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第3节波长、频率和波速1理解波长、频率和波速的物理意义，能从波的图象中求出波长。2理解波长、频率和波速之间的关系，并能进行相关的计算。3知道时间t前后波形图的确定方法，会画出其波形图。4了解波的多解问题，掌握解决多解问题的方法。一、波长1定义：在波动中，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离，用物理符号表示。2特征：在横波中，两个相邻波峰或两个相邻波谷之间的距离等于波长。在纵波中，两个相邻密部或两个相邻疏部之间的距离等于波长。二、周期和频率1概念：波的周期(频率)等于波源及介质中各个质点的振动周期(振动频率)，周期用符号T表示，频率用符号f表示。2规律：在波动中，各个质点的振动周期(或频率)均由波源决定，并且均相同，它们都等于波源的振动周期(或频率)。3关系：周期T和频率f互为倒数，即T。4时空关系：在一个周期内，振动在介质中传播的距离等于一个波长。三、波速1定义：机械波在介质中传播的速度。波速等于波长和周期的比值。2定义式：v，它又等于波长和频率的乘积，公式为vf。3决定因素：机械波在介质中的传播速度由介质本身的性质决定。在不同的介质中，波速一般不同。另外，波速还与温度有关。判一判(1)两个波峰(或波谷)之间的距离为一个波长。()(2)两个密部(或疏部)之间的距离为一个波长。()(3)振动在介质中传播一个波长的时间是一个周期。()提示：(1)(2)(3)想一想频率越大的机械波在介质中传播得越快吗？提示：波的传播速度与频率无关，只与介质的性质有关。课堂任务波长、频率、周期和波速一、波长1定义：在波动中，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离。2特征：在横波中，两个相邻波峰或两个相邻波谷之间的距离等于波长。在纵波中，两个相邻密部或两个相邻疏部之间的距离等于波长。二、周期(T)与频率(f)1波的周期(或频率)就等于波源质点振动的周期(或频率)。2物理意义波的周期(或频率)是反映波变化快慢的物理量，它不能反映波传播的快慢。(1)波的周期由波源决定，与传播介质无关。同一列波在不同介质中传播时能够保持不变的是周期(或频率)。(2)每经历一个周期，各振动质点完成一次全振动，波形图将恢复原状。三、波速(v)1定义单位时间内振动所传播的距离叫做波速，即v。2物理意义波速描述的是机械波在介质中传播的快慢程度，它不表示介质中质点运动的快慢。(1)机械波的传播速度的大小由介质的性质决定，同一列波在不同介质中传播速度是不同的。(2)机械波在同一均匀介质中是匀速传播的，所以传播距离xvt。四、波长、频率(或周期)1由于每经过一个周期T的时间振动传播的距离等于一个波长，所以波速v。2由于周期和频率互为倒数，所以vf。例1(多选)关于公式vf，下列说法中正确的是()Avf适用于一切波B由vf知，f增大，则波速v也增大Cv、f三个量中，对同一列波来说，在不同介质中传播时保持不变的只有fD由vf知，波长是6 m的声波为波长是3 m的声波传播速度的2倍(1)公式vf的适用范围？提示：只要是波，波速和波长均满足关系式vf。(2)波速的大小由什么决定？提示：波速大小由介质决定，只要介质相同波速就相同。规范解答公式vf适用于一切波，无论是机械波还是电磁波，A正确；机械波的波速仅由介质决定，与频率f、波长无关，所以B、D错误；对同一列波，其频率由振源决定，与介质无关，C正确。完美答案AC(1)波从一种介质进入另外一种介质，波源没变，波的频率不会发生变化；波速的大小由介质决定，介质不同波速就不同，由于波速的改变，波长改变。(2)波长也是波的周期性的体现，它体现的是波在空间上的周期性。(3)波传播的速度与质点振动的速度无必然关系。(4)注意波长、频率、波速的关系。如图甲所示，一根水平张紧的弹性长绳上有等间距的Q、P、O、P、Q质点，相邻两质点间距离为1 m。t0时刻O质点从平衡位置开始沿y轴正方向振动，并产生分别向左、向右传播的波，O质点振动图象如图乙所示，当O点第一次达到正方向最大位移的时刻，P点刚开始振动，则()AP、P两点的振动步调始终相反B当Q点振动第一次达到负向最大位移时，O质点已经通过25 cm的路程Ct4 s时P点处于波峰D若O质点振动加快，波的传播速度变大答案B解析依题意知，向左、向右传播的两列波关于y轴左右对称的两点，步调总是相同，A错误；t1 s时，O点第一次达到正方向最大位移，P点刚开始向上运动，T4 s，4 m，振动从O点传到Q时，O点已经振动了半个周期，Q起振方向向上，当Q点振动第一次达到负向最大位移时，质点O共运动了1周期，第二次到达正向最大位移处，通过的路程为x5A25 cm，B正确；T4 s，故t4 s时，质点O回到平衡位置向上运动，所以此时P点处于波谷，C错误；波速由介质决定，与频率无关，故O质点振动加快，波的传播速度不变，D错误。课堂任务时间t前后波形图的确定方法1t后波形图的画法(1)平移法原理：波传播的是运动形式，即波形的传播。方法与步骤a算出波在t时间内传播的距离：xvt(nx)(n0,1,2,3)。b把波形沿波的传播方向平移x，如图所示的图象。c然后将图线向左顺延即可，如图中虚线部分。(2)特殊点法原理：参与波动的介质质点都在各自的平衡位置附近振动，并不随波迁移。方法与步骤a取平衡位置相距为的两个特殊点(最大位移处与平衡位置处)为研究对象。b根据图示时刻质点的振动方向，判定出t通常要算出t(nt)T(n0,1,2,3)时间后两质点的位置。c过这两位置画出正弦图象即可。如图所示，假设tT，t后波形如图中所示。2t前波形图的画法如果运用平移法，只需将波形逆着波的传播方向推进；如果运用特殊点法，只需沿着质点振动的反方向找出t后的质点位置，其他做法不变。例2如图所示是一列简谐波在某时刻的波形图，若每隔0.2 s波沿x方向行进0.8 m，试画出17 s后的波形图。(1)该简谐波的波速应该怎样求解？提示：利用v求解，其中x、t分别为波传播的距离和时间。(2)若17秒内波向x方向传播(nx) m，应将此时的波如何移动才能得出17秒后的波形？提示：应将波沿x方向移动x m即可。规范解答解法一：平移法由题知波速v m/s4 m/s，由题图知波长8 m。可知周期T s2 s,17 s内的周期数n8，将8舍弃，取，根据波动的时间与空间的周期性，将波向x方向平移即可，如图中虚线所示；解法二：特殊点法如图所示，在题图中原波形上取两特殊质点a、b，因t8T，舍弃8，取T，找出a、b两质点再振动后的位置a、b，过a、b画一条正弦曲线即可。完美答案见规范解答平移法确定t前后波形图要点用平移法作图时，既可通过x与的关系确定波形移动，也可通过t与T的关系确定，因为在一个周期内，波向前传播一个波长的距离，如上例。如图甲所示是一列简谐横波在t0.2 s时的波形图，其中O是波源，图乙是波上某一点P的振动图象。(1)该波的波长为_m，周期为_s，波速为_m/s；(2)说明P质点的位置；(3)画出t0.4 s和t0.55 s的波形图。答案(1)40.220(2)见解析(3)见解析解析(1)由甲图知波长4 m，由乙图知周期T0.2 s。所以波速v20 m/s。(2)由乙图知在t0.2 s时P质点经过平衡位置正向上运动，且它已振动了一个周期，所以它应是甲图中的波源O，其横坐标x0。(3)t0.4 s时，从甲图算起t10.2 sT，波形正好向右平移了一个波长，因此此时04 m之间的波形与t0.2 s时的波形相同，此时的波形如图中实线所示。t0.55 s时，从甲图算起t20.35 s1T。由画图的一般做法：去整取零法，只需把t0.2 s时的波形向右平移即可，结果如图中虚线所示。课堂任务波的多解问题1造成波动问题多解的主要因素(1)周期性时间周期性：相隔周期整数倍时间的两个时刻的波形图完全相同，时间间隔t与周期T的关系不明确会导致多解。空间周期性：沿传播方向上，相隔波长整数倍距离的两质点的振动情况完全相同，质点间距离x与波长的关系不明确会导致多解。(2)双向性对给定的波形图，波的传播方向不同，质点的振动方向也不同，反之亦然。传播方向双向性：波的传播方向不确定。振动方向双向性：质点振动方向不确定。2波动问题的几种可能性(1)质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能。(2)质点由平衡位置开始振动，则有起振方向向上、向下(或向左、向右)的两种可能。(3)只告诉波速不指明波的传播方向，应考虑沿x轴正方向和x轴负方向两个方向传播的可能。(4)只给出两时刻的波形，则有多次重复出现的可能等。3解决波的多解问题的方法(1)解决周期性多解问题时，往往采用从特殊到一般的思维方法，即找到一个周期内满足条件的特例，在此基础上，再加上时间nT；或找到一个波长内满足条件的特例，在此基础上再加上距离n。(2)解决双向性多解问题时，养成全面思考的习惯，熟知波有向正、负(或左、右)两方向传播的可能，质点有向上、向下(或向左、向右)两方向振动的可能。例3一列简谐横波图象如图所示，t1时刻的波形如图中实线所示，t2时刻的波形如图中虚线所示，已知tt2t10.5 s，问：(1)这列波的可能波速的表达式？(2)若波向左传播，且3Tt4T，波速多大？(3)若波速v68 m/s，则波向哪个方向传播？(1)题目中未明确波的传播方向应如何处理？提示：首先看能否通过振动方向得到波的传播方向，因本题也未明确t与T的关系，故无法得知波中质点振动方向及波的传播方向，所以应对波的传播方向进行讨论。(2)确定x与的关系时，考虑周期性吗？提示：是的。这是波的空间周期性造成的。规范解答(1)未明确波的传播方向和t与T的关系，故有两组系列解。当波向右传播时：v右 m/s4(4n1) m/s(n0,1,2，)当波向左传播时：v左 m/s4(4n3) m/s(n0,1,2，)(2)明确了波的传播方向，并限定3Tt4T，设此时间内波传播距离为s，则有3s4，即n3，代入式v左4(4n3) m/s4(433) m/s60 m/s。(3)给定的波速v68 m/s，则给定时间t内波传播距离xvt680.5 m34 m4，故波向右传播。完美答案(1)向右传播时：4(4n1) m/s(n0,1,2，)向左传播时：4(4n3) m/s(n0,1,2，)(2)60 m/s(3)向右传播解决波的多解问题的一般思路(1)首先考虑双向性，若题目未告知波的传播方向或没有其他条件暗示，应首先按波传播的可能性进行讨论。(2)对设定的传播方向，确定t和T的关系，一般先确定最简单的情况，即一个周期内的情况，然后在此基础上加nT。(3)应注意题目是否有限制条件，如有的题目限制波的传播方向，或限制时间t大于或小于一个周期等，所以解题时应综合考虑，加强多解意识，认真分析题意。(4)空间的周期性与时间的周期性是一致的，实质上是波形平移规律的应用，所以应用时我们可以针对不同题目选择其中一种方法求解。(多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播，t0时的波形如图中实线所示，t0.1 s时的波形如图中的虚线所示。波源不在坐标原点处，P是传播介质中离坐标原点2.5 m处的一个质点，则下列说法正确的是()A波的频率可能为7.5 HzB波的传播速度可能为50 m/sC质点P的振幅为0.1 mD在t0.1 s时与P相距5 m处的质点也一定向上振动答案BC解析从题图中可以看出波形从实线传播到虚线的时间为tT(n0,1,2，)，波的频率为f Hz2.5(4n1) Hz(n0,1,2，)，A错误；从题图中得出波长为4 m，波的传播速度为vf10(4n1) m/s(n0,1,2，)，当n1时，v50 m/s，B正确；从题图中可以看出质点P的振幅为0.1 m，C正确；从题图中可知t0.1 s时，质点P向上振动，与质点P相距5 m的质点与质点P相距1个波长，若该质点在P点左侧，它正在向下振动，若该质点在P点右侧，它正在向上振动，D错误。A组：合格性水平训练1(周期、波速)(多选)一振动周期为T、振幅为A、位于x0点的波源从平衡位置沿y轴正向开始做简谐振动。该波源产生的一列简谐横波沿x轴正向传播，波速为v，传播过程中无能量损失。一段时间后，该振动传播至某质点P，关于质点P振动的说法正确的是()A振幅一定为AB周期一定为TC速度的最大值一定为vD开始振动的方向沿y轴向上或向下取决于它离波源的距离答案AB解析机械波是将波源的振动形式和能量向外传递的过程，对简谐波而言，介质中各振动质点的振幅和周期都与波源的相同，A、B正确；质点P的振动速度不是波的传播速度v，C错误；质点P开始振动的方向与波源开始振动的方向相同，与它们的距离无关，D错误。2(波速)如图所示，甲图为一列简谐横波在t20 s时的波形图，乙图是这列波中P点的振动图线，那么该波的传播速度和传播方向是()A25 cm/s，向左传播 B50 cm/s，向左传播C25 cm/s，向右传播 D50 cm/s，向右传播答案B解析根据振动图象可知该波T2 s，t20 s10T时，P质点振动情况与t0时刻振动情况相同，处于平衡位置且向上振动，结合波形图利用“微平移法”确定该波向左传播，根据波形图得出该波波长100 cm，波速v50 cm/s，故B正确。3(波长、周期、波速)(多选)如图所示，一列简谐波沿x轴正方向传播，t0时，该波传播到x轴上的质点B处，质点A在负的最大位移处，在t0.6 s时，质点A第二次出现在正的最大位移处，则()A该波的周期为0.3 sB该波的波速等于5 m/sCt0.6 s时，质点C在平衡位置处且向上运动Dt0.6 s时，质点C在平衡位置处且向下运动答案BC解析在t0.6 s内，质点A振动时间为T，即T0.6 s，T0.4 s，A错误；由图象知：2 m，则v m/s5 m/s，B正确；在t0.6 s内，质点振动T，波恰好传播，即t0时刻O点的振动形式恰好传到C点，t0时，O恰好在平衡位置处向上运动，因此C重复其运动，C正确，D错误。4(频率、波速)如图所示为一列简谐横波在某时刻的波形图。已知图中质点b的起振时刻比质点a超前了0.4 s，则以下说法正确的是()A波的波速为10 m/sB波的频率为1.25 HzC波沿x轴正方向传播D该时刻质点P正沿y轴正方向运动答案B解析b和a之间的距离是2 m，则波长为4 m，b、a两质点振动相差半个周期，由题：图中质点b的起振时刻比质点a超前了0.4 s，则周期T0.8 s，则波速为v m/s5 m/s，频率f Hz1.25 Hz，故A错误，B正确；由于质点b的起振时刻比质点a早，所以波沿x轴负方向传播，C错误；由“上下坡”法知该时刻质点P正向y轴负方向运动，故D错误。5(波长、频率、波速)(多选)如图所示，沿x轴正方向传播的一列简谐横波某时刻的波形图为一正弦曲线，其波速为200 m/s，下列说法正确的是()A图示时刻质点b的加速度正在减小B从图示时刻开始，经过0.01 s，质点a通过的路程为20 cmC波的频率为50 HzD从图示时刻开始，经过0.005 s，质点a通过的路程为20 cm答案CD解析已知波沿x轴正方向传播，则质点b在题中图示时刻振动方向沿y轴负方向，位移增大，加速度增大，选项A错误；波的周期T s0.02 s，从题中图示时刻，经0.01 s，质点a从波峰到达波谷，通过的路程为2A40 cm，选项B错误；该列波的频率f50 Hz，选项C正确；从题中图示时刻开始，经过0.005 s，质点a通过的路程是20 cm，选项D正确。6(波的多解问题)(多选)M、N为介质中波的传播方向上的两点，间距s1.5 m，它们的振动图象如图所示，这列波的波速的可能值为()A15 m/s B7.5 m/sC5 m/s D3 m/s答案ACD解析因为M、N两点振动情况恰好相反，所以它们的间距等于的奇数倍。设波长为，则sn，所以(n0,1,2，)。由振动图象知，波的周期为T0.2 s，因此波速的一般表达式为v m/s m/s(n0,1,2，)。当n0时，v m/s15 m/s；当n1时，v5 m/s；当n2时，v3 m/s。7(综合)(多选)如图甲为一列简谐横波在某一时刻的波形图，图乙为介质中某处的质点P以此时刻为计时起点的振动图象，下列说法正确的是()A这列波的传播方向是沿x轴正方向B这列波的传播速度是20 m/sC经过0.15 s质点P沿x轴正方向传播了3 mD经过0.1 s时，质点Q的运动方向沿y轴正方向E经过0.35 s时，质点Q距平衡位置的距离小于质点P距平衡位置的距离答案ABE解析由乙图可以看出，质点P在这一时刻从平衡位置向下振动，可见甲图中的波应沿x轴正向传播，故A项正确；从乙图可以看出该列波的振动周期为0.2 s，从甲图中可以看出其波长为4 m，则其波速为20 m/s，故B项正确；质点只在平衡位置附近上下振动，不沿x轴传播，故C项错误；波沿x轴正向传播，此刻Q点应向上振动，经过0.1 s即半个周期以后，其振动方向相反，故0.1 s后Q点运动方向沿y轴负方向，故D项错误；经过0.35 s，即1个周期，Q点位于横轴下方，不在最大位移处，P点恰好位于正的最大位移处，故E项正确。B组：等级性水平训练8(波长、频率、波速)(多选)下列说法中正确的是()A介质中质点的振动速度等于波的传播速度B介质中质点的振动频率等于波源的振动频率C振幅越大，则波传播的速度越快D在一个周期内，振动质点走过的路程等于一个波长E振动的频率越高，则波传播一个波长的距离所用的时间越短答案BE解析波速由介质决定，与质点的振动速度无关，A错误；波速与振幅无关，C错误；波长为波在一个周期内传播的距离，与质点的路程无关，D错误。9(波的多解问题)(多选)一列简谐横波在t0时刻的波形如图中的实线所示，t0.02 s时刻的波形如图中虚线所示。若该波的周期T大于0.02 s，则该波的传播速度可能是()A1 m/s B3 m/sC7 m/s D5 m/s答案AB解析设波向右传播，则在t0时刻x4 m处的质点往上振动，设经历t时间质点运动到波峰的位置，则tT(n0,1,2，)，即T s(n0,1,2，)。当n0时，T0.08 s0.02 s，符合要求，此时v m/s1 m/s；当n1时，T0.016 s0.02 s，符合要求，此时v m/s3 m/s；当n1时，T s0.02 s，不符合要求。综上所述，只有A、B正确。10(综合)(多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播，在x12 m处的质点的振动图线如图1所示，在x18 m处的质点的振动图线如图2所示。下列说法正确的是()A该波的周期为12 sBx12 m处的质点在平衡位置向上振动时，x18 m处的质点在波峰C04 s内x12 m处和x18 m处的质点通过的路程均为6 cmD该波的波长可能为8 mE该波的传播速度可能为2 m/s答案ABD解析波的传播周期与质点的振动周期相等，所以该波的周期为12 s，故A正确。如图，t3 s时刻x12 m处的质点在平衡位置，且向上振动，x18 m处的质点正好处在波峰，故B正确。x12 m处的质点的位移与时间的关系可表示为x4sin cm，t0时位移为4 cm，t4 s时位移为2 cm，所以x12 m处的质点在04 s内通过的路程为6 cm；x18 m处的质点的位移与时间的关系可表示为x4sin cm，t0时位移为0，t4 s时位移为2 cm，所以x18 m处的质点在04 s内通过的路程为(442) cm(82) cm，故C错误。t3 s时刻x12 m处的质点在平衡位置，且向上振动，x18 m处的质点正好处在波峰，且波沿x轴正方向传播，则两质点间的距离d，当n0时，8 m，故D正确。波长的表达式 m，所以波速v m/s，当n0时，波速的最大值为 m/s，所以波速不可能等于2 m/s，故E错误。11(综合)一列沿x轴负方向传播的简谐横波，在t0时刻的波形如图所示，质点振动的振幅为10 cm，P、Q两点的坐标分别为(1 m,0)和(9 m,0)，已知t0.7 s时，P点第二次出现波峰。(1)这列波的传播速度多大？(2)从t0时刻起，经过多长时间Q点第一次出现波峰？(3)当Q点第一次出现波峰时，P点通过的路程为多少？答案(1)10 m/s(2)1.1 s(3)0.9 m解析(1)由题意可知该波的波长为4 mP点与最近波峰的水平距离为3 m，距离下一个波峰的水平距离为s7 m，所以v10 m/s。(2)Q点与最近波峰的水平距离为s111 m故Q点第一次出现波峰的时间为t11.1 s。(3)该波中各质点振动的周期为T0.4 sQ点第一次出现波峰时质点P振动了t2TT当Q点第一次出现波峰时，P点通过的路程s9A90 cm0.9 m。12(综合)一列横波在x轴上传播，a、b是x轴上相距sab6 m的两质点，t0时，b点正好到达最高点，且b点到x轴的距离为4 cm，而此时a点恰好经过平衡位置向上运动。已知这列波的频率为25 Hz。(1)求经过时间1 s，a质点运动的路程；(2)质点a、b在x轴上的距离大于一个波长，求该波的波速。答案(1)4 m(2)见解析解析(1)质点a一个周期运动的路程s04A0.16 m1 s内的周期数是n251 s内a质点运动的路程sns04 m。(2)若波由a传向b，sabvf m/s(n1,2,3)若波由b传向a，sabvf m/s(n1,2,3)。- 17 -
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