v1垂直，也就与半径平行，在A处与半径重合，指向圆心。活动4：讨论、交流、展示，得出结论。(1)向心加速度的方向v的方向：如图所示，质点做匀速圆周运动从A点运动到B点，用下图体现时间逐渐减小到趋于零时v与初速度的关系。结论：t趋于零，v垂直于此时的线速度。即v指向圆心。向心加速度的方向：由于v指向圆心，由加速度定义a可知，加速度总是与v的方向一致，故向心加速度方向指向圆心。(2)向心加速度的大小公式推导：先作出做匀速圆周运动的物体的速度情况如图甲所示，再作出速度与速度改变量的关系图如图乙所示。由于A点的速度vA方向垂直于半径r，B点的速度vB方向垂直于另一条半径r，所以AOBCBD，故等腰AOB和CBD相似，根据对应边成比例可得：，由于时间t很短，故弦长AB近似等于弧长，而弧长vAt，所以，又an，故an。由于vr，代入an可得an2r。向心加速度的几种表达式：an2rr42n2rv。向心加速度与半径的关系a当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比，如图甲所示。b当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比，如图乙所示。由anr图象可以看出：向心加速度an与r是成正比还是反比，要看恒定还是v恒定。向心加速度的注意要点a向心加速度的公式适用于所有圆周运动的向心加速度的计算，包括非匀速圆周运动，但an与v具有瞬时对应性。b向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。向心加速度表示速度方向改变的快慢。c无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心。非匀速圆周运动合加速度不指向圆心，但向心加速度一定指向圆心，是专门改变速度方向的。例2如图所示，压路机大轮的半径R是小轮半径r的2倍。压路机匀速行驶时，大轮边缘上A点的向心加速度是12 cm/s2，那么小轮边缘上B点的向心加速度是多少？大轮上距轴心距离为的C点的向心加速度大小是多少？(1)怎么比较A、B、C三点的向心加速度大小？提示：需要涉及公式an、an2r，通过抓住相同量比较不同量。(2)A、B两点有什么物理量相同？A、C两点有什么物理量相同？提示：由于A、B轮在一起朝前运动，都走同样的路，其线速度大小相等。A、C同轴，角速度、周期、转速相等。规范解答大轮边缘上A点的线速度大小与小轮边缘上B点的线速度大小相等。由aA和aB得aBaA24 cm/s20.24 m/s2；C点和A点同在大轮上，角速度相等，由aA2R和aC2得aC4 cm/s20.04 m/s2。完美答案aB0.24 m/s2aC0.04 m/s2向心加速度公式的应用技巧(1)皮带传动问题，两轮边缘线速度大小相等，常选择公式an。(2)同轴转动问题，各点角速度相等，常选择公式an2r。所以分析向心加速度时应先确定是线速度大小相等，还是角速度相等，再选择合适的公式。如图所示，O1为皮带传动的主动轮的轴心，主动轮半径为r1，O2为从动轮的轴心，从动轮半径为r2，r3为固定在从动轮上的小轮半径。已知r22r1，r31.5r1。A、B、C分别是三个轮边缘上的点，则点A、B、C的向心加速度之比是(假设皮带不打滑)()A123B243 C843D362答案C解析因为皮带不打滑，A点与B点的线速度大小相同，都等于皮带运动的速率。根据向心加速度公式a，可得aAaBr2r121。由于B、C同轴转动，所以它们的角速度相同。根据向心加速度公式a2r，可得aBaCr2r321.5。由此得aAaBaC843，故选C。 A组：合格性水平训练1(向心加速度的理解)下列关于向心加速度的说法中正确的是()A向心加速度的方向始终指向圆心B向心加速度的方向保持不变C在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的D在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化答案A解析向心加速度的方向时刻指向圆心，A正确，B错误；匀速圆周运动中，向心加速度的大小不变，方向时刻变化，故C、D错误。2.(传动装置中的向心加速度)如图所示，两轮压紧，通过摩擦传动(不打滑)，已知大轮半径是小轮半径的2倍，E为大轮半径的中点，C、D分别是大轮和小轮边缘上的一点，则E、C、D三点向心加速度大小关系正确的是()AanCanD2anEBanC2anD2anECanC2anEDanCanE答案C解析C、E两点同轴转动，角速度相等，由an2r，有2，即anC2anE；两轮边缘点的线速度大小相等，C、D两点的线速度大小相等，由an，有，即anCanD，故选C。3(向心加速度与半径的关系)关于质点的匀速圆周运动，下列说法中正确的是()A由an可知，an与r成反比B由an2r可知，an与r成正比C由vr可知，与r成反比D由2f可知，与f成正比答案D解析质点做匀速圆周运动的向心加速度与质点的线速度、角速度、半径有关，当线速度一定时，向心加速度与半径成反比；当角速度一定时，向心加速度与半径成正比，对线速度和角速度与半径的关系也可以同样进行讨论，而角速度无论何时均与频率成正比。A、B、C错误，D正确。4.(向心加速度与半径的关系)(多选)如图所示为A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象，其中A为双曲线的一个分支，由图可知()AA物体运动的线速度大小不变BA物体运动的角速度大小不变CB物体运动的角速度大小不变DB物体运动的角速度与半径成正比答案AC解析因为A为双曲线的一个分支，说明a与r成反比，由a可知，A物体运动的线速度大小不变，故A正确，B错误；而OB为过原点的直线，说明a与r成正比，由a2r可知，B物体运动的角速度大小不变，故C正确，D错误。5(匀速圆周运动的加速度)(多选)一只质量为m的老鹰，以速率v在水平面内做半径为r的匀速圆周运动，则关于老鹰的向心加速度的说法正确的是()A大小为B大小为gC方向在水平面内D方向在竖直面内答案AC解析根据an可知A正确；由于老鹰在水平面内做匀速圆周运动，向心加速度始终指向圆心，所以向心加速度的方向在水平面内，C正确。6.(综合)如图所示，一圆环以直径AB为轴匀速转动，P、Q、R是环上的三点，则下列说法正确的是()A向心加速度的大小aPaQaRB任意时刻P、Q、R三点向心加速度的方向不同C线速度vPvQvRD任意时刻P、Q、R三点的线速度方向均不同答案C解析圆环各处的角速度相等，由a2r知aPaQaR，故A错误；由vr知vPvQvR，故C正确；由于向心加速度总是指向圆周运动圆心，所以P、R、Q处的向心加速度的方向都垂直于AB轴且指向AB轴，即P、Q、R三点向心加速度的方向相同，B错误；线速度方向都垂直于向心加速度，故P、Q、R三点的线速度方向相同，D错误。7.(综合)如图所示，一球体绕轴O1O2以角速度匀速旋转，A、B为球体上两点，下列几种说法中正确的是()AA、B两点具有相同的角速度BA、B两点具有相同的线速度CA、B两点的向心加速度的方向都指向球心DA、B两点的向心加速度之比为答案A解析A、B为球体上两点，因此A、B两点的角速度与球体绕轴O1O2旋转的角速度相同，A正确；如图所示，A以P为圆心做圆周运动，B以Q为圆心做圆周运动，因此A、B两点的向心加速度方向分别指向P、Q，C错误；设球的半径为R，则A运动的半径rARsin60，B运动的半径rBRsin30，B错误；，D错误。8.(向心加速度的计算)滑板运动是深受青少年喜爱的运动，如图所示，某滑板运动员恰好从B点进入半径为2.0 m的光滑圆弧轨道，该圆弧轨道在C点与水平光滑轨道相接，运动员滑到C点时的速度大小为10 m/s。求他到达C点前、后瞬间的加速度。(不计各种阻力)答案50 m/s2，方向竖直向上0解析运动员到达C点前的瞬间做圆周运动，加速度大小a m/s250 m/s2，方向在该位置指向圆心，即竖直向上。运动员到达C点后的瞬间合外力为0，加速度为0。9. (综合)如图所示，甲、乙两物体自同一水平线上同时开始运动，甲沿顺时针方向做匀速圆周运动，圆周半径为R；乙做自由落体运动，当乙下落至A点时，甲恰好第一次运动到最高点B，求甲物体做匀速圆周运动的向心加速度的大小。(重力加速度为g)答案2g解析设乙下落到A点所用时间为t，则对乙，满足Rgt2，得t，这段时间内甲运动了T，即T又由于an2RR由得，an2g。B组：等级性水平训练10.(传动问题)如图所示，A、B为啮合传动的两齿轮(齿未画出)，rA2rB，则A、B两轮边缘上两点的()A角速度之比为21 B向心加速度之比为12C周期之比为12 D转速之比为21答案B解析根据两轮边缘线速度大小相等，由vr，得角速度之比为ABrBrA12，故A错误；由an，得向心加速度之比为aAaBrBrA12，故B正确；由T，得周期之比为TATBrArB21，故C错误；由n，得转速之比为nAnBAB12，故D错误。11. (综合)(多选)小球质量为m，用长L的轻悬线固定于O点，在O点的正下方处钉有一颗钉子P，把悬线沿水平方向拉直，如图所示。若无初速度释放小球，当悬线碰到钉子后的瞬间(设线没有断)()A小球的角速度突然增大B小球的线速度突然减小到零C小球的向心加速度突然增大D小球的线速度突然增大答案AC解析由题意知，当悬线运动到与钉子相碰时，悬线仍然竖直，小球在竖直方向仍然只受重力和悬线的拉力，故其运动方向不受力，线速度大小不变，B、D错误；又，r减小，所以增大；a，r减小，则a增大，故A、C正确。12. (传动问题)如图所示为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮1的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，且为轮1和轮2半径的一半，则轮1边缘的a点和轮4边缘的c点相比()A线速度之比为14B角速度之比为41C向心加速度之比为81D向心加速度之比为18答案D解析由题意知vav3，v2vc，又轮2与轮3同轴转动，角速度相同，v22v3，所以vavc12，A错误。，B错误。设轮4的半径为r，则aaac，即aaac18，C错误，D正确。13. (综合)(多选)如图所示，一小物块以大小为an4 m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R1 m，则下列说法正确的是()A小物块运动的角速度为2 rad/sB小物块做圆周运动的周期为 sC小物块在t s内通过的位移大小为 mD小物块在 s内通过的路程为零答案AB解析因为an2R，所以小物块运动的角速度为2 rad/s，周期T s，A、B正确；小物块在 s内转过弧度，通过的位移大小为 m，在 s内转过一周，通过的路程为2 m，C、D错误。14. (多解问题)用图所示的装置可以测量弹簧枪发射子弹的速度。在一根水平轴MN上相隔L安装两个平行的薄圆盘，两圆盘可以绕水平轴MN一起匀速转动。弹簧枪紧贴左盘沿水平方向在水平轴MN的正上方射出一颗子弹，子弹穿过两个薄圆盘(穿过圆盘时速度不变)，并在圆盘上留下两个小孔A和B(设子弹穿过B时还没有运动到转轴的下方)。若测得两个小孔距水平轴MN的距离分别为RA和RB，它们所在的半径按转动方向由B到A的夹角为(为锐角)。求：(1)弹簧枪发射子弹的速度；(2)圆盘绕MN轴匀速转动的角速度；(3)若用一橡皮泥将A孔堵上，则橡皮泥的向心加速度的大小是多少？答案(1)L(2)(2n)(n0,1,2，)(3)(n0,1,2，)解析(1)以子弹为研究对象，在从A运动到B的过程中，由平抛运动的规律可得RARBgt2，Lv0t联立解得v0L。(2)子弹从A运动到B所用的时间为t 。在此过程中，圆盘转过的角度为2n(n0,1,2，)所以圆盘转动的角速度为(2n)(n0,1,2，)。(3)橡皮泥的角速度与圆盘转动的角速度相等，所以橡皮泥的向心加速度为a2RA(n0,1,2，)。- 16 -
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